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| Aufgabe | $f(x) = [mm] \frac{x^2 -3x+2}{2x^3 +3x^2-3x-2}$
[/mm]
Bestimme Polstellen, Lücken, Nullstellen und Asymptoten und gib außerdem die stetig ergänzte Funktion an. |
Hallo,
Also der Definitionsbereich dieser Funktion ist mal [mm] $\mathbb{R} \backslash \{-2,-1/2,1\}$, [/mm] da dort [mm] $2x^3 +3x^2-3x-2 \neq [/mm] 0$ ist.
Damit haben wir auch bereits die Unstetigkeitstellen gefunden, also -2, [mm] \frac{-1}{2}, [/mm] 1.
Der Zähler [mm] x^2 [/mm] -3x+2 hat die Nullstellen 1 und 2.
damit ist also 1 eine hebbare Lücke, da
$f(x) = [mm] \frac{x^2 -3x+2}{2x^3 +3x^2-3x-2} [/mm] = [mm] \frac{(x-1)(x-2)}{2(x-1)(x+2)(x+1/2)} [/mm] = [mm] \frac{(x-2)}{2(x+2)(x+1/2)}$.
[/mm]
Die Stellen -2 und -1/2 sind Pole, da
[mm] \limes_{x\rightarrow -2^+}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -2^-}f(x) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
und
[mm] \limes_{x\rightarrow -1/2^+}f(x) [/mm] = [mm] -\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow -1/2^-}f(x) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Damit hat f an diesen Stellen auch senkrechte Asymptoten.
Für die 'schiefen' Asymptoten betrachten wir
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}f(x) [/mm] = 0. (heißt das, dass die x-Achse also eine Asymptote ist? )
Zur stetigen Ergänzung :
An -1/2 und -2 kann nicht stetig ergänzt werden - an 1 lautet die stetige Ergänzung einfach
f*(x) = [mm] \frac{(x-2)}{2(x+2)(x+1/2)}
[/mm]
Ich wäre sehr dankbar wenn sich das mal jemand anschauen könnte, ob das so passt ?
Vielen Dank und lg
Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Do 27.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x) = \frac{x^2 -3x+2}{2x^3 +3x^2-3x-2}[/mm]
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> Bestimme Polstellen, Lücken, Nullstellen und Asymptoten
> und gib außerdem die stetig ergänzte Funktion an.
> Hallo,
>
> Also der Definitionsbereich dieser Funktion ist mal
> [mm]\mathbb{R} \backslash \{-2,-1/2,1\}[/mm], da dort [mm]2x^3 +3x^2-3x-2 \neq 0[/mm]
> ist.
> Damit haben wir auch bereits die Unstetigkeitstellen
> gefunden, also -2, [mm]\frac{-1}{2},[/mm] 1.
>
> Der Zähler [mm]x^2[/mm] -3x+2 hat die Nullstellen 1 und 2.
>
> damit ist also 1 eine hebbare Lücke, da
>
> [mm]f(x) = \frac{x^2 -3x+2}{2x^3 +3x^2-3x-2} = \frac{(x-1)(x-2)}{2(x-1)(x+2)(x+1/2)} = \frac{(x-2)}{2(x+2)(x+1/2)}[/mm].
>
> Die Stellen -2 und -1/2 sind Pole, da
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -2^+}f(x)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow -2^-}f(x)[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
>
> und
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1/2^+}f(x)[/mm] = [mm]-\infty[/mm]
> [mm]\limes_{x\rightarrow -1/2^-}f(x)[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Damit hat f an diesen Stellen auch senkrechte Asymptoten.
>
> Für die 'schiefen' Asymptoten betrachten wir
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}f(x)[/mm] = 0. (heißt das, dass die
> x-Achse also eine Asymptote ist? )
>
> Zur stetigen Ergänzung :
>
> An -1/2 und -2 kann nicht stetig ergänzt werden - an 1
> lautet die stetige Ergänzung einfach
>
> f*(x) = [mm]\frac{(x-2)}{2(x+2)(x+1/2)}[/mm]
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> Ich wäre sehr dankbar wenn sich das mal jemand anschauen
> könnte, ob das so passt ?
>
Passt alles.
FRED
> Vielen Dank und lg
>
> Peter
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Sorry, hab nicht mitgekriegt, dass fred97 schon eher am Ball war.
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