Gaußsches Eliminationsverfahre < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mi 28.05.2014 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | Lösen Sie mithilfe des GAUSSschen Eliminationsverfahren das lineare inhomogene Gleichungssystem
x + 2y + 1z + 3w = -5
x + 3y + 2z + 5w = -2
3x + 7y + 5z + 14w = -4 |
Hallo,
grundsätzlich sind diese Beispiele kein Problem, aber es muss bei diesem irgendeinen Trick geben auf den ich nicht komme...
Habe bereits versucht die Zeilen/ Spalten zu vertauschen, aber ohne Erfolg!
Hier mein Rechengang:
x y z w
I: 1 2 1 3 -5
II: 1 3 2 5 -2
III: 3 7 5 14 -4
habe nun die Spalte x mit z vertauscht
I: 1 2 1 3 -5
II: 2 3 1 5 -2
III: 5 7 3 14 -4
I´ = I: 1 2 1 3 -5
II´ = II-2*I: 0 -1 -1 -1 8
III´ = III-5*I: 0 -3 -2 -1 16
I´´= I´: 1 2 1 3 -5
II´´= II´: 0 -1 -1 -1 8
III´= III´-3*II: 0 0 1 2 -8
Jetzt habe ich zwar die Dreiecksform erreicht, aber stimmt das so? Komme hier nun nicht mehr weiter, denn eigentlich müssten ja in der letzten Zeile nur noch Nuller stehen, damit ich eine Lösung erhalte (x= [mm] x_p+ x_n). [/mm] Beziehungsweise muss ich ja dann irgendwie daraus eine Unbekannte ausrechnen können, aber ich habe ja 3 davon...
LG,Marie
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mi 28.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nur 3 Gleichungen aber 4 Unbekannte, Also kannst du mindestens eine frei wählen, nenne sie r, also z.B x=r dann alle anderen durch r ausdrücken, Damit hast du unendlich viele Lösungen
Bitte gib in deinem Profil an, auf welchem Niveau du bist, Schule oder Uni oder...
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:14 Do 29.05.2014 | | Autor: | Marie886 |
Danke, habe zu kompliziert gedacht, habe nun für eine Unbekannte irgendeinen Wert (zB.: 0) eingesetzt und ich komme auf ein plausibles Ergebnis.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Do 29.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hoffe es ist dir trotzdem klar dass das dann nur eins von unendlich vielen Lösungen ist.
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:37 So 01.06.2014 | | Autor: | Marie886 |
... weil ich jede Zahl einsetzen kann die ich will??
wann weiß ich denn ob ich irgendeiner Unbekannten eine beliebige Zahl zuordnen kann?
Zum Beispiel wenn ich 4 Gleichungen und 3 Unbekannte habe: kann ich dann annehmen dass zB. [mm] \mu_1=1 [/mm] und abhängig von dieser bestimme ich dann [mm] \mu_2 [/mm] und [mm] \mu_3?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ja, aber am besten ist es einfach wenn du dann das LGS in Abhängigkeit des Parameters [mm] $\mu_1$ [/mm] löst und keinen festen Wert nimmst. Dann bestimmst du direkt alle unendlich vielen Lösungen und kannst dann am Ende einfach einen beliebigen Wert einsetzen und hast direkt die Lösung zu diesem Wert da stehen.
So wird die Aufgabe auch gemeint sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 So 01.06.2014 | | Autor: | Marie886 |
das heißt dass ich zB herausfinde dass [mm] \mu_1=-\mu_3 [/mm] ist und [mm] \mu_2=-\mu_3 [/mm] ...und dann einen beliebigen Wert für [mm] \mu_1 [/mm] einsetze?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 So 01.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Jein, was soll denn [mm] $\mu_3$ [/mm] etc. sein?
Zu erst löst du das LGS ganz normal. Das heißt, dass du zu erst versuchst es auf eine untere Dreiecksform zu bringen (oder eine andere Form wo du das LGS lösen kannst). Da dieses LGS überbestimmt ist (3 Gleichungen 4 Variabeln) ist es mehrdeutig lösbar.
Nun wählst du eine Variable als Parameter. Zum Beispiel [mm] $w=\mu$ [/mm] und setzt dies dann ein.
Was du dann als Lösungsvektor erhältst sollte keine weiteren zusätzlichen Muhs enthalten ;)
Mehh, habe schon bessere Witze gerissen, aber was solls...
|
|
|
|
