Gebrochenes Ideal Rechenregeln < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:09 So 16.09.2012 | | Autor: | Loko |
| Aufgabe | Beweise, der Ideal-Quotient von gebrochenen R-Idealen erfüllt folgende Eigenschaften:
a) H:(I*J) = (H:I):J
b) [mm] (\bigcap_{k}I_{k}):J [/mm] = [mm] \bigcap_{k}(I_{k}:J)
[/mm]
c) [mm] I:(\summe_{k}J_{k}) [/mm] = [mm] \bigcap_{k}(I:J_{k}) [/mm] |
Wiedermal haperts daran, dass ich die Grundlagen, die sie im Master verlangen im Bachelor nicht gelernt habe ;)
Ich hab verschiedene Definitionen zur Verfügung, sehe aber noch keinen Weg damit die Gleichheiten zu zeigen ...
Ich zeig mal was ich so habe:
I*J = [mm] {\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}: x_{i} \in I, y_{i} \in J, n \in \IZ_{\ge 0}}
[/mm]
I+J ist das größte Ideal, dass in I und J vorkommt.
I:J = {x [mm] \in [/mm] K: xJ [mm] \subset [/mm] I} wobei K ein Quotientenkörper ist, und I ein R-untermodul von K.
Wie gesagt fehlen mir da einige Definitionen. Ich habe mir natürlich schon angeguckt, was Module und Quotientenkörper so können, aber mir fehlt da die Übung.
(In Algebra hatte ich natürlich was davon, aber das ist schon über ein Jahr her..... [mm] :-\)
[/mm]
Wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte wir ich daran gehe. Ich habe natürlich schon versucht die seiten jeweils aufzudröseln:
a) H:(I*J) = {k [mm] \in [/mm] K: k(I*J) [mm] \subset [/mm] H}
= {k [mm] \in [/mm] K : k* [mm] {\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} : x_{i}\in I, y_{i} \in J, n \in \IZ_{\ge 0}} \subset [/mm] H}.
(H:I):J = {k [mm] \in [/mm] K: k*J [mm] \subset [/mm] (H:I)}
= {k [mm] \in [/mm] K: k*J [mm] \subset [/mm] {k' [mm] \in [/mm] K: k'*I [mm] \subset [/mm] H}}.
naja. und hier bin ich jetzt und weiß nicht, wie ich das eine mit dem anderen verbinden kann. also, dass k könnte ich oben ja vllt noch mit in dei Menge ziehen, aber ich glaube mir fehlen einfach ein paar Eigenschaften mehr, die diese Summen und Produkte haben...
Ich würde mich sehr über Antworten freuen :)
Lg Loko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 17.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Loko!
> Beweise, der Ideal-Quotient von gebrochenen R-Idealen
> erfüllt folgende Eigenschaften:
> a) H:(I*J) = (H:I):J
> b) [mm](\bigcap_{k}I_{k}):J[/mm] = [mm]\bigcap_{k}(I_{k}:J)[/mm]
> c) [mm]I:(\summe_{k}J_{k})[/mm] = [mm]\bigcap_{k}(I:J_{k})[/mm]
> Wiedermal haperts daran, dass ich die Grundlagen, die sie
> im Master verlangen im Bachelor nicht gelernt habe ;)
>
> Ich hab verschiedene Definitionen zur Verfügung, sehe aber
> noch keinen Weg damit die Gleichheiten zu zeigen ...
> Ich zeig mal was ich so habe:
>
> I*J = [mm]{\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}: x_{i} \in I, y_{i} \in J, n \in \IZ_{\ge 0}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> I+J ist das größte Ideal, dass in I und J vorkommt.
Das stimmt so nicht ganz: $I+J$ ist das kleinste Ideal, was sowohl $I$ wie auch $J$ umfasst. Genauer gesagt gilt $I+J = \{ i+j \mid i \in I, j \in J \}$.
Allgemeiner gilt $\sum_k I_k = \{ \sum_k i_k \mid i_k \in I_k, \; \text{ fuer fast alle } k \text{ gilt } i_k = 0 \}$.
Das groesste Ideal, was sowohl in $I$ wie auch in $J$ vorkommt, ist $I \cap J$.
> I:J = {x [mm]\in[/mm] K: xJ [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
I} wobei K ein
> Quotientenkörper ist, und I ein R-untermodul von K.
>
> Wie gesagt fehlen mir da einige Definitionen. Ich habe mir
> natürlich schon angeguckt, was Module und
> Quotientenkörper so können, aber mir fehlt da die
> Übung.
> (In Algebra hatte ich natürlich was davon, aber das ist
> schon über ein Jahr her..... [mm]:-\)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wäre sehr nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte
> wir ich daran gehe. Ich habe natürlich schon versucht die
> seiten jeweils aufzudröseln:
>
> a) H:(I*J) = {k [mm]\in[/mm] K: k(I*J) [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H}
> = {k [mm]\in[/mm] K : k* [mm]{\summe_{i=1}^{n}x_{i}y_{i} : x_{i}\in I, y_{i} \in J, n \in \IZ_{\ge 0}} \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> H}.
>
> (H:I):J = {k [mm]\in[/mm] K: k*J [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(H:I)}
> = {k [mm]\in[/mm] K: k*J [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{k' [mm]\in[/mm] K: k'*I [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
H}}.
Erstmal allgemein: solche Aussagen zeigst du oft am einfachsten, indem du zwei Inklusionen zeigst:
Zuerst nimmst du ein Element $x \in H : I * J$ und zeigst, dass $x \in (H:I):J$ gilt. Dann nimmst du dir ein $y \in (H:I):J$ und zeigst $y \in H : I*J$.
Wenn $x \in H:I*J$ ist, dann gilt ja $x(I*J) \subseteq H$. Und du musst zeigen, dass $x \in (H:I):J$ ist, also dass $xJ \subseteq H:I$ gilt. Nimm dir ein $j \in J$. Zeige jetzt, dass $xj \in H:I$ ist (mit dem Wissen, dass $xIJ \subseteq H$ ist): da $j$ beliebig war folgt $xJ \subseteq H:I$ und damit schliesslich $x \in (H:I):J$, womit du die eine Inklusion gezeigt hast. Das ist echt nicht schwer.
Die andere Inklusion ist ein wenig komplizierter (du hast diesmal Summen von Produkten), aber auch nicht sooo schwer.
Teil b) ist sogar sehr einfach, wenn du beide Inklusionen zeigst. Dann steht es fast sofort da.
LG Felix
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