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Hallo Ihr,
könnt Ihr mir erzählen wie der gaußsche Algorithmus funktioniert? Ich frage nur so, weil davon hier so viel reden und ich den irgendwie nicht kenne.
MfG euer Mathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Sa 04.09.2004 | | Autor: | PhiBa |
Hallo Mathematiker,
der Gaußalgorithmus ist eine Methode der Linearen Algebra, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, oder deren Unlösbarkeit zu beweisen.
Beispiel:
gegeben sei folgendes Gleichungssystem
[mm]
2 * x_1 + 3 * x_2 - 4 * x_3 = 2
1 * x_1 - 2 * x_2 + 0 * x_3 = 0
-1 * x_1 + 3 * x_2 - 1 * x_3 = -1
[/mm]
Dies wird nun in Form einer Matrix geschrieben:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 & | & 2 \\
1 & -2 & 0 & | & 0 \\
-1 & 3 & -1 & | &-1
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun werden Vielfache der ersten Zeile zu den übrigen Zeilen addiert, um an der ersten Stelle jeweils eine 0 zu erhalten. D.h. zur zweiten Zeile wird das [mm] - \bruch{1}{2} [/mm] Fache der ersten Zeile addiert und zur dritten Zeile das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] Fache der ersten Zeile:
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 & | & 2 \\
0 & -3,5 & 2 & | & -1 \\
0 & 4,5 & -3 & | & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Nun wird ein Vielfaches der zweiten Zeile zu der letzten Zeile addiert, um dort auch an der zweiten Stelle jeweils eine 0 zu erhalten. D.h. zur dritten Zeile wird das [mm] \bruch{9}{7} [/mm]
-(4,5 : (-3,5)) Fache der zweiten Zeile addiert.
[mm]
\begin{pmatrix}
2 & 3 & -4 & | & 2 \\
0 & -3,5 & 2 & | & -1 \\
0 & 0 & - \bruch{3}{7} & | & - \bruch{9}{7}
\end{pmatrix}
[/mm]
Man hat also eine Matrix in Dreiecksform erhalten, die zu folgendem Gleichungssystem führt, das zum Anfangssystem äquivalent ist:
[mm]
2 * x_1 + 3 * x_2 - 4 * x_3 = 2
0 * x_1 - 3,5 * x_2 + 2 * x_3 = -1
0 * x_1 + 0 * x_2 - \bruch{3}{7} * x_3 = - \bruch{9}{7}
[/mm]
Aus der dritten Zeile kann man direkt ablesen, dass x3 = 3 ist.
Daraus kann man dann mit der zweiten Zeile erkennen, das x2 = 2 ist
und dann kann man schließlich aus der ersten Zeile x1 = 4 berechnen.
Ebenso geht es mit beliebig großen Gleichungssystemem. Man muss durch schrittweises addieren von Vielfachen der Zeilen die Matrix in Dreiecksform bringen und dann entscheiden, ob das zugehörige Gleichungssystem lösbar ist oder nicht und dann die Lösung bestimmen.
MfG PhiBa
(mein erster Eintrag in diesem Forum, also bitte gnädig sein, falls was formal nicht passt)
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