Gaußtest und Alpha-Niveau < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Sa 06.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
| Aufgabe | | Seien X1,..., X10 unabhängig, und jedes Xi ∼ N(μ, 1)-verteilt, wobei μ ∈ R unbekannt ist. Bestimmen Sie die Gütefunktion β für den Test, der die Hypothese H = {μ = 0} verwirft, wenn für den Mittelwert [mm] \overline{x} [/mm] gilt [mm] |\overline{x}| [/mm] > [mm] \bruch{1.96}{\wurzel{10}} [/mm] . Welches Niveau hat der Test ? Zeigen Sie, dass die Gütefunktion symmetrisch um Null ist, und für μ ≥ 0 streng monoton wachsend. Bestimmen Sie lim β(μ) für μ→∞. Es ist Φ(1.96) = 0.975. |
Hallo,
noch eine Aufgabe, die ich zur gemeinsamen Diskussion anbiete ;)
Meine Überlegungen:
Ergibt folgenden Test:
[mm] \phi(X)=\begin{cases} 1 & \mbox{für } |\overline{x}| > \bruch{1.96}{\wurzel{10}} \\ 0 & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Gütefunktion für [mm] \mu_{0}=0:
[/mm]
[mm] \beta(0)=P_{0}(\phi=1)=P_{0}(|\overline{x}| [/mm] > [mm] \bruch{1.96}{\wurzel{10}})=1-P_{0}(|\overline{x}| \le \bruch{1.96}{\wurzel{10}}=1-\Phi(1.96)=1-0.975=0.025
[/mm]
Das [mm] \alpha-Niveau [/mm] ist also [mm] \alpha=0.025
[/mm]
Ist das so korrekt?
Weiter soll nun gezeigt werden, dass die Gütefunktion um 0 symmetrisch ist. Also die Gütefunktion entspricht ja der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und diese ist um 0 eben symmetrisch?
Grüße, Johnny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 So 07.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
[Erledigt]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 So 07.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
So was ist "Erledigt"? Kann das Ergebnis bestätigt werden oder nicht? Gibt es keinen Mathematik oder Mathematikbegeisterten in diesem Forum, der "Vorhilfe" leisten kann und mir bei dieser Aufgabe helfen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 So 07.07.2013 | | Autor: | luis52 |
> [mm]\beta(0)=P_{0}(\phi=1)=P_{0}(|\overline{x}|[/mm] >
> [mm]\bruch{1.96}{\wurzel{10}})=1-P_{0}(|\overline{x}| \le \bruch{1.96}{\wurzel{10}}=1-\Phi(1.96)=1-0.975=0.025[/mm]
>
> Das [mm]\alpha-Niveau[/mm] ist also [mm]\alpha=0.025[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
>
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
$ [mm] \beta(0)=P_{0}(\phi=1)=P_{0}(|\overline{x}| [/mm] $ > $ [mm] \bruch{1.96}{\wurzel{10}})= 2P_{0}(\overline{x} [/mm] $ > $ [mm] \bruch{1.96}{\wurzel{10}})=2\cdot0.025=0.05 [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 So 07.07.2013 | | Autor: | yangwar1 |
ok. meine Frage konnte ich selbst lœsen)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:44 Mo 08.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
ok. Aber wenn du diese Aufgabe lösen konntest, dann wäre es doch unglaublich hilfreich, wenn du die Lösung auch posten würdest oder nicht?
Dann noch eine Frage zum Betrag. Ich verstehe nicht, warum der Betrag beachtet werden muss. Da [mm] \overline{x} [/mm] doch immer positiv ist, ist doch [mm] |\overline{x}| [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm] oder etwa nicht?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 Mo 08.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
> ok. Aber wenn du diese Aufgabe lösen konntest, dann wäre
> es doch unglaublich hilfreich, wenn du die Lösung auch
> posten würdest oder nicht?
Das sehe ich ähnlich, dafür ist das Forum ja gedacht.
>
> Dann noch eine Frage zum Betrag. Ich verstehe nicht, warum
> der Betrag beachtet werden muss. Da [mm]\overline{x}[/mm] doch immer
> positiv ist
Woraus schliesst du das? Das ist meiner Meinung nach in der Aufgabe nicht ersichtlich, dass [mm] \overline{x}>0
[/mm]
> , ist doch [mm]|\overline{x}|[/mm] = [mm]\overline{x}[/mm] oder etwa nicht?
Für [mm] \overline{x}>0 [/mm] in der Tat. Aber das ist meiner Meinung nach nicht ersichtlich.
>
> Gruß
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:55 Mo 08.07.2013 | | Autor: | luis52 |
>
> Für [mm]\overline{x}>0[/mm] in der Tat. Aber das ist meiner Meinung
> nach nicht ersichtlich.
>
... und auch falsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:02 Mo 08.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
Ja stimmt ihr habt recht. Ich war noch zu sehr auf die vorherige Aufgabe fixiert. Da wurde immer das Gewicht ermittelt (welches ja nur positiv sein kann). Danke! Ich werde gleich mal alles komplett posten. Das Nachweisen der Eigenschaften (Symmetrie etc) bereitet noch ein paar Problemchen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Mo 08.07.2013 | | Autor: | johnny23 |
OK. Also ersteinmal vielen Dank. So ich hoffe die Bestimmung der Gütefunktion sollte kein Problem mehr sein:
[mm] \beta(\mu_{0})=P_{\mu_{0}}(\Phi=1)=P_{\mu_{0}}(|\overline{X}|>\bruch{1.96}{\wurzel{10}})=2(P_{\mu_{0}}(\overline{X}>\bruch{1.96}{\wurzel{10}})=2(1-P_{\mu_{0}}(\overline{X}\le\bruch{1.96}{\wurzel{10}}))=2-2\Phi(1.96-\wurzel{10}\mu_{0})
[/mm]
Für [mm] \mu_{0}=0 [/mm] ist dann [mm] \beta(0)=2-2\Phi(1.96)=0.05
[/mm]
So nun ist mir nicht klar, wie ich Symmetrie, Monotonie und den Grenzwert nachweisen soll.
Ich habe mir überlegt:
Sei [mm] Y:=1.96-\wurzel{10}\mu_{0}, [/mm] dann
[mm] \beta(\mu_{0})=2-2\Phi(Y)=2-2*\bruch{1}{2\pi}*\integral_{-\infty}^{Y}{e^{-\bruch{1}{2}*t^2} dt}
[/mm]
Nun weiß man ja, dass [mm] \Phi(Y) [/mm] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist und diese ist symmetrisch um den Nullpunkt, die Symmetrie bleibt erhalten, wenn die Funktion mit einer Konstanten [mm] 2-\bruch{1}{\pi} [/mm] multipliziert wird.
Weiter dachte ich mir,
für [mm] \mu_{0} [/mm] = 0 ist ja bekanntlich [mm] \beta(0)=0.05
[/mm]
für [mm] \mu_{0}\to\infty [/mm] geht ja [mm] Y\to-\infty
[/mm]
für [mm] \mu_{0}\to-\infty [/mm] geht ja [mm] Y\to\infty
[/mm]
Wenn man die Verteilungsfunktion [mm] \Phi [/mm] nun sieht, bzw. weis, wie diese aussieht, dann sieht man doch, dass für [mm] \mu_{0}\ge0 [/mm] die obere Grenze Y des Integrals nach "links" wandert und die Funktion ab dieser Stelle monoton steigt.
Da die obere Grenze Y immer weiter nach "links" wandert, sobald [mm] \mu_{0}\to\infty [/mm] läuft, sieht man doch, dass die "Fläche" also die Wkeit gegen Null läuft, oder nicht?
Sind diese Überlegungen schonmal korrekt? Wie kann man dies elementar zeigen? Die Stammfunktion von [mm] \Phi [/mm] ist ja nicht einfach bestimmbar, sodass ich z.B. nach Definition (f(-x)=-f(x)) Symmetrie nachweisen könnte, oder?
Danke, Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Mo 08.07.2013 | | Autor: | luis52 |
Moin,
hier ist leider so gut wie nichts korrekt, und ich weiss nicht, wo ich mit der Korrektur beginnen kann.
Kurzum, hier die Guetefunktion:
[mm] \begin{matrix} \beta(\mu)&=&P(\text{H$_0$ ablehnen, wenn E$[X]=\mu$}) \\ &=&P\left(|\bar X|>\dfrac{1.96}{\sqrt{10}}\right) \\ &=&1-P\left(|\bar X|\le\dfrac{1.96}{\sqrt{10}}\right) \\ &=&1-P\left(-\dfrac{1.96}{\sqrt{10}}\le\bar X\le\dfrac{1.96}{\sqrt{10}}\right) \\ &=&1-\Phi\left(\dfrac{1.96/\sqrt{10}-\mu}{1/\sqrt{10}}\right) +\Phi\left(\dfrac{-1.96/\sqrt{10}-\mu}{1/\sqrt{10}}\right)\\ &=&1-\Phi\left(1.96-\mu\sqrt{10}\right) + \Phi\left(-1.96-\mu\sqrt{10}\right) \end{matrix}$
[/mm]
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