Gedrehte Parabel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gesucht ist eine Funktion, die nach Möglichkeit nur von einem Parameter abhängt. Durch Veränderung des Parameters soll sie sich wie folgt verändern:
- Im "simpelsten" Fall soll sie einer Geraden entsprechen, die z.B. die Punkte A(0,1) und B(1,0) miteinander verbindet.
- Durch Veränderung des Parameters soll sie eine Parabel über der Geraden zwischen A und B aufspannen, d.h. es soll im Koordinatensystem eine "gedrehte Parabel" entstehen. |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Gibt es eine Funktion, die diese Eigenschaften bei Verwendung eines einzigen Parameters erfüllt?
Alles, was ich bisher über Drehungen gefunden habe, hängt von dem Drehwinkel ab und verwendet cos- und sinus-Funktionen... das sieht mir so aus, als könne ich nicht über die Veränderung eines einzigen Parameters die Kurve verändern
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank!
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Fr 23.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Nimm mal [mm] f(x)=-x^{a}+1 [/mm] für a>0
Das ergibt folgende Funktionenschar.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Überlege mal, welcher Wert für a welche Eigenart bewirkt, und warum einige der Scharen im Punkt A(0/1) "beginnen".
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank!
Das hilft mir schon sehr weiter. Der Wechsel zwischen ungeradem und geradem Exponenten verursacht eine leichte Verschiebung der Parabel zwischen x=0 und x=1, so wie ich es wollte!
Eine Frage habe ich noch:
Ich möchte die "Parabel" nicht wie bisher zwischen 0 und 1 laufen lassen. Stattdessen soll sie zwischen beliebigen Werten laufen, die ich vorher festlege.
Beispiel: Ich lege q=1 und r=2 fest, dann soll die Parabel nicht mehr wie bisher zwischen (0,1) und (1,0) verlaufen, sondern nun zwischen (q,1) und (r,0), also zwischen (1,1) und (2,0).
Hierfür müsste ich eine Funktion der Form $ [mm] f(x)=-x^{a}+b [/mm] $ verwenden, oder? Diese könnte ich, um den gewünschten Effekt zu erreichen, wahrscheinlich nur über das Newton-Verfahren oder ein ähnliches numerisches Verfahren lösen, oder?
Danke nochmals für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Fr 23.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Vielen Dank!
> Das hilft mir schon sehr weiter. Der Wechsel zwischen
> ungeradem und geradem Exponenten verursacht eine leichte
> Verschiebung der Parabel zwischen x=0 und x=1, so wie ich
> es wollte!
Der Unterschied a gerade<>a ungerade ist nicht das, was die Parabel nach oben oder unten "ausbeult". Da ist eine andere Unterscheidung nötig.
[Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Eine Frage habe ich noch:
> Ich möchte die "Parabel" nicht wie bisher zwischen 0 und
> 1 laufen lassen. Stattdessen soll sie zwischen beliebigen
> Werten laufen, die ich vorher festlege.
>
> Beispiel: Ich lege q=1 und r=2 fest, dann soll die Parabel
> nicht mehr wie bisher zwischen (0,1) und (1,0) verlaufen,
> sondern nun zwischen (q,1) und (r,0), also zwischen (1,1)
> und (2,0).
Dann musst du mit einem Faktor vor dem [mm] x^{a} [/mm] die Graphen Stauchen/Strecken. Und danach verschiebe passend. Parabeln der Form [mm] x^{a} [/mm] haben normalerwiese die Punkte P(0/0) und den Punkt Q(1/1) gemeinsam.
Eine Verschiebung um d Einheiten nach rechts bekommst du mit [mm] (x-d)^{a}, [/mm] nach oben mit [mm] x^{a}+e [/mm] und eine Stauchung/Streckung mit [mm] fx^{a}, [/mm] eine Spiegelung an der x-Achse mit [mm] -x^{a}. [/mm] Mit einer Kombination aus allen Verschiebungen kannst du dann zwei Punkte festlegen, durch die die neue Schar laufen soll.
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> Hierfür müsste ich eine Funktion der Form [mm]f(x)=-x^{a}+b[/mm]
> verwenden, oder? Diese könnte ich, um den gewünschten
> Effekt zu erreichen, wahrscheinlich nur über das
> Newton-Verfahren oder ein ähnliches numerisches Verfahren
> lösen, oder?
Nicht zwingend. Du musst nur überlegen, wie ich diese Schar verschieben muss.
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> Danke nochmals für die Hilfe!
Marius
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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