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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:01 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Das Integral [mm] \hat{I}=\integral_{-1}^{1}{f(x) dx} [/mm] kann mit der Gaußschen Quadraturformel mit zwei Knoten
[mm] \hat{I} \approx \hat{I_2}(f)= f(-\frac{1}{\sqrt{3}})+f(\frac{1}{\sqrt{3}}) [/mm] bestimmt werden.
Die Fehlerabschätzung hierfür lautet: [mm] \hat{E_2}=\hat{I}-\hat{I_2}=\frac{1}{135}f^4(z)
[/mm]
Leiten Sie durch eine affine Transformation [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] x + [mm] \beta [/mm] vom Intervall [-1,1] auf ein beliebiges Intervall [a,b] die Gaußsche Quadformel zur Bestimmung des Integrals [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] mit Fehlerabschätzung her. |
Hi!
Ok, ich habe es mir folgendermaßen überliegt. Da [mm] \phi [/mm] affin ist, ist [mm] \phi [/mm] auch bijektiv. Es muss daher gelten
(1) [mm] \phi'(x) \geq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1]
(2) [mm] \phi'(x) \leq [/mm] 0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [-1,1]
Nehmen wir Fall (1):
Daraus folgt, dass [mm] \phi(1)=b [/mm] und [mm] \phi(-1)=a [/mm] ist.
Es lässt sich das Gleichungssystem:
[mm] \beta [/mm] - [mm] \alpha [/mm] = a
[mm] \beta [/mm] + [mm] \alpha [/mm] = b
aufstellen.
Woraus man erhält:
[mm] \phi(x) [/mm] = [mm] \frac{b-a}{2}x [/mm] + [mm] \frac{a+b}{2}
[/mm]
So jetzt kann ich [mm] \frac{1}{\sqrt{3}} [/mm] sowie [mm] -\frac{1}{\sqrt{3}} [/mm] in meine Transformation einsetzen und erhalte auch etwas korrektes, soweit ich das in einem Buch vergleichen kann.
Wie kann ich jedoch zeigen, dass ich die Gewichte [mm] w_i [/mm] nicht transformieren muss? Bzw die Transformation das gleiche wie die [mm] w_i [/mm] selbst sind?
Weiterhin bin ich mir noch nicht darüber im Klaren, wie ich dann bei der Fehlerabschätzung vorgehen soll. Welche Formel muss ich dafür transformieren?
Was mache ich mit Fall (2)? Kann ich den dann einfach ignorieren?
Danke euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Do 01.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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