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| Aufgabe | Geben Sie die Lösungen des folgenden Gleichungssystems an, in dem Sie zuerst die erweiterte Matix mit Hilfe des Gaußalgorithmus auf Stufennormalform bringen und anschließend die spezielle und homogene Lösung ablesen.
[mm]
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 2 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \\ x_9 \\ x_{10} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{pmartix}
[/mm] |
Hallo, in einem ersten Schritt habe ich die Spalten vertauscht, damit es schon einmal ein bisschen nach Stufennormalform aussieht.
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix} [/mm]
ich hab die Ergebnissspalte nicht dazu geschrieben, aber die Ergebnisse bleiben ja dadurch gleich. Aber jetzt weiß ich nicht weiter. Unser Professor hat was von Sternspalten erwähnt, das waren glaub ich spalten die unten Nullen hatten oder die mit einer eins unten anfangen, oder so. Aber ich hab da nichts zu gefunden. Eine anderer Lösungsweg wär mir auch recht. Kann mir wer erklären, wie es jetzt weiter geht?
Gruß Karsten
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> Geben Sie die Lösungen des folgenden Gleichungssystems an,
> in dem Sie zuerst die erweiterte Matix mit Hilfe des
> Gaußalgorithmus auf Stufennormalform bringen und
> anschließend die spezielle und homogene Lösung ablesen.
>
> [mm]
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 2 & 3 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \\ x_6 \\ x_7 \\ x_8 \\ x_9 \\ x_{10} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ -2 \\ 3 \\ \end{pmartix}
[/mm]
>
> Hallo, in einem ersten Schritt habe ich die Spalten
> vertauscht, damit es schon einmal ein bisschen nach
> Stufennormalform aussieht.
Hallo,
ich rate Dir ganz dringend davon ab, beim Lösen von LGSen Spalten zu vertauschen.
Du mußt dann naämlich die Variablen umbenennen, und wenn Du nicht gut auf Dich aufpaßt, dann weißt Du am Ende nicht mehr, ob Du Männchen oder Weibchen bist.
Mit Zeilenumformungen erreichst Du Dein Ziel sicherer.
Bring die erweiterte Koeffizientenmatrix doch mal mit Zeilenumformungen auf ZSF, am besten auf reduzierte ZSF mit Einsen als führende Zeilenelemente und Nullen über und unter ihnen. Dann kann man Dir zeigen, wie Du leicht die Lösung ablesen kannst.
> ich hab die Ergebnissspalte nicht dazu geschrieben, aber
> die Ergebnisse bleiben ja dadurch gleich.
Das ist Sparsamkeit am falschen Platz, denn das Ablesen wird dadurch nicht erleichtert...
So, damit es vorangeht:
Ich stelle mit jetzt einfach mal vor, daß Du mit Zeilenumformungen die von Dir gepostete Matrix bekommen hast, und ich mache kurzerhand die rechte Spalte zur Ergebnisspalte. Es ist also jetzt ein Beispiel, welches mit Deinem GS von oben nichts mehr zu tun hat!
>
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & -1 & |1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & |2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & |4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & |3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & |1 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
Die Matrix ist in reduzierte ZSF.
Ich schiebe jetzt Hilfszeilen so ein, daß in der Koeffizientenmatrix die freien Diagonalplätze mit Minuseinsen aufgefüllt werden ("-1-Trick"):
[mm]\begin{pmatrix}
\green{-1} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0}& \green{0} & \green{0} & \green{0} & | \green{0}\\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & -1 & |1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & |2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & |4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & |3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & |1 \\
\green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0}& \green{-1} & \green{0} & \green{0} & | \green{0}\\
\green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0}& \green{0} & \green{-1} & \green{0} & | \green{0}\\
\green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0} & \green{0}& \green{0} & \green{0} & \green{-1} & | \green{0}\\
\end{pmatrix}[/mm]
Nun geht's ans Ablesen:
Die Spalten mit den Minuseinsen, also die 1., 7., 8. 9. bilden eine Basis des Lösungsraumes des homogenen Systems, und rechts in der Ergebnisspalte liest Du eine spezielle Lösung ab.
Gruß v. Angela
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