Gauß'sche Zahlenebene < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | stellen Sie die Zahl [mm] z=\wurzel[8]{i} [/mm] in der Gauß'`schen Zahlenebene dar. |
Hab versucht die Zahl in die Polardarstellung zu bringen... bin mir aber dann nicht sicher wie es weitergehen soll.
Hab als Polardarstellung: [mm] e^{\bruch{3i\pi}{16}+\bruch{ik\pi}{4}}
[/mm]
aber wie soll ich dann weiterverfahren??
Danke und schönen Gruß!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo [mm] $\text{Verzweifelt}^{23}$ [/mm] !
Du solltest Du hier die ![[]](/images/popup.gif) MOIVRE-Formel anwenden:
$ [mm] \wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right] [/mm] $ mit $k \ = \ 0 \ ... \ (n-1)$
Dabei gilt: $r \ = \ [mm] \wurzel{x^2+y^2}$ [/mm] sowie [mm] $\tan(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y}{x}$
[/mm]
In Deinem Falle gilt ja: $x \ = \ 0$ sowie $y \ = \ 1$ , damit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ 90° \ [mm] \hat= [/mm] \ [mm] \bruch{\pi}{2}$ [/mm] sowie $n \ = \ 8$ .
Gruß
Loddar
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Danke schonmal für den Tipp mit der Moivre Formel. Jetzt bin ich mir aber unschlüssig was ich mit dem k in der Formel machen soll bzw. welchen Wert ich für k nehmen muss.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Verzeifelthoch23!
Die Gleichung $z \ = \ [mm] \wurzel[8]{-1}$ [/mm] hat in [mm] $\IC$ [/mm] insgesamt 8 Lösungen.
Von daher musst Du die einzelnen Lösungen mit der Moivre-Formel berechnen, indem Du für $k_$ die Werte $0_$ bis $7_$ einsetzt.
Gruß
Loddar
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ahhh so...
vielen dank für die tolle Hilfe!!!
LG
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