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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 09.03.2008 | | Autor: | chirion |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{2*x}{x^{2}-1} dx} [/mm] |
Hallo,
Obige Aufgabe wollte ich mittels Partialbruchzerlegung lösen.
Ich habe zunächst den Nenner aufgelöst in (x+1)*(x-1) mit den Lösungen [mm] x_{1}=+1\;und\; x_{2}=-1.
[/mm]
Aus:
[mm] \bruch{2*x}{x^{2}-1}=\bruch{A}{(x+1)}+\bruch{B}{(x-1)}
[/mm]
folgt dann
[mm]2x=A*(x-1) + B*(x-2)[/mm]
Setzt man nun einmal für [mm]x=+1[/mm] und einmal [mm]x=-1[/mm] ein erhält man:
[mm]A=1 und B=1[/mm]
Daraus erhalte ich dann:
[mm]
\integral_{}^{}{\bruch{2*x}{x^{2}-1}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+1}dx}+\integral_{}^{}{\bruch{1}{x-1}dx}
=[ln(x+1)+ln(x-1)]_{0}^{1}
[/mm]
Das Ergebnis soll aber [mm]ln(x^{2}-1)[/mm] lauten - zumindest laut Taschenrechner.
Wo liegt mein Fehler? Gibt es evtl. noch eine andere Möglichkeit abgesehen von der Partialbruchzerlegung um diese Aufgabe zu lösen?
Vielen Dank!
Chris
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Zunächst - wie du sicher durch Ableiten gemerkt hast, ist auch deine Lösung richtig. Der Taschenrechner wendet offenbar nur Logarithmusgesetze an.
Es ist
[mm]\ln(a) + \ln(b) = \ln(a*b)[/mm]
hier also speziell
[mm]\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln((x-1)*(x+1)) \underbrace{=}_{BINOMI} \ln(x^{2}-1)[/mm].
Übrigens kann man das auch schon bei der Funktion selbst erkennen:
Sie hat die Form
f(x) = [mm] \bruch{g'(x)}{g(x)},
[/mm]
das heißt praktisch die Ableitung der Funktion durch die Funktion selbst.
und solche Funktionen haben immer die Stammfunktion [mm]F(x) = \ln(g(x))[/mm].
Warum? Weil
[mm]f(x) = \bruch{g'(x)}{g(x)} = \underbrace{\bruch{1}{g(x)}}_{AeussereAbleitungDesLog}*\underbrace{g'(x)}_{InnereAbleitung}[/mm].
Übrigens, nur noch so allgemein  :
Eigentlich ist, falls [mm]f(x) =\bruch{1}{x}[/mm], die Stammfunktion [mm]F(x) = \ln(|x|)[/mm], also mit Betrag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 So 09.03.2008 | | Autor: | chirion |
Hallo,
danke sehr für die Hilfe!
Die Sache mit den Rechenregeln für Logarithmen ist mir jetzt fast ein bißchen peinlich. ;)
Dein Tipp wegen der Ableitung der Funktion durch die Funktion selbst ist großartig. So etwas würde ich gern in meinem Skriptum finden.
Viele Grüße
Chris
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