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Hallo!
Ich brauche diesmal Hilfe bei der Anschauung von komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene!
Für welche Punkte z=x+iy der Gaußschen Zahlenebene gilt:
a) |arg z| < [mm] \bruch{\pi}{2}
[/mm]
--> mein Freund meints, dass ich mir dazu die Winkelhalbierenden des I. und IV. Quadranten nehmen müsste und alles was dazwischen liegt, ist dann Lösung.
Allerdings war ich der Annahme, dass alle Zahlen in den beiden Quadranten Lösung sind, sprich der Realteil ist dabei >0, aber ich weiss nicht genau wie ich das begründen soll?
b) 0 < [mm] \wurzel[2]{2} [/mm] Im(z) < |z|
--> hier weiss ich gar nicht recht wie ich rangehen soll, wäre dankbar für einen Schubs in die richtige Richtung
c) |z+4i-3| = 3
--> Setze ich hier für z x+iy ein? Dann erhalte ich ja folgendes:
(x-3)²+(y+4)²=3²
Würde ja heissen, dass ich um den Punkt (3,-4) einen Kreis ziehe mit dem Radius 3 und alle Punkte in dem Kreis wären Lösung. Gebe ich den Punkt [mm] z_{0} [/mm] dann folgendermaßen an: [mm] z_{0}=3-4i [/mm] ? Zählt dann die Kreisbogenlinie mit dazu (also alle Zahlen die darauf liegen)
d) |z+2-1| [mm] \ge [/mm] 2
--> (x+2)²+(y-1)² [mm] \ge [/mm] 2²
Wäre ja der Kreis um den Punkt (-2/1) und das Äußere des Kreises (alles was außerhalb liegt.
Glaub an dem Beispiel ist mir jetzt klar, dass bei c) auch alle Punkte auf dem Kreisbogen dazugehören. Nur wenn kleiner stehen würde, würde das nicht dazu gehören.
e) [mm] \bruch{z konjugiert komplex}{z}=1
[/mm]
also ich komme da auf xyi+y²=0
aber ich hab keine Ahnung wie weiter bzw. was mir das sagt, wenn es denn richtig ist!
f) |z+1| [mm] \le [/mm] |z-1|
Kann ich mir grad gar nicht vorstellen. An sich sind das ja auch wieder zwei Kreisgleichungen, aber ich weiss dann ja nur die Punkte oder kann ich davon etwas als Radius ansehen? Als Lösung hatte ich gefunden, dass der Realteil kleiner/gleich 0 sein muss, aber wie komme ich darauf?
g) |z+1| [mm] \le [/mm] 2 |z-1|
wenn ich mich nicht vertan habe, steht am Ende zunächst
0 [mm] \le [/mm] 3x²-10x+3+2y²
Kann mir hier bitte mal jemand zeigen wie ich auf die Kreisgleichung komme? Man réchnet ja erstmal durch 3 und nutzt dann die quadratische Ergänzung, aber da komme ich nicht weiter
0 [mm] \le [/mm] x² [mm] -\bruch{10}{3}x [/mm] +1 [mm] +\bruch{2}{3}y²
[/mm]
nehme ich dann (x+1)² oder für die 1 eine andere Zahl?
Wäre dankbar, wenn mir jemand teilweise helfen kann bzw. korrigieren kann!
danke schon mal
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> Hallo!
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> Ich brauche diesmal Hilfe bei der Anschauung von komplexen
> Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene!
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> Für welche Punkte z=x+iy der Gaußschen Zahlenebene gilt:
> a) |arg z| < [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]
> --> mein Freund meints, dass ich mir dazu die
> Winkelhalbierenden des I. und IV. Quadranten nehmen müsste
> und alles was dazwischen liegt, ist dann Lösung.
> Allerdings war ich der Annahme, dass alle Zahlen in den
> beiden Quadranten Lösung sind, sprich der Realteil ist
> dabei >0, aber ich weiss nicht genau wie ich das begründen
> soll?
Hallo,
ich stimme Dir zu.
z kann man ja schreiben als z= [mm] |z|e^{i\varphi}=|z|(cos \varphi [/mm] + i sin [mm] \varphi) [/mm] mit [mm] -\pi< \varphi \le \pi [/mm] .
|arg z|< [mm] \bruch [/mm] { [mm] \varphi [/mm] }{ 2 } <==> [mm] -\bruch [/mm] { [mm] \varphi [/mm] }{ 2 }<arg [mm] z<\bruch [/mm] { [mm] \varphi [/mm] }{ 2 },
und das sind die z im 1. und 4.Quadranten.
Gruß v. Angela
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> b) 0 < [mm]\wurzel[2]{2}[/mm] Im(z) < |z|
> --> hier weiss ich gar nicht recht wie ich rangehen soll,
> wäre dankbar für einen Schubs in die richtige Richtung
Hallo,
mit z:=x+iy hat man [mm] |z|=\wurzel {x^2+y^2}.
[/mm]
Es soll also gelten
[mm] 0<\wurzel{2}\blue{y}< \wurzel {x^2+y^2}.
[/mm]
Edit: Tippfehler korrigiert. Loddar
Quadrieren, umformen...
> c) |z+4i-3| = 3
> --> Setze ich hier für z x+iy ein? Dann erhalte ich ja
> folgendes:
> (x-3)²+(y+4)²=3²
> Würde ja heissen, dass ich um den Punkt (3,-4) einen Kreis
> ziehe mit dem Radius 3 und alle Punkte in dem Kreis wären
> Lösung.
Auf dem Kreis! (In dem Kreis hätte man bei ">")
Alle Punkte (x,y) auf diesem Kreis lösen die Gleichung, also alle z=x+iy mit (x-3)²+(y+4)²=3².
>Gebe ich den Punkt [mm]z_{0}[/mm]
Du meinst den Mittelpunkt des Kreises?
Ich würde schreiben : Kreis mit Radius 3 um den Punkt (-3,4)
>dann folgendermaßen an:
> [mm]z_{0}=3-4i[/mm] ? Zählt dann die Kreisbogenlinie mit dazu (also
> alle Zahlen die darauf liegen)
Wie bereits gesagt: nur die.
>
> d) |z+2-1| [mm]\ge[/mm] 2
> --> (x+2)²+(y-1)² [mm]\ge[/mm] 2²
> Wäre ja der Kreis um den Punkt (-2/1)
mit dem Radius 2
und das Äußere des
> Kreises
Gruß v. Angela
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Kann ich davon ausgehen, dass Im(z)=1, da ja eigentlich steht x+1*iy ?
Desweiteren, wenn ich die Ungleichung quadiere erhalte ich ja folgendes:
0<2<x²+y²
Als Lösung wurde uns nun vorgegeben:
{(x,y)|0<y<|x|}
wie komme ich denn von der obigen Ungleichung auf dieses Ergebnis und was sagt mir dieses? Ich kann es nicht deuten.
mfg sunshinenight
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Fr 09.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo sunshinenight!
Da hat sich Angela leider vertippt ... es muss heißen für $z \ = \ x+i*y$ :
$0 \ < \ [mm] \wurzel{2}*\red{y} [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Diese Ungleichungskette nun zerlegen in zwei einzelne Ungleichungen:
$0 \ < \ [mm] \wurzel{2}*y$ [/mm] sowie [mm] $\wurzel{2}*y [/mm] \ < \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> e) [mm]\bruch{z konjugiert komplex}{z}=1[/mm]
> also ich komme da auf
> xyi+y²=0
= y(xi-y) ==> y=0 oder xi=y ==> y=0 (warum?)
> aber ich hab keine Ahnung wie weiter bzw. was mir das
> sagt, wenn es denn richtig ist!
>
> f) |z+1| [mm]\le[/mm] |z-1|
> Kann ich mir grad gar nicht vorstellen.
Dann rechne es aus!
[mm] (x+1)^2+y^2 \le (x-1)^2+y^2 [/mm] ==> ... ==> x [mm] \le [/mm] 0
An sich sind das
> ja auch wieder zwei Kreisgleichungen, aber ich weiss dann
> ja nur die Punkte oder kann ich davon etwas als Radius
> ansehen? Als Lösung hatte ich gefunden, dass der Realteil
> kleiner/gleich 0 sein muss, aber wie komme ich darauf?
Durch Rechnen.
>
> g) |z+1| [mm]\le[/mm] 2 |z-1|
> wenn ich mich nicht vertan habe, steht am Ende zunächst
> 0 [mm]\le[/mm] 3x²-10x+3+2y²
Ich glaube, Du hast dich verrechnet.
|z+1| [mm]\le[/mm] 2 |z-1|
==> 0 [mm]\le[/mm] 3x²-10x+3+3y²
> Kann mir hier bitte mal jemand zeigen wie ich auf die
> Kreisgleichung komme? Man réchnet ja erstmal durch 3 und
> nutzt dann die quadratische Ergänzung,
Ja.
Gruß v. Angela
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Du hast geschrieben, dass ich die 2 mit multipliziert habe, aber das muss ich doch machen, da ich ja auf beiden Seiten eine Wurzel stehen habe, wenn ich die Beträge ausrechne, oder nicht?
Desweiteren sagt mir die Lösungsvorgabe, dass ich auf die Peripherie und das Äußere des Kreises um [mm] z_{0}= \bruch{5}{3} [/mm] mit [mm] r=\bruch{4}{3} [/mm] kommen soll. Ich komme bei der Lösung nicht auf [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Habe gerade den Fehler gefunden. Bei dir ist [mm] -\bruch{25}{9}+1=\bruch{24}{9}
[/mm]
Außerdem hatte ich mich noch mit dem y vertan, es steht also da
[mm] \bruch{4²}{3²} \le (x-\bruch{5}{3})² -\bruch{16}{9} [/mm] +y²
mfg sunshinenight
P.S.: Vielen Dank für deine Mühe
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> Du hast geschrieben, dass ich die 2 mit multipliziert habe,
> aber das muss ich doch machen, da ich ja auf beiden Seiten
> eine Wurzel stehen habe, wenn ich die Beträge ausrechne,
> oder nicht?
Ach Du liebe Zeit, allerdings mußt Du das machen! Ich habe die Wurzeln schlicht und ergreifend vergessen... Entschuldige! Ich werd's gleich verbessern.
Gruß v. Angela
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