Gebr.rat.Fkt. mit Parameter < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:55 Mo 05.05.2008 | | Autor: | MangMang |
| Aufgabe | | Diskussion der Funktionenschar f mit f(x) = $ [mm] \frac{x}{1+x^n} [/mm] $, n [mm] \in \IZ [/mm] mit dem Parameter n. Die Graphen der Funktion f weisen je nach Wahl von n sehr unterschiedliche Eigenschaften auf. Führen Sie eine systematische Untersuchung durch. |
Hi,
ich hoffe mir können ein paar Leute hier weiterhelfen.
Also ich weiß nicht ganz genau wie ich jetzt ansetzen soll, soll ich für n<1, n>1 und n=0 jeweils all die Extrempunkte, Wendepunkte, Nullstellen etc. untersuchen? (Diese dann in Abhängigkeit von n?)
Ich bedanke mich schon mal für eure Hilfe!!
Liebe Grüße, MangMang
---Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ---
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Di 06.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hm..ich habe nochmal überlegt, sollte ich nicht eigentlich für diese Fälle :
[mm] n\le-1
[/mm]
n=0
[mm] n\ge1
[/mm]
ne Untersuchung machen?
Außerdem kann ich diese Extrempunkte, Wendepunkte etc. gar nicht in Abhängigkeit von n machen, wenn ich doch bei n=0 die Funktion $ [mm] \frac{x}{2} [/mm] $ bekomme... ( was ist das dann für eine Funktion? Keine gebrochenrationale Funktion mehr oder?)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Di 06.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Ich habe eine weitere Frage:
wie sind die ersten drei Ableitungen der Funktion:
$ [mm] \frac{x}{1+x^n} [/mm] $
in Abhängigkeit von n?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:09 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MangMang!
Wo liegen Denn Deine Probleme bzw. wie weit kommst Du denn?
Den Parameter $n_$ musst D jeweils wie eine Konstante ansehen. Jedenfalls musst Du hier (für allgemeines $n_$ ) die  Quotientenregel anwenden.
Hier mal der Beginn der 1. Ableitung:
[mm] $$f_n'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1*\left(1+x^n\right)-x*n*x^{n-1}}{\left(1+x^n\right)^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Ja genau, soweit bin ich auch schon, aber weiter? Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig gemacht habe, deswegen wollt ich nochmal fragen:
$ [mm] f_n'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1\cdot{}\left(1+x^n\right)-x\cdot{}n\cdot{}x^{n-1}}{\left(1+x^n\right)^2} [/mm] \ = \ $ $ [mm] \frac{1+x^n-n*x^n}{1+x^2n} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1+x^n(1-n)}{1+x^2n} [/mm] $
$ [mm] f_n''(x) [/mm] \ = [mm] \frac{(1+x^n)* (nx^n-1 - n^2*x^n-1 + 2n^2*x^3n-1)}{1+x^4n} [/mm] $
(Ich glaube die zweite ist falsch?...Sieht so komisch aus ^^")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo MangMang!
Du fasst hier im Nenner falsch zusammen, da i. Allg. gilt: [mm] $(a+b)^n [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] a^n+b^n$ [/mm] .
Deine Berechnung der 2. Ableitung erschließt sich mir nicht so ganz. Wenn Du da noch unsicher bist, schreibe Dir die Teilableitungen mit $u'_$ und $v'_$ erst noch separat auf.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:22 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Oke, danke....so ist das jetzt aber richtig^^:
$ [mm] f_n'(x) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1\cdot{}\left(1+x^n\right)-x\cdot{}n\cdot{}x^{n-1}}{\left(1+x^n\right)^2} [/mm] \ = \ $ $ [mm] \frac{1+x^n-n\cdot{}x^n}{1+2x^n+x^{2n}} [/mm] $ = $ [mm] \frac{1+x^n(1-n)\cdot{}}{1+2x^n+x^{2n}} [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde nach dem Anwenden der Quotientenregel den Nenner in der Form [mm] (1+x^{n})^{2} [/mm] stehenlassen. Wenn du nämlich die nächste Ableitung bildest, kannst du dann eher sehen, wo du den entstehenden Bruch kürzen kannst.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hey Marius,
danke für deine Hilfe, stiiimmt^^...hast recht!
Dann bekomme ich für die zweite Ableitung:
[mm] f_n''(x) [/mm] = $ [mm] \frac{n*x^{n-1}+n*x^{2n-1}-n^2*x^{2n-1}-2-2*x^n+2*n*x^n}{1+x^n} [/mm] $
Ist das nun richtig?
|
|
|
| |
|
Hi,
> Hey Marius,
> danke für deine Hilfe, stiiimmt^^...hast recht!
> Dann bekomme ich für die zweite Ableitung:
> $ [mm]f_n''(x)[/mm] \ = $
> [mm]\frac{nx^{n-1}+nx^{2n-1}-n^2x^{2n-1}-2-2x^n+2nx^n}{1+x^n}[/mm]
> $
>
Das kann meiner Meinung nach stimmen, da im Nenner [mm] (1+x^{n}) [/mm] steht. Es müsste aber im Nenner [mm] (1+x^{n})^{3} [/mm] stehen.
Schreib mal deine Rechnung schritt für Schritt auf.
Setze:
[mm] u=1+x^{n}\cdot(1-n)
[/mm]
[mm] u'=nx^{n-1}\cdot(1-n)
[/mm]
[mm] v=(1+x^{n})^{2}
[/mm]
[mm] v'=2nx^{n-1}\cdot(1+x^{n})
[/mm]
Ich werde es jetzt auch mal rechnen und sage dir dann Bescheid.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
EDIT: Ich hab jetzt folgendes raus:
[mm] f_{n}''(x)=\bruch{-nx^{2n-1}+n²x^{2n-1}-n²x^{n-1}-nx^{n-1}}{(1+x^{n})^{3}}
[/mm]
Nun kann man noch hier noch ausklammern und zwar: [mm] nx^{n-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{nx^{n-1}(-x^{n}+nx^{n}-n-1)}{(1+x^{n})³}
[/mm]
Das wäre dann die richtige Ableitung. Versuch mal darauf zu kommen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi....aber ist es nicht so richtig:
$ [mm] v'=2\cdot(1+x^{n}) [/mm] $
|
|
|
| |
|
Hi,
> Hi....aber ist es nicht so richtig:
> [mm]v'=2\cdot(1+x^{n})[/mm]
Nein denn du musst hier die Kettenregel benutzen.
Die innere Ableitung ist [mm] nx^{n-1}.
[/mm]
Schau:
Wir haben [mm] (1+x^{n})^{2} [/mm] zu differenzieren.
[mm] u=x^{2}
[/mm]
[mm] u'=\\2x
[/mm]
[mm] v=(1+x^{n})
[/mm]
[mm] v'=nx^{n-1}
[/mm]
Nach Kettenregel folgt dann:
[mm] 2(1+x^{n})\cdot\\nx^{n-1}=2nx^{n-1}\cdot(1+x^{n})
[/mm]
Du kannst dich auch anders davon überzeigen indem du [mm] (1+x^{n})^{2} [/mm] ausmultiplizierst:
Es ist dann [mm] (1+x^{n})^{2}=1+2x^{n}+x^{2n}
[/mm]
Das nun differenzieren ergibt: [mm] 2nx^{n-1}+2nx^{2n-1}=2nx^{n-1}\cdot(1+x^{n})
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hey Tyskie84,
ja stimmt, du hast recht hehe,...
Vielen Dank für deine Hilfe, sonst hätte ich ja alles falsch gemacht~~(werde jetzt mal versuchen die 2.Ableitung zu machen)
Lg, MangMang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:28 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Heey Tyskie84,
jippiiiie, ich bin drauf gekommen^^...so jetzt werde ich die dritte Ableitung machen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
So...nun die dritte Ableitung hehe,
erst mal fragen, bevor ich jetzt wieder falsch weitermache:
$ [mm] u=nx^{n-1}\cdot(-1-x^n-n+nx^n) [/mm] $
$ [mm] u'=n^2*x^{n-2}*(-1-x^n-n+nx^n)+(nx^{n-1})*(-nx^{n-1}+n^2x^{n-1}) [/mm] $
$ [mm] v=(1+x^{n})^{3} [/mm] $
$ [mm] v'=3nx^{n-1}\cdot(1+x^{n})^2 [/mm] $
So...sind die richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> So...nun die dritte Ableitung hehe,
> erst mal fragen, bevor ich jetzt wieder falsch
> weitermache:
>
> [mm]u=nx^{n-1}\cdot(-1-x^n-n+nx^n)[/mm]
>
> [mm]u'=n^2*x^{n-2}*(-1-x^n-n+nx^n)+(nx^{n-1})*(-nx^{n-1}+n^2x^{n-1})[/mm]
> [mm]v=(1+x^{n})^{3}[/mm]
> [mm]v'=3nx^{n-1}\cdot(1+x^{n})^2[/mm]
>
> So...sind die richtig?
Nicht ganz: Bei u' hat sich ein kleiner Fehler eingeschlichen.
[mm] u=\underbrace{nx^{n-1}}_{a}\cdot\underbrace{(-1-x^n-n+nx^n)}_{b}
[/mm]
Und zwar bei der Ableitung von a nach Produktregel:
[mm] nx^{\green{n-1}} [/mm] hat als Ableitung:
[mm] n*(\green{n-1})*x^{n-2}
[/mm]
Also: [mm] u'=n\red{(n-1)}*x^{n-2}*(-1-x^n-n+nx^n)+(nx^{n-1})*(-nx^{n-1}+n^2x^{n-1})
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi^^...
achsoo, ohje habe mir schon gedacht, passiert mir immer sobald die Aufgabe bissle komplizierter ist.
Dankeschön!
(Kann man denn u' nicht kürzer schreiben? Scheint mir so lang....
EDIT:
Hm...neiin, muss man a nicht nach der Kettenregel machen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
> Hi^^...
> achsoo, ohje habe mir schon gedacht, passiert mir immer
> sobald die Aufgabe bissle komplizierter ist.
> Dankeschön!
> (Kann man denn u' nicht kürzer schreiben? Scheint mir so
> lang....
Ich wüsste im Moment nicht, wie!
>
> EDIT:
> Hm...neiin, muss man a nicht nach der Kettenregel machen?
Nein, das n kannst du als Konstanten Faktor behandeln
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:49 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Ich komme für bei der dritten Ableitung irgendwie trotzdem nicht weiter, ohjee...ich kann da gar nichts kürzen. Obwohl der Ansatz richtig war??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:34 Do 08.05.2008 | | Autor: | aram |
> Ich komme für bei der dritten Ableitung irgendwie trotzdem
> nicht weiter, ohjee...ich kann da gar nichts kürzen. Obwohl
> der Ansatz richtig war??
>
Ich hab das jetzt zwar nicht per Hand gemacht, aber wenn es dir weiter hilft, hier ist die dritte Ableitung deiner Funktion.
[mm] \bruch{-nx^{n}((n-1)*(n+1)*x^{2n}-2(2n^{2}+1)x^{n}+(n+1)(n-1))}{x^{2}(x^{n}+1)^{4}}
[/mm]
Mfg Aram
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:53 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hm...danke, aber hilft mir jetzt weniger weiter....ich weiß nicht wie man darauf kommt....
|
|
|
| |
|
Hi,
Ich würde an deiner Stelle das u' etwas verändern/vereinfchen. Ich habs mal durchgerechnet und es ist etwas einfacher geworden.
Wie hatten:
[mm] u=nx^{n-1}\cdot(-x^{n}+nx^{n}-n-1)
[/mm]
[mm] u'=nx^{n-2}\cdot(-3nx^{n}+2n²x^{n}-n²+1)
[/mm]
Ich werde die Ableitung per Hand noch mal durchrechnen und sag dann hier Bescheid wie es am einfachsten ist.
Du kannst deine Rechnung auch hier präsentieren und zeigen wo es Probleme gibt.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi Tyskie84 ,
danke für deine Antwort, aber sorry, ich glaube ich brauche die dritte Ableitung gar nicht. Also da ich ja eine systematische Untersuchung machen soll, reicht es ja dass ich die zweite Ableitung gleich null setze um herauszufinden, wieviele Wendepunkte existieren, richtig?
Deswegen brauch ich die dritte Ableitung nicht, aber danke für deine Mühe!
Also die zweite Ableitung = 0, da habe ich nun Probleme:
[mm] f_{n}'' [/mm] = 0
$ [mm] 0=\bruch{-nx^{2n-1}+n²x^{2n-1}-n²x^{n-1}-nx^{n-1}}{(1+x^{n})^{3}} [/mm] $ [mm] |*((1+x^{n})^{3})
[/mm]
[mm] 0={-nx^{2n-1}+n²x^{2n-1}-n²x^{n-1}-nx^{n-1}}
[/mm]
=> und dann? Weiter komme ich nicht.....
|
|
|
| |
|
> Also die zweite Ableitung = 0, da habe ich nun Probleme:
> [mm]f_{n}''[/mm] = 0
> [mm]0=\bruch{-nx^{2n-1}+n²x^{2n-1}-n²x^{n-1}-nx^{n-1}}{(1+x^{n})^{3}}[/mm]
> [mm]0={-nx^{2n-1}+n²x^{2n-1}-n²x^{n-1}-nx^{n-1}}[/mm]
Hier gilt es nun, auszuklammern: Man kann bis zu [mm]n*x^{n-1}[/mm] aus allen Summanden/Subtrahenden ausklammern:
[mm]\gdw -n*x^{2n-1}+n^{2}*x^{2n-1}-n^{2}*x^{n-1}-n*x^{n-1} = 0[/mm]
[mm]\gdw n*x^{n-1}*\left(-x^{n}+n*x^{n}-n-1\right) = 0[/mm]
Wir haben ein Produkt; das wird 0, wenn einer der Faktoren 0 wird. Den linken Faktor [mm]n*x^{n-1}[/mm] kannst du nun schon auswerten, die Auswertung des rechten Faktors schreib ich dir hin:
[mm]-x^{n}+n*x^{n}-n-1 = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{n}*(n-1)-n-1 = 0[/mm]
[mm]\gdw x^{n}*(n-1) = n+1[/mm]
[mm]\gdw x^{n}= \bruch{n+1}{n-1}[/mm]
[mm]\gdw x= \wurzel[n]{\bruch{n+1}{n-1}}[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi steppenhahn ,
danke für deine schnelle Antwort ;P
Aha, Satz vom Nullprodukt also, okee....
Also ist :
[mm] n*x^{n-1} [/mm] = 0 | : n
[mm] x^{n-1} [/mm] = 0 | n-1 Wurzelziehen
x = 0
Richtig??
|
|
|
| |
|
Prinzipiell ist das fast richtig - ich weiß aber nicht wie genau das bei euch alles genommen wird, deswegen schreib' ich noch ein bisschen Kritik 
> [mm]n*x^{n-1}[/mm] = 0 | : n
durch "n" ist nur möglich, falls du n = 0 vorher ausgeschlossen hast, z.B. in einer Extra-Behandlung. (Ansonsten stände da ja durch 0!)
> [mm]x^{n-1}[/mm] = 0 | n-1 Wurzelziehen
> x = 0
Auch hier Achtung! Falls n=1 ist die Aussage falsch [mm] (x^0 [/mm] = 1 [mm] \not= [/mm] 0), falls n<1 ist der Exponent vom x negativ, und es steht praktisch ein Term der Form
[mm] \bruch{1}{x^{blabla}}
[/mm]
auf der linken Seite - ein Term, der nie 0 werden kann. Du solltest diese Einschränkungen auf jeden Fall noch übernehmen, denn es gilt nicht allgemein für alle n die Lösung x = 0.
Die andere Lösung, die ich dir zu Ende geschrieben habe kann dagegen so stehen bleiben, da n an allen kritischen Stellen noch vorhanden ist. Bei einer Wahl von n merkt man ja so ob unter der Wurzel was negatives steht oder nicht. Das Problem bei deiner obigen Lösung war lediglich, dass die ohne "n" ist und somit praktisch so dasteht, als gälte sie für alle n, was wie von mir gezeigt nicht der Fall ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi!
Oh, ....die habe ich ja gar nicht beachtet,...stimmt! Danke!!!
Also habe ich jetzt dann :
positive gerade n => 3 Wendepunkte
negative gerade n => Keine Wendepunkte
positive ungerade n => 2 Wendepunkte für n=1, sonst 3 WP
negative ungerade n => ??
n=0 => Keine Wendepunkte
Richtig so??
|
|
|
| |
|
> n=0 => Keine Wendepunkte
Das ist richtig.
> positive gerade n => 3 Wendepunkte
> negative gerade n => Keine Wendepunkte
> positive ungerade n => 2 Wendepunkte für n=1, sonst 3 WP
> negative ungerade n => ??
Warum teilst du in gerade & ungerade auf? Das ist nicht nötig. Es gibt nur Folgende Fälle zu betrachten:
n < -1
n = -1
n = 0 (schon erledigt)
n = 1
n > 1
Du musst nun analysieren, wie sich die Wahl von n in diesen "Intervallen" auf die Lösungen für x bei den beiden Termen auswirkt.
(1) [mm]n*x^{n-1} = 0[/mm]
(2) [mm]\wurzel[n]{\bruch{n+1}{n-1}} = x[/mm]
Zum Beispiel:
n < -1
(1) hat keine Lösungen: Der Exponent von x wird negativ.
(2) hat zwei Lösungen.
[mm] \to [/mm] 2 Lösungen für n<-1
n = -1
(1) hat keine Lösungen: Der Exponent von x wird negativ.
(2) hat keine Lösungen, denn die (-1)-te Wurzel bedeutet das Reziproke des Bruchs nehmen --> Da steht dann durch "0" da.
[mm] \to [/mm] 0 Lösungen für n = -1
n = 0
[mm] \to [/mm] Keine Wendepunkte.
n = 1
(1) Keine Lösungen, liefert falsche Aussage 1 = 0
(2) Keine Lösungen, liefert unter der Wurzel durch "0".
[mm] \to [/mm] Keine Wendepunkte.
n > 1
(1) Liefert Lösung x = 0.
(2) Liefert zwei Lösungen.
[mm] \to [/mm] 3 Wendepunkte.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Fr 09.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hii^^, ja danke für die große Hilfe!!! Bin mit der Hilfe sehr weit gekommen.
Aber das
> (2) hat keine Lösungen, denn die (-1)-te Wurzel bedeutet
> das Reziproke des Bruchs nehmen --> Da steht dann durch "0"
> da.
verstehe ich nicht, wieso Kehrwert??
|
|
|
| |
|
n = -1
in die Formel
x = [mm] \wurzel[n]{\bruch{n+1}{n-1}}
[/mm]
einsetzen bringt
x = [mm] \wurzel[-1]{\bruch{-1+1}{-1-1}}
[/mm]
= [mm] \wurzel[-1]{0}
[/mm]
Nach Wurzelgesetzen ist
[mm] \wurzel[p](x) [/mm] = [mm] x^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
und somit stände dann bei dir
x = [mm] 0^{\bruch{1}{-1}} [/mm] = [mm] 0^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0^{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = n.l.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:54 Di 06.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Ahja, cool danke für die Tipps, werde mich dann mal näher mit beschäftigen..., bin mit der Zeit auch schon darauf gekommen, wusste aber nicht genau ob ich das richtig mache mit gerade, ungerade usw.
Dies gibt mir jetzt die Sicherheit, dass ich richtig angefangen habe hehe^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mi 07.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi^^
Also ich habe jetzt mit positive gerade n angefangen, nun weiß ich aber nicht genau wie die Symmetrie bei diesen Funktionen aussieht.
Ich würde jetzt sagen punksymmetrisch (-f(x)=f(-x)), ist das richtig?
Bei positive ungerade n weiß ich nicht, ich habe da jetzt keine Symmetrie....kann das sein?
Außerdem komme ich bei negativen geraden n nicht weiter, eigentlich haben ja alle Funktionen ja den gemeinsamen Punkt (0/0),was gleichzeitig auch Nullstelle ist, aber wieso ist der bei negativen geraden n nicht definiert? Oder zumindest zeigt mir mein GTR bei x=0, y= ERROR.
MangMang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Mi 07.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Symmetrie untersuchst du mimm, indem du f(-x) bestimmst.
Hier:
[mm] f(-x)=\bruch{-x}{1+(-x)^{n}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{x}{1+(-x)^{n}}
[/mm]
Und jetzt versuche mal die Fallunterscheidungen:
n gerade, alos [mm] x^{n} [/mm] achsensymmetrisch:
[mm] -\bruch{x}{1+(-x)^{n}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{x}{1+x^{n}}
[/mm]
=-f(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist....
n ungerade, also [mm] x^{n} [/mm] Punktsymmetrisch:
[mm] -\bruch{x}{1+(-x)^{n}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{x}{1+(-x^{n})}
[/mm]
[mm] =-\bruch{x}{1-x^{n}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{x}{-(1+x^{n})}
[/mm]
[mm] =\bruch{x}{1+x^{n}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist...
Die Unterscheidung n>0 oder n<0 ist hier nicht nötig, das ändert nicht an der Symmetrie von [mm] x^{n}
[/mm]
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Oke, vielen Dank!
Also habe ich jetzt für n gerade: Punktsymmetrisch und für n ungerade: Achsensymmetrisch.
(Achso stimmt, für positives oder negatives n macht das gar keinen Unterschied)
> Außerdem komme ich bei negativen geraden n nicht weiter,
> eigentlich haben ja alle Funktionen ja den gemeinsamen
> Punkt (0/0),was gleichzeitig auch Nullstelle ist, aber
> wieso ist der bei negativen geraden n nicht definiert? Oder
> zumindest zeigt mir mein GTR bei x=0, y= ERROR.
>
> MangMang
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:22 Do 08.05.2008 | | Autor: | aram |
> > Außerdem komme ich bei negativen geraden n nicht weiter,
> > eigentlich haben ja alle Funktionen ja den gemeinsamen
> > Punkt (0/0),was gleichzeitig auch Nullstelle ist, aber
> > wieso ist der bei negativen geraden n nicht definiert? Oder
> > zumindest zeigt mir mein GTR bei x=0, y= ERROR.
> >
> > MangMang
> >
Bei negativen geraden n ist x=0 definiert,denn f(0)=0.
Wenn du z.B. für n -2 einsetzst, kommst du auf die Funktion
[mm] \bruch{x^{3}}{1+x^{2}} [/mm]
und dafür ist x=0 eindeutig definiert.
Mfg Aram
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:21 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hey Aram, danke für deine Antwort, aber meine Funktion lautet $ [mm] \frac{x}{1+x^n} [/mm] $ und nicht $ [mm] \bruch{x^{3}}{1+x^{2}} [/mm] $.
Also wenn ich $ [mm] \frac{x}{1+x^{-2}} [/mm] $ im GTR zeichnen lasse, dann kommt bei mir für x=0, y= ERROR, aber wieso??
|
|
|
| |
|
Hallo MangMang,
> Hey Aram, danke für deine Antwort, aber meine Funktion
> lautet [mm]\frac{x}{1+x^n}[/mm] und nicht [mm]\bruch{x^{3}}{1+x^{2}} [/mm].
Das war doch ein Bsp für n=-2 und dafür sind die beiden Ausdrücke identisch, erweitere mal deine Version entsprechend:
[mm] $\frac{1}{1+x^{-2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\blue{\frac{x^2}{x^2}}+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}}=\frac{x\cdot{}x^2}{x^2+1}=\frac{x^3}{x^2+1}$
[/mm]
>
> Also wenn ich [mm]\frac{x}{1+x^{-2}}[/mm] im GTR zeichnen lasse,
> dann kommt bei mir für x=0, y= ERROR, aber wieso??
Na, was meinst du? Schaue dir nochmal den Ausdruck nach meiner ersten Umformung an: [mm] $\frac{1}{1+x^{-2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}}$
[/mm]
Das Biest ist für $x=0$ gar nicht definiert, du kannst ja im Nenner in dem Ausdruck [mm] $\frac{1}{x^2}$ [/mm] nicht x=0 einsetzen.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:22 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Hi schachuzipus!
Wow....stimmt, cool...danke danke danke für deine Hilfe!!! Darauf wäre ich nie gekommen...."Das Biest" hahahaha....
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Wie ist das asymptotische Verhalten für negative gerade n ?
Zum Beispiel für n = -2 ist die Asymptote p(x) = [mm] x^3, [/mm] ist das richtig?
Und allgemein dann p(x) = [mm] x^{n+1}
[/mm]
Richtig??
EDIT:
Ich habe wieder ein Problem^^", für negative ungerade n sind x=0 ( das weiß ich jetzt ja warum) und x=-1 nicht definiert, aber warum x=-1?? Hat das was mit den Definitionslücken zu tun?
MangMang
|
|
|
| |
|
Hi,
> Wie ist das asymptotische Verhalten für negative gerade n
> ?
> Zum Beispiel für n = -2 ist die Asymptote p(x) = [mm]x^3,[/mm] ist
> das richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wo ist deine Rechnung dazu? ich bekomme etwas anderes heraus.
> Und allgemein dann p(x) = [mm]x^{n+1}[/mm]
> Richtig??
>
> EDIT:
> Ich habe wieder ein Problem^^", für negative ungerade n
> sind x=0 ( das weiß ich jetzt ja warum) und x=-1 nicht
> definiert, aber warum x=-1?? Hat das was mit den
> Definitionslücken zu tun?
>
Mach dir doch einfach mal ein Beispiel:
Es sei:
[mm] \bruch{x}{1+x^{-3}}=\bruch{x}{1+\bruch{1}{x^{3}}} [/mm] Warum du jetzt nicht x=0 setzen kannst ist die ja klar denn dann stände da [mm] \bruch{0}{1+\bruch{1}{(\red{0})³}} [/mm] und man darf ja bekanntlich nicht durch 0 teilen. Nehmen wir den Fall x=-1 dann steht da [mm] \bruch{-1}{1+\bruch{1}{-1}}=\bruch{-1}{1-1}=\bruch{-1}{\red{0}} [/mm] und das geht auch nicht.
> MangMang
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Also zu den Asymptoten,....ich brauche da echt Hilfe, ich weiß ich sollte es vermeiden, aber ich muss diese Ausarbeitung morgen vor zehn Uhr abgeben. Tut mir Leid aber ich komme bei:
=> negativen ungeraden n
=> negativen geraden n
nicht weiter:
Bei negativen geraden n: Zählergrad > Nennergrad + 1 ( ist das richtig?), deswegen sollte man ne Polynomdivision machen, um die Asymptote rauszubekommen, oder? Ich weiß wie eine Polynomdivision geht, aber in dem Fall kommt das bei mir zu keinem Ende....
|
|
|
| |
|
Schräge Asymptoten
für ein n = -k (mit [mm] k\in\IN):
[/mm]
[mm] \bruch{x}{1+x^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^{-k}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+\bruch{1}{x^{k}}}.
[/mm]
Wenn ich nun x [mm] \to \infty [/mm] auswerte, erhalte ich:
die lineare Funktion f(x) = x
als schräge Asymptote.
Die normalen Asymptoten:
Eine senkrechte Asymptote entsteht, falls der Nenner 0 wird. Durch die obige Annahme für ein n = -k (mit [mm] k\in\IN) [/mm] entsteht zunächst
[mm] \bruch{x}{1+x^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+x^{-k}} [/mm] = [mm] \bruch{x}{1+\bruch{1}{x^{k}}}.
[/mm]
Der Nenner soll nun Null werden für eine Asymptote:
[mm] 1+\bruch{1}{x^{k}} [/mm] = 0
[mm] \gdw x^{k} [/mm] + 1 = 0
[mm] \gdw x^{k} [/mm] = -1
Nur falls k (also -n) ungerade ist, gibt es Lösungen, nämlich x = -1. (weil man dann die k-te Wurzel ziehen darf.
Falls k gerade ist, stände unter der k-ten Wurzel jedoch eine negative Zahl (-1), also gibt es für solche k (bzw. -n) keine senkrechten Asymptoten.
--> Falls n negativ ungerade, gibt es die senkrechte Asymptote x = -1, falls n negativ gerade, gibt es keine senkrechten Asymptoten.
Mehr kann ich heut nicht schreiben - Internet geht gleich aus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:25 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Ich habe noch eine weitere Frage^^":
Also wie ist die Wertemenge für gebrochenrationale Funktionen? Ich habe viel im Internet gesucht, aber nicht viel gefunden, und wenn dann habe ich das nicht verstanden, was drinne stand...
|
|
|
| |
|
Hi,
Schau mal vielleicht hilft dir das hier weiter
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Wertemenge
Ansonsten kannst du ja mal schreiben was du herausgefunden hast und dann gezielt deine Frage stellen was genau du nicht verstanden hast, dann können wir dir besser helfen.
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Oke, danke für den Link, bist mir echt ne große Hilfe Tyskie84 , ich bin dir echt dankbar!
Gruß,MangMang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Do 08.05.2008 | | Autor: | MangMang |
Kann mir jemand sagen, ob ich das noch irgendwie ausmultiplizieren kann, oder kürzer schreiben kann? Kann ich da noch etwas machen?
[mm] -n^2 [/mm] * ( [mm] \wurzel[n]$ \frac{-1}{1-n} $)^{n-1}
[/mm]
Dankeschön,...
|
|
|
| |
|
Hi,
Sofern du das hier meinst [mm] n^{2}\cdot(\wurzel[n]{-\frac{1}{1-n}})^{n-1} [/mm] könnte man da schon etwas machen.
Schreibe die Wurzel um als Potenz. Du weisst ja dass [mm] \wurzel{n}=n^{\bruch{1}{2}} [/mm] ist. Dann benötigst du noch ein Potenzgesetz, nämlich [mm] (n^{a})^{b}=n^{a\cdot\\b}. [/mm] Schlussendlich nach etwas Rechnerei solltest du auf folgenden Ausdruck kommen können:
[mm] -\bruch{n^{2}}{(1-n)^{\bruch{n-1}{n}}}
[/mm]
Gruß
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
Ich denke viel wichtiger ist die Frage wie die Funktionen für n ungeade und für n gerade aussieht. Da unterschieden sie sich am meisten.
