Gedämpfte Schwingungen < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Hallo ^^
Ich hätte da eine kleine Frage:
Man versucht eine Gleichung für gedämpfte Schwingungen herzuleiten. In diesem Zusammenhang wurde die charakteristische Differentialgleichung für gedämpfte harmonische Schwingungen hergeleitet. Durch geschicktes Substituieren kommt man bei der Lösung auf folgende Gleichung:
[z0 * e^lamba*t ] * [Quadratische Gleichung] = 0
So..wenn sich das ganze im reellen Zahlenbereich abspielen würde, dann gäbe es ja für
[z0 * e^lamba*t ]=0
keine Lösung, da ja die e-Funktion keine Nullstellen hat.
Im komplexen (wie es hier der Fall ist...) hat die e-Funktion aber sehr wohl Nullstellen! Trotzdem rechnet man in der Herleitung - um Lambda zu berechnen - einfach mit
[Quadratische Gleichung] = 0
weiter
Das verstehe ich nicht...kann mir das jemand erklären???
Beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst ja ne Funktion von t so dass der Ausdruck für alle t 0 ist. Bei [mm] e^{\lamba*t} [/mm] gibt es keine Möglichkeit die Funktion durch Wahl von [mm] \lambda [/mm] 0 zu machen! d.h. sie wäre nur für einzelne t 0. (und das ist sie ja später auch, die Schwingung geht ausser bei extremer Dämpfung immer wieder durch 0))
kurz die Funktion [mm] f(t)=z_0e^{\\lambda*t} [/mm] kann nicht die 0Fkt sein ausser für [mm] z_0=0
[/mm]
und f(t)=0 ist die uninteressante Lösung der DGL für die Anfangsbedingung f(0)=f'(0)=0
Gruss leduart
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Aha..
Und warum führt nur die "komplexe Lösung" der DGL
zu der entsprechenden Schwingung?
Wieso kann der Realteil bei der Transformation von Gauss-Ebene --> Normale Ebene einfach weggelassen werden?
Beste Grüße ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mo 14.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] e^{irx} [/mm] hat dieselbe DGL wie sin(rx) oder cos(rx) nämlich [mm] f''=-r^2*f.
[/mm]
aber mit den e-fkt lässt sich leichter rechnen.
Du kannst einfach ausprobieren dass der Realteil oder der imag. Teil die Dgl auch löst.
Gruss leduart
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