Gaußscher Algorithmus < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Mi 12.11.2014 | | Autor: | noobnoob |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgende lineare Gleichung unter Verwendung des Gaußschen Algorithmus:
[mm] \pmat{ 8 & 7 & -6 \\ 0 & -4 & 5 \\ -1 & 3 & 2} \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \pmat{ 3 \\ -3 \\ 9 } [/mm] |
Hallo zusammen,
habe diese Gleichung und weiß nicht genau wie ich weiter rechnen soll!
Paar nützliche Tipps wären super 
Ich bin bisher wie folgt angefangen:
Ich habe die ersten beiden Matrizen miteinander multipliziert somit habe ich nun:
8x + 7y - 6z
0x - 4y +5z
-x +3y +2z
aber was mache ich mit der anderen seite [mm] \pmat{ 3 \\ -3 \\ 9 }
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Lösen Sie die folgende lineare Gleichung unter Verwendung
> des Gaußschen Algorithmus:
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> [mm]\pmat{ 8 & 7 & -6 \\ 0 & -4 & 5 \\ -1 & 3 & 2} \vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
> = [mm]\pmat{ 3 \\ -3 \\ 9 }[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> habe diese Gleichung und weiß nicht genau wie ich weiter
> rechnen soll!
> Paar nützliche Tipps wären super
>
> Ich bin bisher wie folgt angefangen:
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> Ich habe die ersten beiden Matrizen miteinander
> multipliziert somit habe ich nun:
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> 8x + 7y - 6z
> 0x - 4y +5z
> -x +3y +2z
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
In Wahrheit hast Du dann
[mm] \pmat{8x + 7y - 6z\\0x - 4y +5z\\ -x +3y +2z}=\vektor{3\\-3\\9}.
[/mm]
Zu lösen ist also das LGS
8x + 7y - 6z=3
0x - 4y +5z=-3
-x +3y +2z=9.
Durch Zeilenumformungen bringt am dieses nun auf Dreiecksform, bei welcher man in der ersten Zeile eine Gleichung mit den Variablen x,y,z hat,
in der zweiten mit y,z
und in der dritten nur noch mit z.
Ein Teil der Arbeit ist schon getan, denn die zweite Zeile sieht schon aus, wie sie aussehen soll.
Wir schreiben also die erste und zweite Zeile ab,
und eine neue dritte Zeile bekommen wir, indem wir zum Achtfachen der dritten Zeile die erste addieren:
8x + 7y - 6z=3
0x - 4y +5z=-3
0x +31y +10z=75
Nun läßt man in der dritten Zeile das y verschwinden.
Damit ich mich nicht so anstrengen muß, multipliziere ich die zweite Zeile mit 31, die dritte mit 4, bekomme
8x + 7y - 6z=3
0x -124y +155z=-93
0x +124y +40z=300,
und kann nun zur dritten Zeile die zweite addieren und so das y verschwinden lassen:
8x + 7y - 6z=3
0x -124y +155z=-93
0x +0y +195z=207
Nun kannst Du aus der 3.Zeile das z errechnen,
setzt es in die 2. Zeile ein und errechnest das y,
danach gehst Du mit z und y in die erste Zeile und berechnest das x.
Das Procedere kann man auch bewältigen, indem man nicht die Gleichungen hinschreibt, sondern die Koeffizienten in ein Tableau schreibt und dann entsprechend umformt.
Ich will aber im Moment dazu (und zu anderem) nicht mehr erklären, denn ich weiß ja gar nicht, wie ihr den Gaußalgorithmus in der Schule durchgeführt habt.
LG Angela
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> aber was mache ich mit der anderen seite [mm]\pmat{ 3 \\ -3 \\ 9 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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