Gaußscher Integralsatz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fighter |
| Aufgabe | Gegeben ist folgendes Vektorfeld im R3:
v(x)=(a^2yz,-b^2xz,2xyz), a,b Elemente [mm] R\{0}
[/mm]
Berrechnen Sie [mm] \integral_{ }^{ }{v dO}, [/mm] wobie F die Oberfläche des Körpers
{(x,y,z) x,y >= 0, 0<=z<=1, [mm] x^2/a^2+y^2/b^2<=1}
[/mm]
ist, mit Hilfe des Gauschen Integralsatzes. |
Hi,
Zuerst muss man ja mal die div(v) ausrechen das wäre dann
2xy
nur weiß ich nicht wie ich das volumen aufintegrieren kann.
handelt es sich bei dem körper um einen halben Zylinder?
mfg
|
|
| |
|
> Gegeben ist folgendes Vektorfeld im R3:
> v(x)=(a^2yz,-b^2xz,2xyz), a,b Elemente [mm]R \backslash \{0\}[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]\integral_{ }^{ }{v dO},[/mm] wobei F die
> Oberfläche des Körpers [mm] \{(x,y,z)\ \big{|}\ x,y >= 0\ ,\ 0<=z<=1\ ,\ x^2/a^2+y^2/b^2<=1\}[/mm]
> ist, mit Hilfe des Gauss' schen Integralsatzes.
> Hi,
> Zuerst muss man ja mal die div(v) ausrechen das wäre dann
> 2xy
>
> nur weiß ich nicht wie ich das volumen aufintegrieren kann.
> handelt es sich bei dem körper um einen halben Zylinder?
>
> mfg
Die Gleichung [mm]x^2/a^2+y^2/b^2=1}[/mm] beschreibt eine
Ellipse in der x-y-Ebene (Mittelpunkt O(0/0), Halbachse |a| auf x-Achse,
Halbachse |b| auf y-Achse.
Der Körper ist also ein Viertel eines elliptischen Zylinders mit der
Höhe 1.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Fr 20.06.2008 | | Autor: | fighter |
Danke für die rasche antwort.
Wie komme ich bei dieser Ellipse auf die Grenzen der Integrale?
Sollte ich da auch auf Polarkordinaten wechseln, bzw. ist das überhaupt möglich?
mfg
|
|
|
| |
|
>
> Danke für die rasche antwort.
>
> Wie komme ich bei dieser Ellipse auf die Grenzen der
> Integrale?
>
> Sollte ich da auch auf Polarkordinaten wechseln, bzw. ist
> das überhaupt möglich?
>
> mfg
Du kannst es mit oder ohne Polarkoordinaten (Zylinderkoordinaten)
versuchen.
Mit x-y-z- Koordinaten:
z von 0 bis 1 x von 0 bis 1 y von 0 bis [mm] b*\wurzel{1-\bruch{x^2}{a^2}}
[/mm]
Mit Polarkoordinaten:
z von 0 bis 1 [mm] x=a*cos(\varphi)\quad \quad y=b*sin(\varphi)\quad \quad \quad \varphi [/mm] von 0 bis [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
(bei Polarkoordinaten die richtige Transformation der Differentiale beachten !)
Wichtig ist auch, die Reihenfolge der Integrationen geeignet zu wählen !
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 23.06.2008 | | Autor: | fighter |
[mm] \integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{b*\wurzel{1-x^2/b^2}}{2xy dx} dx} dz}
[/mm]
Kann dieses Integral stimmen?
mfg
|
|
|
| |
|
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{1}{\integral_{0}^{b*\wurzel{1-x^2/b^2}}{2xy dx} dx} dz}[/mm]
>
> Kann dieses Integral stimmen?
>
So sicher nicht - das a kommt gar nicht mehr vor und ich sehe kein dy !
Um die Anordnung der Integrationen wirklich klar zu machen,
würde ich dir noch empfehlen, das Integral z.B. so zu schreiben:
[mm]\integral_{z=0}^{1}\ {\integral_{x=0}^{1}\ {\integral_{y=0}^{.....}{2xy \ dy} \ dx} \ dz}[/mm]
oder sogar so:
[mm]\integral_{z=0}^{1}dz\integral_{x=0}^{1}dx{\integral_{y=0}^{.....} \ dy*2*x*y [/mm]
lg
|
|
|
|
