Gaußsche Zahlen, Zerlegung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Di 28.04.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Folgende Zahlen sind in nicht mehr weiter teilbare Faktoren innerhalb der Gaußschen Zahlen zu zerlegen.
3+4i, 2i, 2, 3, 5 |
Hallo Zusammen,
die Gaußschen Zahlen sind im Endeffekt nichts als eine Teilmenge der komplexen Zahlen und unterscheiden sich nur dadurch, dass die reellen Zahlen (a+bi) aus der Menge der ganzen Zahlen stammen müssen.
Ich habe nun folgenden Ansatz gewählt:
3+4i = (a+bi)(a+bi) = a²-b² + 2abi
->
1: a²-b² = 3
2: 2ab = 4 -> a = [mm] \bruch{4}{2b} [/mm] = [mm] \bruch{2}{b} [/mm] in 1: [mm] \bruch{4-b^4}{b²} [/mm] = 3; [mm] -b^4 [/mm] - 3b² + 4 = 0
Substitution mit c = b²: -c²-3c+4 = 0
[mm] c_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{3 \pm \wurzel{9+16}}{-2} [/mm] = [mm] \bruch{3 \pm 5}{-2} [/mm] -> [mm] c_1 [/mm] = -4 und [mm] c_2 [/mm] = 1, da a und b aus der Menge der ganzen Zahlen sein müssen, fällt -4 sofort weg, also nur Rücksubstitution mit [mm] c_2 [/mm] = 1:
b² = 1 -> b = [mm] \pm [/mm] 1 in 2: a = [mm] \pm [/mm] 2
Nach ein paar Versuchen der Kombination habe ich nun raus: 3+4i = (2+i)(2+i)
--
bei 2i bin ich genauso vorgegangen und habe 2i = (1+i)(1+i) herausgefunden
--
dabei habe ich auch gleich für 2 = (1+i)(1-i) gefunden
--
für 5 habe ich die Zerlegung bereits bei 3+4i gefunden diese ist 5 = (2+i)(2-i)
Stimmt dies soweit? Gibt es dafür einen besseren Ansatz?
Nun aber habe ich für die Zahl 3 keine Zerlegung innerhalb der Gaußschen Zahlen gefunden, wie lässt sich diese aufteilen? Es können ja auch mehr als zwei Faktoren sein. Wie kommt man darauf?
Gruß
itse
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:32 Di 28.04.2009 | | Autor: | BBFan |
warum sollen denn die faktoren gleich sein? sehe nicht, dass das gefordert wurde.
Gruss
BBFan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Di 28.04.2009 | | Autor: | itse |
Nein, dies ist auch nicht gefordert. Deswegen frage ich ja, ob der Ansatz überhaupt richtig ist oder es einen viel besseren gibt.
Beste Grüße
itse
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Di 28.04.2009 | | Autor: | BBFan |
Folgendes ist aus der Zahlentheorie bekannt:
p ist Produkt zweier assoziierter Primelemente [mm] \gdw [/mm] p=2
p ist nicht Produkt zweier assoziierter Primelemente [mm] \gdw [/mm] p=1 mod 4
p ist Primelement [mm] \gdw [/mm] p=1 mod 4
für alle Primzahlen p [mm] \in \IZ.
[/mm]
Für die ersten beiden Zahlen kannst du benutzen, dass eine Zahl Prim in [mm] \IZ [/mm] [i] ist, falls ihre Norm eine Primzahl in [mm] \IZ [/mm] ist. Falls nicht, musst du eine Zerlegung finden.
Ein Beispiel:
2i = 2 * i
i ist eine Einheit. 2 Ist aber nicht prim in [mm] \IZ [/mm] (nach dem da oben)
es gilt 2=(1+i)(1-i)
Das ist die Zerlegung, da (1+i) und (1-i) Norm 2 in haben und das prim in [mm] \IZ [/mm] ist. Also gilt:
2i=i*(i+i)*(1-i)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 30.04.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort. Jedoch komme ich bei der Zahl 3 auf keine Lösung, es müsste doch gelten:
3 = (a+bi)(a-bi)
Da bei zueinander konjugierten Zahlen, der Imaginärteil rausfällt. Somit würde sich ergeben:
3 = a²+b²
Wenn ich nun etwas für a und b einsetze sieht es so aus:
3 = 0²+1² [mm] \ne [/mm] 1
3 = 1²+1² [mm] \ne [/mm] 2
3 = 1²+2² [mm] \ne [/mm] 5
Somit kann man doch die Zahl 3, nicht in einzelne Faktoren zerlegen, da bei den Gaußschen Zahlen gefordert ist, dass a, b [mm] \in \IZ [/mm] ?
Gruß
itse
|
|
|
| |
|
Hallo itse,
der Ansatz muss 3=(a+bi)(c+di) lauten!
edit: sorry. leduart hat natürlich Recht. Ich war gerade in Gedanken bei den Eisenstein-Zahlen, bei denen das tatsächlich so ist. Bei reellen Gaußzahlen aber nicht.
Trotzdem ist der Ansatz unschädlich, wenn auch komplizierter. Das Ergebnis bleibt das gleiche:
Du kannst dann recht leicht ermitteln, dass es nur zwei triviale Lösungen gibt: 3=-i*3i=1*3
Die 3 ist in der Tat auch in Gaußschen Zahlen prim, wie alle Primzahlen der Form 4k+3, [mm] k\in\IZ.
[/mm]
Grüße
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:38 Do 30.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo reverend
Bei reellen Zahlen kommen nur konj komplexe in Frage.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Do 30.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo itse.
Bei reellen Zahlen ist deine Vorgehen mit (a+ib)*(a-ib) richtig, wenn eine reelle Zahl Produkt aus 2 komplexen Zahlen ist muessen sie konjugiert komplex sein, ihr Betrag deshalb gleich also [mm] \wurzel{3} [/mm] .und dass man 3 nicht als [mm] a^2+b^2 [/mm] darstellen kann ist klar.
bei 5 dagegen kann man direkt sehen [mm] 5=2^2+1^2 [/mm] also hat man ohne Raten (2+i)*(2-i) oder (1+2i)*(1-2i)
bei 7 ist aus demselben Grund wieder klar [mm] 7\ne a^2+b^2.
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
|
