Gaussche Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Sa 30.03.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
in den Gausschen Zahlen [mm] $\IZ[i]$ [/mm] gilt bekanntlich, dass, wenn $b$ durch $a$ teilbar ist, auch $N(b)$ durch $N(a)$ geteilt werden kann. Frage: Gilt auch die Umkehrung? |
Hallo,
wegen der Multiplikativität ist ja $a | b [mm] \Rightarrow [/mm] N(a) | N(b)$ klar, wobei
die erste Teilbarkeit die in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] und die zweite die in [mm] $\IN_0$ [/mm] meint.
Wie sieht's mit der Umkehrung aus? Ich dachte erst, ich hätte ein
Gegenbeispiel gefunden, habe aber dann beim Nachrechnen einen
Rechenfehler entdeckt. Ich habe ein wenig rumgespielt, und bisher
weder ein Beispiel noch einen Grund gefunden, warum
$$N(a) | N(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a | b$$
nicht gelten soll. Gilt das vielleicht tatsächlich? Gibt es da einen Trick, um
das zu beweisen? Denn bei einem Beweisversuch per Kontraposition
komme ich nicht weiter. Und bei einem direkten Beweis
$$N(a) | N(b) [mm] \Rightarrow N(b)=m\,N(a)$$
[/mm]
muss ich ja nun zeigen, dass sich [mm] $m\,$ [/mm] mit einem $c [mm] \in \IZ[i]$ [/mm] als $N(c)$
darstellen läßt. Das bekomme ich gerade nicht konstruiert - ich denke aber,
dass es dabei auch nicht unwichtig ist, dass $N(a)$ und $N(b)$ jeweils die
Summe zweier Quadrate natürlicher Zahlen ist. Ich sehe aber nicht, wie
das hilft. Macht es dafür Sinn, mal zu versuchen
[mm] $$\{x^2+y^2:\;\;x,y \in \IZ\}$$
[/mm]
anders zu beschreiben?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Sa 30.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
habe nun doch selbst ein (einfaches) Gegenbeispiel gefunden:
[mm] $2+3i\,$ [/mm] ist nicht durch $3+2i$ teilbar.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Sa 30.03.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | | In den Gausschen Zahlen $ [mm] \IZ[i] [/mm] $ gilt bekanntlich, dass, wenn $ b $ durch $ a $ teilbar ist, auch $ N(b) $ durch $ N(a) $ geteilt werden kann. Frage: Gilt auch die Umkehrung? |
Obige Frage konnte ich mir mittlerweile ja bereits selbst beantworten. Nun
aber dennoch eine weitere Frage:
Gibt es vielleicht dennoch eine Möglichkeit, wie man aus der Teilbarkeit von
[mm] $N(b)\,$ [/mm] durch $N(a)$ erschließen kann, dass dann $a|b$ in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] gilt?
Also wenn man neben [mm] $N(a)|N(b)\,$ [/mm] noch etwas zusätzliches fordert, was
leicht zu überprüfen ist? Ist da jemanden etwas bekannt?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 So 31.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel!
> In den Gausschen Zahlen [mm]\IZ[i][/mm] gilt bekanntlich, dass, wenn [mm]b[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]durch [mm]a[/mm] teilbar ist, auch [mm]N(b)[/mm] durch [mm]N(a)[/mm] geteilt werden [/i][/mm]
> [mm][i]kann. Frage: Gilt auch die Umkehrung?[/i][/mm]
> [mm][i] Obige Frage konnte ich mir mittlerweile ja bereits selbst [/i][/mm]
> [mm][i]beantworten. Nun[/i][/mm]
> [mm][i] aber dennoch eine weitere Frage:[/i][/mm]
> [mm][i] Gibt es vielleicht dennoch eine Möglichkeit, wie man aus [/i][/mm]
> [mm][i]der Teilbarkeit von[/i][/mm]
> [mm][i] [mm]N(b)\,[/mm] durch [mm]N(a)[/mm] erschließen kann, dass dann [mm]a|b[/mm] in [mm]\IZ[i][/mm] [/i][/mm][/i][/mm]
> [mm][i][mm][i]gilt?[/i][/mm][/i][/mm]
Ja, z.B. wenn $b$ eine ganze Zahl in [mm] $\IZ$ [/mm] ist und die Exponenten der Primzahlen in $N(a)$ hoechstens halb so gross sind wie die in $N(b)$ (ausser bei Primteilern, die in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] nicht in zwei nicht-konjugierte Primelemente aufspalten, bei denen ist nichts zu beachten).
Das Problem ist, dass die Norm nicht zwischen den verschiedenen Primelementen in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] unterscheiden kann, die ueber einer Primzahl $p$ aus [mm] $\IZ$ [/mm] liegen. Genauer: es gibt drei Moeglichkeiten, wie eine Primzahl aus [mm] $\IZ$ [/mm] sich in [mm] $\IZ[i]$ [/mm] verhaelt. Sie kann weiter prim sein, sie kann das Quadrat eines Primelementes sein, oder das Produkt zweier nicht-konjugierter Primelemente. Der dritte Fall ist derjenige, bei dem du Probleme bekommst.
LG Felix
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