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| Aufgabe | G Gruppe. Definiere für jedes ELement g [mm] \in [/mm] G eine Abbildung
[mm] f_g [/mm] : G [mm] \to [/mm] G, x [mm] \mapsto gxg^{-1}
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] f_g [/mm] für jedes g [mm] \in [/mm] G ein Isomorphismus ist.
(b)Es sei U [mm] \le [/mm] G und [mm] \pi [/mm] : G [mm] \to [/mm] G/U, g [mm] \mapsto \overline{g} [/mm] die natürliche Abbildung.
Beweisen Sie, dass G/U genau dann eine Gruppe bzgl. der von G induzierten Verknüpfung [mm] \overline{g} \cdot \overline{h} [/mm] = [mm] \overline{gh} [/mm] ist, wenn [mm] f_g(U) [/mm] = U für alle g [mm] \in [/mm] G gilt. |
Hi Leute,
(a)
Hier muss man die Abb. ja auf Inj. und Surj. prüfen.
[mm] \underline{Injektivitaet}
[/mm]
Sei g [mm] \in [/mm] G und es gilt: [mm] f_g(x) [/mm] = [mm] f_g(y)
[/mm]
[mm] \Rightarrow f_g(x) \cdot f_g(y)^{-1} [/mm] = e
[mm] \Rightarrow f_g(x) \cdot f_g(y)^{-1} [/mm] = [mm] (gxg^{-1}) \cdot (gyg^{-1})^{-1} [/mm] = [mm] gxg^{-1} \cdot gy^{-1}g^{-1} [/mm] = $gx [mm] \cdot y^{-1}g^{-1}$ [/mm] = e
[mm] \Rightarrow gxy^{-1} [/mm] = g
[mm] \Rightarrow xy^{-1} [/mm] = [mm] g^{-1}g [/mm] = e
[mm] \Rightarrow [/mm] x = y
[mm] \Rightarrow f_g [/mm] ist injektiv
[mm] \underline{Surjektivitaet}
[/mm]
Ich habe meistens Probleme die Surj. zu zeigen, weil er es bei ihr keine so "schöne" Formel gibt wie bei der Inj.
Hier hatte ich eigetlich nur die Idee, dass wenn g=e ist, die Abb. auf jeden Fall surj ist, aber es muss ja für alle g [mm] \in [/mm] G gelten.
Wie kann ich das am besten zeigen?
(b)
Hier ist ja zu zeigen: G/U ist Gruppe [mm] \gdw f_g(U) [/mm] = U für alle g [mm] \in [/mm] G
Ja, auch hier (wie hier) habe ich das Problem, mir ein Element aus G/U explizit vorzustellen und kann deshalb die Aufgabe nicht lösen.
Kann mir da jemand helfen?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu a) "Ingektivität": das geht einfacher
aus $ [mm] f_g(x) [/mm] $ = $ [mm] f_g(y) [/mm] $ folgt : [mm] gxg^{-1}= gyg^{-1}.
[/mm]
Wenn man die letzte Gleichung von links mit [mm] g^{-1} [/mm] und von rechts mit g multipliziert, so erält man sofort: x=y.
Zu a) "Surjektivität". Du hast doch eine Schöne Formel !
Sei h [mm] \in [/mm] G. Du mußt zeigen: es gibt ein x [mm] \in [/mm] G mit: [mm] f_g(x)=h. [/mm] Wie findest Du dieses x ? Ganz einfach:
[mm] f_g(x)=h \gdw gxg^{-1}=h \gdw [/mm] x= [mm] g^{-1}hg
[/mm]
Zu b): Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorgruppe
FRED
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