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Hallo Leute,
Wie kann ich diese Aufgabe lösen, kann jemand mir die Schritte bis zum Ergebnis genau erklären?
Hier die Aufgabe:
Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß´schen Eliminationsverfahrens die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems A * x = b. Welche rellen Parameterwerte sind für [mm] \lambda
[/mm]
A = [mm] \pmat{ 1 & \lambda & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -1 }
[/mm]
und b = $ [mm] \pmat{ 3 \\ 5 \\ -2 } [/mm] $
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Hallo!
> Hier die Aufgabe:
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> Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß´schen
> Eliminationsverfahrens die Lösungsmenge des linearen
> Gleichungssystems A * x = b. Welche rellen Parameterwerte
> sind für [mm]\lambda[/mm]
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & \lambda & 1 \\ 2 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & -1 }[/mm]
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> und b = [mm]\pmat{ 3 \\ 5 \\ -2 }[/mm]
Ich hoffe, ich habe jetzt das richtige Verfahren angewendet - es gibt da ja so viele verschiedene Bezeichnungen und ich bin mir nicht immer ganz sicher, ob es auch wirklich dasselbe ist...
Du hast ja A*x=b, wobei A und b gegeben sind. Du schreibst dann deine Matrix so:
[mm] \pmat{1 & \lambda & 1 & | \;3 \\ 2 & 0 & 3 &|\; 5 \\ -1 & 0 & -1 & |-2} [/mm]
Nun ist es Ziel, den linken Teil der Matrix (eigentlich ist der Strich, der die eigentliche Matrix von dem b abtrennt, komplett durchgezogen - ich weiß nur nicht so genau, wie ich das hier darstellen soll...) auf Dreiecksform zu bringen, d.h. in der ersten Zeile noch alle drei Elemente [mm] \not= [/mm] 0 zu haben, in der zweiten aber nur die letzten beiden [mm] \not= [/mm] 0 (also der erste Eintrag muss dort 0 sein), und in der dritten müssen die beiden ersten Einträge =0 sein. Erlaubt sind hierfür Vertauschungen von Zeilen, Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar und Addition bzw. Subtraktion einer Zeile von einer anderen (beachte, dass auch der Wert rechts neben dem Strich, also das b, mitverändert wird!).
Nun subtrahieren wir als erstes die erste Zeile zweimal von der zweiten (Man schreibt auch, wenn man die Zeilen von oben durchnummeriert, II-2*I.) - lassen also die erste Zeile unverändert, nur in die zweite Zeile kommt dann die Differenz. Und damit ich hier nicht so viel schreiben muss, mache ich direkt noch einen Schritt, nämlich ich addiere die erste und die dritte Zeile (also I+III) und schreibe das in die dritte Zeile:
[mm] \pmat{1 & \lambda & 1 & | \;3 \\ 0 & -2\lambda & 1 &| -1 \\ 0 & \lambda & 0 & |\;1}
[/mm]
Nun rechnen wir: II+2*III und erhalten:
[mm] \pmat{1 & \lambda & 1 & | \;3 \\ 0 & 0 & 1 &| 1 \\ 0 & \lambda & 0 & |\;1}
[/mm]
Wenn man das Verfahren jetzt bis zum Ende schön aufschreiben will, vertauscht man einfach noch die 2. und die 3. Zeile, damit man wirklich diese Dreiecksform hat. Aber im Prinzip könnte man das ganze auch jetzt schon auflösen:
[mm] x_3=1
[/mm]
[mm] \lambda x_2=1
[/mm]
[mm] x_1+\lambda x_2+x_3=3 \Rightarrow x_1+1+1=3 \Rightarrow x_1=1
[/mm]
Alles klar? Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo verrechnet...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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