Gaußscher Algorithmus < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 15.02.2004 | | Autor: | Sophia |
Ich komme nicht auf die Lösungsmenge des lin.GLS:
Löse mit dem Gaußschen Algorihmus:
-2x+4y-6z=16
-x+0y-6z=26
4x-3y+0z=1
-3x+2y-2z=8
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 So 15.02.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sophia,
willkommen im Matheraum! 
Zunächst einmal: Normalerweise erwarten wir hier etwas mehr Kooperation. Es wäre zum Beispiel hilfreich gewesen, wenn du uns deinen kompletten Rechenweg hier gepostet hättest, damit wir zusammen nach deinem Fehler suchen können. So verbleibt die ganze mühselige Schreibarbeit bei mir, obwohl das nicht meine Aufgabe ist. Versuche also in Zukunft bitte mehr aktiv mitzuarbeiten. In diesem Fall, weil es dein erster Beitrag ist, will ich die komplette Rechnung einmal vorführen.
Zunächst formulieren wir das Gleichungssystem in Matrixschreibweise:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} -2 & 4 & -6 & 16\\ -1 & 0 & -6 & 26\\ 4 & -3 & 0 & 1 \\ -3 & 2 & -2 & 8 \end{array} \right)[/mm]
Wir erweitern nun die einzelnen Zeilen so, dass in den zweiten bis vierten Zeileneinträgen der ersten Spalte das additiv Inverse des ersten Zeileneintrages der ersten Spalte steht, also so, dass in der ersten Zeile [mm]12[/mm] und in allen anderen Zeilen [mm]-12[/mm] steht ([mm]12[/mm] ist nämlich das kleinste gemeinsame Vielfache von [mm]-2[/mm], [mm]-1[/mm], [mm]4[/mm] und [mm]-3[/mm]). Dazu müssen wir die erste Zeile mit [mm]-6[/mm], die zweite Zeile mit [mm]12[/mm], die dritte Zeile mit [mm]-3[/mm] und die vierte Zeile mit [mm]4[/mm] multiplizieren. Das Ergebnis lautet:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} 12 & -24 & 36 & -96\\ -12 & 0 & -72 & 312\\ -12 & 9 & 0 & -3 \\ -12 & 8 & -8 & 32 \end{array} \right)[/mm]
Nun lassen wir die ersten Zeile unverändern und ersetzen für [mm]i=1,2,3[/mm] die [mm]i[/mm]-te Zeile durch die Summe der ersten mit der [mm]i[/mm]-ten Zeile. Das Ergebnis lautet:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} 12 & -24 & 36 & -96\\ 0 & -24 & -36 & 216\\ 0 & -15 & 36 & -99 \\ 0 & -16 & 28 & -64 \end{array} \right)[/mm]
Da uns die Zahlen zu groß sind, schauen wir mal, ob wir sie durch eventuelle Divisionen der einzelnen Zeilen kleiner bekommen können. Und siehe da: Wir klnnen die zweite Zeile durch [mm]6[/mm], die dritte Zeile durch [mm]3[/mm] und die vierte Zeile durch [mm]4[/mm] teilen und erhalten:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} 12 & -24 & 36 & -96\\ 0 & -4 & -6 & 36\\ 0 & -5 & 12 & -33 \\ 0 & -4 & 7 & -16 \end{array} \right)[/mm]
So, nun suchen wir das kleinste gemeinsame Vielfache von [mm]-4[/mm], [mm]-5[/mm] und [mm]-4[/mm]. Es lautet: [mm]20[/mm]. Wir erweitern nun die einzelnen Zeilen so, dass in den dritten und vierten Zeileneinträgen zweiten Spalte das additiv Inverse des zweiten Zeileneintrages der zweiten Spalte steht, also so, dass in der zweiten Zeile [mm]-20[/mm] und in allen anderen Zeilen [mm]20[/mm] steht. Dazu müssen wir die zweite Zeile mit [mm]5[/mm], die dritte Zeile mit [mm]-4[/mm] und die vierte Zeile mit [mm]-5[/mm] multiplizieren. Das Ergebnis lautet:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} 12 & -24 & 36 & -96\\ 0 & -20 & -30 & 180\\ 0 & 20 & -48 & 132 \\ 0 & 20 & -35 & 80 \end{array} \right)[/mm]
So, nun lassen wir die ersten beiden Zeilen unverändern, ersetzen die dritte Zeile durch die Summe der zweiten mit der dritten Zeile sowie die vierte Zeile durch die Summe der zweiten mit der vierten Zeile. Wir erhalten:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} 12 & -24 & 36 & -96\\ 0 & -20 & -30 & 180\\ 0 & 0 & -78 & 312 \\ 0 & 0 & -65 & 260 \end{array} \right)[/mm]
Zum Glück können wir nun die dritte Zeile durch [mm]78[/mm] und die vierte Zeile durch [mm]65[/mm] teilen. Das Ergebnis lautet:
[mm]\left(\begin{array}{cccc} 12 & -24 & 36 & -96\\ 0 & -20 & -30 & 180\\ 0 & 0 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{array} \right)[/mm]
Man sieht, dass eine Lösung existiert.
Schreiben wir das Ganze mal wieder als Gleichungssystem:
[mm]12x - 24y + 36z = -96[/mm]
[mm]-20y - 30z = 180[/mm]
[mm]-z = 4[/mm]
[mm]-z = 4[/mm].
Daraus folgt
[mm]z=-4[/mm]
sowie:
[mm]-20y -30\cdot(-4) = 180 \Leftrightarrow -20y = 60 \Leftrightarrow y = -3[/mm]
und
[mm]12x - 24\cdot(-3) + 36\cdot(-4) = -96 \Leftrightarrow 12x = -24 \Leftrightarrow x = -2[/mm].
Die Lösung lautet also:
[mm](x,y,z) = (-2,-3,-4)[/mm].
Jetz alles klar? Hast du deinen Fehler gefunden?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
|
