Gegenbeispiel Dynkin-System < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 Sa 16.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien F eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega\not= \emptyset [/mm] und [mm] \mu_1, \mu_2 [/mm] zwei Maße auf [mm] (\Omega,F). [/mm] Zeigen Sie:
Für [mm] A\in [/mm] F mit [mm] \mu_1(A)=\mu_2(A)<\infty [/mm] ist [mm] D_A:=\{D\in F|\mu_1(A\cap D)=\mu_2(A\cap D)\} [/mm] ein Dynkin-System in [mm] \Omega.
[/mm]
Ist [mm] D_A [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega? [/mm] Geben Sie eventuell ein Gegenbeispiel an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
es quält mich mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht ganz weiß wie vorzugehen ist.
Also es muss jedenfalls gelten:
i) [mm] \Omega\in D_A
[/mm]
ii) [mm] B,C\in D_A, C\subseteq B\Rightarrow B-C\in D_A
[/mm]
iii) [mm] B_1,\dots B_n\in D_A [/mm] mit [mm] B_i\cap B_j=\emptyset [/mm] für [mm] i\not=j\Rightarrow \bigcup_{i\in \IN} B_i\in D_A
[/mm]
i) und iii) sind relativ leicht nachzuvollziehen, allerdings gibts bei ii) Probleme. Folgendes hab ich mir bisher überlegt:
Da F eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist,gilt auf jeden Fall [mm] B-C\in [/mm] F.
Weiter gilt [mm] \mu_1(A\cap (B-C))=\mu_1((A\cap B)-(A\cap C))\stackrel{\mathrm{?}}=\mu_1(A\cap B)-\mu_1(A\cap [/mm] C)
Meine Frage ist nun wie ich zeigen kann dass bei ? wirklich Gleichheit gilt oder ist dies bereits in Ordnung so? Ich würde eher sagen nein, denn [mm] (A\cap [/mm] B) und [mm] (A\cap [/mm] C) sind meiner Meinung nach nicht disjunkt oder?
Außerdem wärs auch klasse wenn jemand ein Gegenbeispiel parat hätte, das die [mm] \bigcap-Stabilitaet [/mm] von [mm] D_A [/mm] widerlegt bzw. zeigt, dass [mm] D_A [/mm] keine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega [/mm] ist. Besten Dank schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 So 17.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich habe gerade 3 mal eine Antwort geschrieben und jedes mal kurz bevor ich fertig bin, stürzt mein browser ab! Ich versuch es später nochmal, falls es dann noch niemand beantwortet hat.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 So 17.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay alles klar. Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Mo 18.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
falls [mm](B-C) \ge C[/mm] dann:
[mm]0=|\mu_1(A \cap C) - \mu_2(A \cap C) | \le |\mu_1(A \cap (B-C)) - \mu_2(A \cap (B-C)) | \le |\mu_1(A \cap B) - \mu_2(A \cap B) | = 0[/mm]
sonst
[mm]0=|\mu_1(A \cap C) - \mu_2(A \cap C) | \ge |\mu_1(A \cap (B-C)) - \mu_2(A \cap (B-C)) | \le |\mu_1(A \cap B) - \mu_2(A \cap B) | = 0[/mm]
Gegenbeispiel:
[mm]\Omega=\{1,2,3,4\}=A[/mm] und [mm]\mathcal{D_A}=\{\{1,2\},\{2,4\}\{1,3\}\{3,4\}\{1,2,3,4\}, \emptyset\}[/mm]
Betrachte die W-maße [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] mit
[mm]\mu_1 \{1\}=\bruch{1}{2}, \mu_1 \{4\}=\bruch{1}{2}, \mu_1 \{2,3\}=0[/mm]
und
[mm]\mu_2 \{1\}=\bruch{1}{4}, \mu_2 \{2\}=\bruch{1}{4}, \mu_2 \{3\}=\bruch{1}{4}, \mu_2 \{4\}=\bruch{1}{4}[/mm]
auf [mm]\mathcal{D_A}[/mm] stimmen [mm]\mu_1[/mm] und [mm]\mu_2[/mm] überein und [mm]\mathcal{D_A}[/mm] ist ein Dynkin-System, jedoch ist die Menge keine sigma-Algebra, da die Maße nicht auf ganz [mm]\sigma (\mathcal{D_A})[/mm] übereinstimmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 18.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey vivo,
ers mal herzlichsten Dank für die Antwort trotz mehrmaliger Browserabstürze  .
Das Gegenbeispiel hab ich soweit verstanden also nochmal vielen Dank dafür. Nur bin ich mir nicht sicher inwieweit mir der erste Teil deiner Antwort weiterhilft. Ich weiß immer noch nicht wie ich damit das ? beseitigen kann, bzw. wie ich damit zeigen soll dass [mm] \mu_1((A\cap B)-(A\cap [/mm] C)) das gleiche ist wie [mm] \mu_1(A\cap B)-\mu_1(A\cap [/mm] C).
Könntest du mir das nochmal näher erklären oder noch einen Tipp geben wie ich das nun zeige? Dank dir.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Mo 18.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
dass ? kannst Du glaub ich gar nicht beseitigen, denn wie Du richtig erkannt hast müssen die Mengen nicht disjunkt sein.
Deshalb ja der erste Teil meiner letzten Antwort ... daraus folgt ja dann, dass [mm]\mu_1(A \cap (B-C) - \mu_2(A \cap (B-C) = 0[/mm] also B-C ein Element der Menge die wir betrachten ist. Dies war ja die letzte Bedingung die noch zu prüfen war, damit nachgewiesen ist, dass es sich um ein Dynkin-System handelt.
gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Mo 18.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Alles klar ich habs glaub ich kapiert! Dann vielen Dank nochmal.
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