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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Mi 26.10.2005 | | Autor: | steem |
Hallo!
Irgendwie komme ich mit der Ableitung der Funktion f(x)= [mm] \bruch{x^3-4x^2+4x}{4x^2-8x+4} [/mm] nicht zurecht.
Ich habe bereits zwei Lösungen die aber beide verschieden sind und nicht dem Graphen der 1. Ableitung entsprechen, wenn ich sie in einem Matheprogramm zeichnen lasse.
Hier sind meine zwei Lösungsansätze:
Zunächst habe ich Z(x) und N(x) anders geschrieben: [mm] Z(x)=x(x-2)^2 [/mm] und N(x)=4(2x-2) davon dann die Ableitungen für die Produktregel Z´(x)=2x(x-2) und N´(x)=4(2x-2)
Dann: f´(x)= [mm] \bruch{Z´(x)*N(x)-Z(x)*N´(x)}{(N(x))^2}
[/mm]
f´(x)= [mm] \bruch{2x(x-2)*(2x-2)^2-x(x-2)^2*4(2x-2)}{(2x-2)^4}
[/mm]
Jetzt habe ich (2x-2) ausgeklammert
= [mm] \bruch{(2x-2)[(2x(x-2)*(2x-2))-4x(x-2)^2]}{(2x-2)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x(x-2)*(2x-2)-4x(x-2)^2}{(2x-2)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x(2x^2-6x+4)-4x(x^2-4x+4x)}{(2x-2)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x^3-12x^2+8x-4x^3+8x^2-8x}{(2x-2)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{-4x^2}{(2x-2)^3} [/mm]
Das ist irgendwie falsch :(
Dann hab ich es nochmal versucht, und diesmal N(x) und Z(x) nochmal anders geschrieben. [mm] Z(x)=x(x-2)^2 N(x)=4(x-1)^2 [/mm]
Dann ist Z´(x)=2x(x-2) und N´(x)=8(x-1)
Und [mm] f´(x)=\bruch{2x(x-2)*4(x-1)^2-x(x-2)^2*8(x-1)}{16(x-1)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{4(x-1)[2x(x-2)-x(x-2)^2*2]}{16(x-1)^4}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x(x-2)-x(x-2)^2*2}{4(x-1)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x^2-2x-(x^2-4x+4)*2x}{4(x-1)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{2x^2-2x-2x^3+8x^2-8x}{4(x-1)^3}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x^3+10x^2-10x}{4(x-1)^3}
[/mm]
Das Ergebnis ist völlig anders als das erste, irgendwas mache ich da wohl gewaltig falsch :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Mi 26.10.2005 | | Autor: | ribu |
> Hallo!
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> Irgendwie komme ich mit der Ableitung der Funktion f(x)=
> [mm]\bruch{x^3-4x^2+4x}{4x^2-8x+4}[/mm] nicht zurecht.
> Ich habe bereits zwei Lösungen die aber beide verschieden
> sind und nicht dem Graphen der 1. Ableitung entsprechen,
> wenn ich sie in einem Matheprogramm zeichnen lasse.
> Hier sind meine zwei Lösungsansätze:
> Zunächst habe ich Z(x) und N(x) anders geschrieben:
> [mm]Z(x)=x(x-2)^2[/mm] und N(x)=4(2x-2) davon dann die Ableitungen
> für die Produktregel Z´(x)=2x(x-2) und N´(x)=4(2x-2)
hier is dein fehler.... [mm]Z'(x) \wedge N'(x) [/mm] sind falsch...
wenn du das so machst, dann musst du für [mm]Z'(x)[/mm] die [b]produktregel[/mm] anwenden...
> Dann: [mm]f'(x)= \bruch{Z'(x)*N(x)-Z(x)*N'(x)}{(N(x))^2}[/mm]
das ist soweit richtig, nur da [mm]Z'(x) \wedge N'(x) [/mm] schon falsch sind, ist die komplette rechnung danach auch falsch...
>[mm] f'(x)= \bruch{2x(x-2)*(2x-2)^2-x(x-2)^2*4(2x-2)}{(2x-2)^4}[/mm]
>
> Jetzt habe ich (2x-2) ausgeklammert
>
> = [mm]\bruch{(2x-2)[(2x(x-2)*(2x-2))-4x(x-2)^2]}{(2x-2)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x(x-2)*(2x-2)-4x(x-2)^2}{(2x-2)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x(2x^2-6x+4)-4x(x^2-4x+4x)}{(2x-2)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4x^3-12x^2+8x-4x^3+8x^2-8x}{(2x-2)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-4x^2}{(2x-2)^3}[/mm]
>
> Das ist irgendwie falsch :(
weißt ja nu warum ;)
> Dann hab ich es nochmal versucht, und diesmal N(x) und
> Z(x) nochmal anders geschrieben. [mm]Z(x)=x(x-2)^2 N(x)=4(x-1)^2[/mm]
> Dann ist [red]Z'(x)=2x(x-2)[red] und N'(x)=8(x-1)
diesmal ist [mm]Z'(x)[/mm] auch wieder falsch wie schon oben, somit die weitere rechnung auch....
> Und
> [mm]f'(x)=\bruch{2x(x-2)*4(x-1)^2-x(x-2)^2*8(x-1)}{16(x-1)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4(x-1)[2x(x-2)-x(x-2)^2*2]}{16(x-1)^4}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x(x-2)-x(x-2)^2*2}{4(x-1)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x^2-2x-(x^2-4x+4)*2x}{4(x-1)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{2x^2-2x-2x^3+8x^2-8x}{4(x-1)^3}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{-2x^3+10x^2-10x}{4(x-1)^3}[/mm]
>
> Das Ergebnis ist völlig anders als das erste, irgendwas
> mache ich da wohl gewaltig falsch :(
versuche die funktion [mm] f(x)= [mm] \bruch{x^{3}-4x^{2}+4x}{4x^{2}-8x+4} [/mm] ganz normal mit der [mm]quotientenregel[/mm] abzuleiten....
die formel dafür haste oben ja schon richtig aufgeführt: [mm]\bruch{Z'(x)*N(x)-Z(x)*N'(x)}{(N(x))^2}[/mm]...
leite dafür [mm] Z(x) \wedge N(x) [/mm] ganz normal ab ohne es umzuformen... dann die quotientenregel anwenden, das wird zwar eine lange rechnung, aber mach das mal so, ich würde es nicht anders machen, da mir dein weg noch länger erscheint...
kannst deine lösung dann ja mal posten...
mfg ribu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 26.10.2005 | | Autor: | steem |
Hallo!
Danke für deine schnelle Antwort! Ich bin nun dabei das ausführlich auszurechnen, und weiß grad nich genau wie das mit Klammern dieser Art ist:
[mm] -(x^3-4x^2+4x)*(8x-8) [/mm] das ist ja dann [mm] -8x^4.. [/mm] und dann weiß ich nich ob sich das vorzeichen in der klammer umdreht wenn man das ausmultipliziert also es dann so aussieht:
[mm] -8x^4+32x^3-32x^2-8x^3-32x^2+32x [/mm] oder doch besser so:
[mm] -(8x^4-32^3+32x^2-8x^3+32x^2-32x) [/mm] oh ich glaube ich habs mir grade selbst beantwortet, wenn ich jetzt die Klammer wegmache drehen sich die Vorzeichen um, oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mi 26.10.2005 | | Autor: | steem |
Nach endlos langer Rechnung komme ich zu einem Ergebnis welches kapp an der echten Ableitung vorbeigeht.
Also [mm] Z(x)=x^3-4x^2+4x [/mm] und [mm] N(x)=4x^2-8x+4
[/mm]
Z´ [mm] (x)=3x^2-8x+4 [/mm] und N´ (x)=8x-8
f´ [mm] (x)=\bruch{(3x^2-8x+4)*(4x^2-8x+4)-(x^3-4x^2+4x)*(8x-8)}{(4x^2-8x+4)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{12x^4-24x^3+12x^2-32x^3+16x^2-32x+16x^2-32x+16-(8x^4-32x^3+32x^2-8x^3+32x^2-32x)}{(4x^2-8x+4)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{12x^4-24x^3+12x^2-32x^3+16x^2-32x+16x^2-32x+16-8x^4+32x^3-32x^2-8x^3+32x^2+32x}{(4x^2-8x+4)^2}
[/mm]
[mm] =\bruch{4x^4-32x^3+44x^2-32x+16}{(4x^2-8x+4)^2}
[/mm]
Und zum Schluss noch eine zeichnung vom Matheprogramm, wenn ich rauskriege wie das geht.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Also der rote Graph ist die Funktion [mm] f(x)=\bruch{x^3-4x^2+4x}{4x^2-8x+4} [/mm] der blaue Graph ist die 1. Ableitung von f(x) (vom programm berechnet) und der gelbe Graph ist die von mir errechnete 1. Ableitung, also immer noch daneben :(
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mi 26.10.2005 | | Autor: | ribu |
> Nach endlos langer Rechnung komme ich zu einem Ergebnis
> welches kapp an der echten Ableitung vorbeigeht.
> Also [mm]Z(x)=x^3-4x^2+4x[/mm] und [mm]N(x)=4x^2-8x+4[/mm]
>
> [mm]Z'(x)=3x^2-8x+4 und N'(x)=8x-8[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{(3x^2-8x+4)*(4x^2-8x+4)-(x^3-4x^2+4x)*(8x-8)}{(4x^2-8x+4)^2}[/mm]
>
> =[mm]\bruch{12x^4-24x^3+12x^2-32x^3 \red{+64x^{2}-32x} 16x^2-32x+16x^2-32x+16-(8x^4-32x^3+32x^2-8x^3+32x^2-32x)}{(4x^2-8x+4)^2}[/mm]
das haste leider das, was rot markiert ist, vergessen bei der ausmultiplizierung... versuch es damit mal weiter...
> [mm]=\bruch{12x^4-24x^3+12x^2-32x^3+16x^2-32x+16x^2-32x+16-8x^4+32x^3-32x^2-8x^3+32x^2+32x}{(4x^2-8x+4)^2}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{4x^4-32x^3+44x^2-32x+16}{(4x^2-8x+4)^2}[/mm]
>
> Und zum Schluss noch eine zeichnung vom Matheprogramm, wenn
> ich rauskriege wie das geht.
> Also der rote Graph ist die Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{x^3-4x^2+4x}{4x^2-8x+4}[/mm] der blaue Graph ist die
> 1. Ableitung von f(x) (vom programm berechnet) und der
> gelbe Graph ist die von mir errechnete 1. Ableitung, also
> immer noch daneben :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mi 26.10.2005 | | Autor: | steem |
Also es lag tatsächlich daran, dass ich beim ausmultiplizieren einen term übergangen habe.
Es kommt nun raus f´ [mm] (x)=\bruch{4x^4-16x^3+28x^2-32x+16}{(4x^2-8x+4)^2}
[/mm]
Aber dieser Weg kommt mir unnötig lang vor, daher dachte ich zuerst es wäre leichter mit den Binomen von Z und N zu rechnen, aber das klappte ja irgendwie überhaupt nicht, obwohl das ja stimmte: [mm] Z(x)=x(x-2)^2 [/mm] und [mm] N(x)=4(x-1)^2 [/mm] und wenn man davon die Ableitung bildet dachte ich geht das mit der Kettenregel, also innere Ableitung mal die äußere Ableitung.
Das war für mich für, Z´ (x)=2(x-1) und für N´ müsste es dann N´ (x)=2(x-1) sein. Und dann müsste auch das Ergebnis irgendwie "schöner" aussehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 26.10.2005 | | Autor: | steem |
Danke für eure Hilfe! Hat mir viel gebracht ;)
@Loddar: Die Kettenregel kombiniert mit der Produktregel raff ich noch nich so wirklich. Aber ich werde schon irgendwie dahinterkommen, und es hoffentlich auch ohne Hilfe selbst merken wann ich das einsetzen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Mi 26.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo steem!
> [mm]-(8x^4-32x^3+32x^2-8x^3+32x^2-32x)[/mm]
Mal abgesehen von den evtl. falschen Teilableitungen (siehe auch unten) ist dieser Weg hier richtig (zumindest weniger fehleranfällig): zunächst das Minuszeichen vor der Klammer belassen und dann sämtliche Vorzeichen umdrehen ...
Gruß
Loddar
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Hallo steem,
> Hallo!
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> Irgendwie komme ich mit der Ableitung der Funktion f(x)=
> [mm]\bruch{x^3-4x^2+4x}{4x^2-8x+4}[/mm] nicht zurecht.
> Ich habe bereits zwei Lösungen die aber beide verschieden
> sind und nicht dem Graphen der 1. Ableitung entsprechen,
> wenn ich sie in einem Matheprogramm zeichnen lasse.
> Hier sind meine zwei Lösungsansätze:
> Zunächst habe ich Z(x) und N(x) anders geschrieben:
> [mm]Z(x)=x(x-2)^2[/mm] und N(x)=4(2x-2) davon dann die Ableitungen
> für die Produktregel Z´(x)=2x(x-2) und N´(x)=4(2x-2)
>
[mm]Z(x)=x(x-2)^2[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$N(x)=4(2x-2)$ ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") sondern: [mm] $N(x)=4(x-1)\green{^2}$
[/mm]
Gruß informix
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Das stimmt jetzt wohl so ...
Kettenregel