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Gebiete in \IC: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 Di 05.05.2015
Autor: Calculu

Aufgabe
Seien [mm] G_{1}, G_{2} \subseteq \IC [/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen Sie:
Die Menge [mm] G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm] ist ein Gebiet in [mm] \IC. [/mm]


Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition offen und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm] G_{1}-G_{2} [/mm] ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit schon ins Stocken.
Kann ich [mm] G_{1}-G_{2} [/mm] schreiben als [mm] G_{1} \setminus G_{2} [/mm] mit [mm] G_{1}\setminus G_{2} [/mm] = [mm] \{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}? [/mm]

        
Bezug
Gebiete in \IC: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:58 Di 05.05.2015
Autor: fred97


> Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> Sie:
>  Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
>  
> Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
>  Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition offen
> und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> schon ins Stocken.
> Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]

Nein. So ist  [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so (siehe oben):

$ [mm] G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm] $.

FRED

P.S.:  für festes z [mm] \in G_1 [/mm] setze

    [mm] A_z:=\{z-w: w \in G_2\} [/mm]

Zeige: [mm] A_z [/mm] ist offen.

Weiter ist  [mm] G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z [/mm]

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Gebiete in \IC: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:53 Di 05.05.2015
Autor: Calculu


> > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > Sie:
>  >  Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
>  >  
> > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
>  >  Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition offen
> > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > schon ins Stocken.
> > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
>
> Nein. So ist  [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> (siehe oben):
>  
> [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
>  
> FRED
>  
> P.S.:  für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
>  
> [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
>  
> Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
>  
> Weiter ist  [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
>  
> FRED
>  >  
>  

Danke für die Hilfe.
Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll: [mm] G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z [/mm] ist als Vereinigung offener Mengen wieder offen. Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm] A_{z} [/mm] offen ist.
Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion auszunutzen?

Bezug
                        
Bezug
Gebiete in \IC: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Di 05.05.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> > > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > > Sie:
>  >  >  Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
>  >  >  
> > > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
>  >  >  Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition
> offen
> > > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > > schon ins Stocken.
> > > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
> >
> > Nein. So ist  [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> > (siehe oben):
>  >  
> > [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
>  >  
> > FRED
>  >  
> > P.S.:  für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
>  >  
> > [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
>  >  
> > Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
>  >  
> > Weiter ist  [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
>  >  
> > FRED
>  >  >  
> >  

>
> Danke für die Hilfe.
>  Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll:
> [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm] ist als Vereinigung
> offener Mengen wieder offen.

genau, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind wieder offen.

> Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm]A_{z}[/mm] offen ist.

Das ist hinreichend.

>  Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion
> auszunutzen?

Ich würde es so machen: Es sei

    $p [mm] \in A_z\,,$ [/mm]

also

    [mm] $z-p=w_0$ [/mm] mit einem [mm] $w_0 \in G_2$. [/mm]

Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass

    [mm] $U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2$. [/mm]

Sei $p' [mm] \in U_{\epsilon}(p)$. [/mm] Dann gilt

    $|p'-p| < [mm] \epsilon$. [/mm]

Setze [mm] $w':=w_0+(p'-p)$. [/mm] Dann ist wegen

    [mm] $|w'-w_0|=|p'-p| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] und  [mm] $U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2$ [/mm]

also $w' [mm] \in G_2$. [/mm]

Wir haben noch $p' [mm] \in A_z$ [/mm] nachzuweisen: Aus

    [mm] $z-p'=z-(w'-w_0+p)=w_0+p-(w'-w_0+p)=w_0+(w_0-w')$ [/mm]

folgt $z-p' [mm] \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2$. [/mm]

Wegen $p'=z-(z-p')$ ergibt sich somit also

    $p' [mm] \in A_z\,.$ [/mm]

P.S. Es kann sein, dass ich mich irgendwo im Kreis gedreht habe und sich
manches auch einfacher/schneller hinschreiben läßt. ^^

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Gebiete in \IC: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:31 Mi 06.05.2015
Autor: Calculu


> Hallo,
>  
> > > > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > > > Sie:
>  >  >  >  Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > > > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
>  >  >  >  Ich weiß, dass die beiden Gebiete per Definition
> > offen
> > > > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > > > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > > > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > > > schon ins Stocken.
> > > > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > > > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
> > >
> > > Nein. So ist  [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> > > (siehe oben):
>  >  >  
> > > [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
>  >  >

>  
> > > FRED
>  >  >  
> > > P.S.:  für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
>  >  >  
> > > [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
>  >  >  
> > > Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
>  >  >  
> > > Weiter ist  [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
>  >  >

>  
> > > FRED
>  >  >  >  
> > >  

> >
> > Danke für die Hilfe.
>  >  Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll:
> > [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm] ist als Vereinigung
> > offener Mengen wieder offen.
>
> genau, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind
> wieder offen.
>  
> > Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm]A_{z}[/mm] offen ist.
>  
> Das ist hinreichend.
>  
> >  Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion

> > auszunutzen?
>
> Ich würde es so machen: Es sei
>  
> [mm]p \in A_z\,,[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]z-p=w_0[/mm] mit einem [mm]w_0 \in G_2[/mm].
>  
> Sei nun [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
>  
> [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
>  
> Sei [mm]p' \in U_{\epsilon}(p)[/mm]. Dann gilt
>  
> [mm]|p'-p| < \epsilon[/mm].
>  
> Setze [mm]w':=w_0+(p'-p)[/mm]. Dann ist wegen
>  
> [mm]|w'-w_0|=|p'-p| < \epsilon[/mm] und  
> [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm]
>  
> also [mm]w' \in G_2[/mm].
>  
> Wir haben noch [mm]p' \in A_z[/mm] nachzuweisen: Aus
>  
> [mm]z-p'=z-(w'-w_0+p)=w_0+p-(w'-w_0+p)=w_0+(w_0-w')[/mm]
>  
> folgt [mm]z-p' \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].

Wieso kann ich aus z-p' = [mm] w_0+(w_0-w') [/mm] folgern, dass z-p' [mm] \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2 [/mm] ???

>  
> Wegen [mm]p'=z-(z-p')[/mm] ergibt sich somit also
>
> [mm]p' \in A_z\,.[/mm]

Dieser Schritt ist mir auch nicht klar.

Vielen Dank für deine Mühe!

>  
> P.S. Es kann sein, dass ich mich irgendwo im Kreis gedreht
> habe und sich
>  manches auch einfacher/schneller hinschreiben läßt. ^^
>  
> Gruß,
>    Marcel


Bezug
                                        
Bezug
Gebiete in \IC: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mi 06.05.2015
Autor: fred97


> > Hallo,
>  >  
> > > > > Seien [mm]G_{1}, G_{2} \subseteq \IC[/mm] nichtleere Gebiete. Zeigen
> > > > > Sie:
>  >  >  >  >  Die Menge [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \}[/mm]
> > > > > ist ein Gebiet in [mm]\IC.[/mm]
>  >  >  >  >  
> > > > > Ich brauche einen Tipp für die folgende Aufgabe.
>  >  >  >  >  Ich weiß, dass die beiden Gebiete per
> Definition
> > > offen
> > > > > und zusammenhängend sind. Um zu zeigen, dass [mm]G_{1}-G_{2}[/mm]
> > > > > ein Gebiet ist, will ich zeigen, dass es offen und
> > > > > zusammenhängend ist. Leider komme ich bei der Offenheit
> > > > > schon ins Stocken.
> > > > > Kann ich [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] schreiben als [mm]G_{1} \setminus G_{2}[/mm]
> > > > > mit [mm]G_{1}\setminus G_{2}[/mm] = [mm]\{x| (x \in G_{1}) \wedge (x \not\in G_{2})\}?[/mm]
> > > >
> > > > Nein. So ist  [mm]G_{1}-G_{2}[/mm] nicht definiert, sondern so
> > > > (siehe oben):
>  >  >  >  
> > > > [mm]G_{1}-G_{2}=\{ z-w; z \in G_{1}, w \in G_{2} \} [/mm].
>  >  
> >  >

> >  

> > > > FRED
>  >  >  >  
> > > > P.S.:  für festes z [mm]\in G_1[/mm] setze
>  >  >  >  
> > > > [mm]A_z:=\{z-w: w \in G_2\}[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Zeige: [mm]A_z[/mm] ist offen.
>  >  >  >  
> > > > Weiter ist  [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm]
>  >  
> >  >

> >  

> > > > FRED
>  >  >  >  >  
> > > >  

> > >
> > > Danke für die Hilfe.
>  >  >  Ich denke ich verstehe worauf es rauslaufen soll:
> > > [mm]G_{1}-G_{2}=\bigcup_{z \in G_1}^{}A_z[/mm] ist als Vereinigung
> > > offener Mengen wieder offen.
> >
> > genau, denn beliebige Vereinigungen offener Mengen sind
> > wieder offen.
>  >  
> > > Nur muss ich dazu zeigen, dass [mm]A_{z}[/mm] offen ist.
>  >  
> > Das ist hinreichend.
>  >  
> > >  Ist es sinnvoll hierzu die Stetigkeit der Subtraktion

> > > auszunutzen?
> >
> > Ich würde es so machen: Es sei
>  >  
> > [mm]p \in A_z\,,[/mm]
>  >  
> > also
>  >  
> > [mm]z-p=w_0[/mm] mit einem [mm]w_0 \in G_2[/mm].
>  >  
> > Sei nun [mm]\epsilon > 0[/mm] so, dass
>  >  
> > [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
>  >  
> > Sei [mm]p' \in U_{\epsilon}(p)[/mm]. Dann gilt
>  >  
> > [mm]|p'-p| < \epsilon[/mm].
>  >  
> > Setze [mm]w':=w_0+(p'-p)[/mm]. Dann ist wegen
>  >  
> > [mm]|w'-w_0|=|p'-p| < \epsilon[/mm] und  
> > [mm]U_{\epsilon}(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm]
>  >  
> > also [mm]w' \in G_2[/mm].
>  >  
> > Wir haben noch [mm]p' \in A_z[/mm] nachzuweisen: Aus
>  >  
> > [mm]z-p'=z-(w'-w_0+p)=w_0+p-(w'-w_0+p)=w_0+(w_0-w')[/mm]
>  >  
> > folgt [mm]z-p' \in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm].
>  
> Wieso kann ich aus z-p' = [mm]w_0+(w_0-w')[/mm] folgern, dass z-p'
> [mm]\in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2[/mm] ???


Es ist

  [mm] $(z-p')-w_0=w_0-w'$ [/mm]

folglich

   [mm] $|(z-p')-w_0|=|w_0-w'|< \epsilon$ [/mm]

daher

  [mm] $z-p'\in U_\epsilon(w_0)\;\subseteq\;G_2$ [/mm]

>  >  
> > Wegen [mm]p'=z-(z-p')[/mm] ergibt sich somit also
> >
> > [mm]p' \in A_z\,.[/mm]
>  
> Dieser Schritt ist mir auch nicht klar.

Es ist p'=z-(z-p') und z-p' [mm] \in G_2. [/mm]

Dann folgt  [mm]p' \in A_z\,.[/mm] nach Def. von [mm] A_z. [/mm]

FRED

>  
> Vielen Dank für deine Mühe!
>  
> >  

> > P.S. Es kann sein, dass ich mich irgendwo im Kreis gedreht
> > habe und sich
>  >  manches auch einfacher/schneller hinschreiben läßt.
> ^^
>  >  
> > Gruß,
>  >    Marcel
>  


Bezug
                                                
Bezug
Gebiete in \IC: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 Mi 06.05.2015
Autor: Calculu

Vielen Dank. Jetzt ist es mir klar geworden.

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