Gauß Verfahren < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 So 13.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Das lineare Gleichungssystem
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 7x_{3} [/mm] + [mm] 2x_{4} [/mm] = -3
[mm] 4x_{1} [/mm] + [mm] 7x_{2} [/mm] - [mm] 26x_{3} [/mm] + [mm] 9x_{4} [/mm] = -10
[mm] -3x_{1} [/mm] - [mm] 5x_{2} [/mm] + [mm] 19x_{3} [/mm] - [mm] 7x_{4} [/mm] = 7
ist nach dem Gaußschen Verfahren zu lösen. |
Wie funktioniert denn das Verfahren?
ich weiss dass ich erstmal eine Matrix aufstellen muss, also:
1 2 -7 2 -3
4 7 -26 9 -10
-3-5 19 -7 7
Das ganze muss ich jetzt durch Zeilen und Spaltenmultiplikation auf irgend eine Form bringen. Die Frage ist nur auf welche Form?
muss ich hier auf
a 0 0 0 x
0 b 0 0 y
0 0 c 0 z
kommen, sodass ich dann sagen kann [mm] x_{1} [/mm] = a*x ; [mm] x_{2}=b*y [/mm] ; [mm] x_{3}=c*z
[/mm]
und das ganze dann in eine anfangsgleichung einsetzen um auf [mm] x_{4} [/mm] zu kommen?
Lg Tobi
Habe das ganze in keinem anderen Forum gepostet!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 So 13.04.2008 | | Autor: | maddhe |
ja, so sollte die form sein... aber es ist egal, ob die so geordnet ist oder nicht... es geht auch [mm] \begin{pmatrix}0&a&0&0\quad\vline x\\0&0&b&0\quad\vline y\\0&0&0&c\quad\vline z\end{pmatrix} [/mm] oder irgendwelche zeilen vertauscht....
außerdem solltest du dich auf die ZEILENtransformationen beschränken.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 13.04.2008 | | Autor: | tobe |
ich komme nur zu einem bestimmten grad, wo ich dann nicht mehr weiter komme.
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -7 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 & -2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -7 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
und was mache ich nun? :D
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Was hast du denn mit deiner letzten Zeile gemacht? 
Das Gauß Verfahren sollst du so anwenden, sodass eine obere Dreiecksmatrix entsteht.
Zeile 1 mit 4 Unbekannten
Zeile 2 mit 3 Unbekannten
Zeile 3 mit 2 Unbekannten
Zeile 1 mit 1 Unbekannten.
Die vierte Gleichung ist dann einfach nur [mm] x_{4}=irgendeine [/mm] Zahl
Und das setzt du in die dritte ein, löst diese Gleichung.
Das Ergebnis in die zweite, löst diese usw...
Obere Dreiecksmatrix sieht so aus:
[mm] \pmat{ x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} \\ 0 & x_{22} & x_{23} & x_{24} \\ 0 & 0 & x_{33} & x_{34} \\ 0 & 0 & 0 & x_{44}}
[/mm]
Gruß Jens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 13.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ich habe einfach Zeile III + Zeile II gerechnet... wie soll ich denn sonst auf die dreicksform kommen?
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Ich sehe gerade in deiner Aufgabenstellung:
Du hast 3 Gleichungen und 4 Unbekannte.
Das kann man nicht lösen, wenn keine weiter Information gegeben ist.
Eine vierte Gleichung muss her, sonst rechnest du immer im Kreis.
Ist die Aufgabenstellung wirklich vollständig?
Gruß Jens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 So 13.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ja, so ist die Aufgabenstellung komplett. Es heißt nichteinmal lösen sie das system falls möglich. Es steht genau so wie oben geschrieben.
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Also man kann zwar einiges an Umformarbeit rechnen, allerdings bleibt immer eine Variable zu viel übrig.
Am Ende wirst du eine Gleichung mit 2 Unbekannten habe.
Geht nicht!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 13.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ich glaube du bist da ein bisschen falsch.
Ich kann doch z.B. folgendes system berechnen:
3x - 6y - 12z = 9
-4x +8y + 16z= -12
das sind ja auch 3 unbekannte mit 2 gleichungen. Es ist doch aber lösbar, da
rang(A)=1=rang(A,a) ist ... oder bin ich hier falsch?
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Hallo Tobias,
ja, das ist lösbar, es gibt aber keine eindeutige Lösung, sondern unendlich viele Lösungen...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 So 13.04.2008 | | Autor: | tobe |
Und wie kann man das darstllen bzw. sehen? Muss meinem Prof ja irgend eine Erklärung abgeben können :D
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Hallo nochmal,
nehmen wir dein letztes Bsp.
wenn du das -4fache der ersten Gleichung zum 3fachen der zweiten Gleichung addierst, bekommst du das System:
[mm] $\vmat{3x&-&6y&-&12z&=&9\\&&&&0&=&0}$
[/mm]
Dann noch zur Vereinfachung die erste Gleichung [mm] $\cdot{}\frac{1}{3}$
[/mm]
Das gibt: [mm] $\vmat{x&-&2y&-&4z&=&3\\&&&&0&=&0}$
[/mm]
Du hast also 1 Gleichung in 3 Unbekannten, also 3-1=2 frei wählbare Parameter.
Nimm $z=t$ und $y=s$ mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Dann ist mit der ersten Gleichung $x=3+2s+4t$
Ein allgemeiner Lösungsvektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] sieht also so aus:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{3+2s+4t\\s\\t}=\vektor{3\\0\\0}+\vektor{2s\\s\\0}+\vektor{4t\\0\\t}=\vektor{3\\0\\0}+s\cdot{}\vektor{2\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{4\\0\\1}$ [/mm] mit [mm] $s,t\in\IR$
[/mm]
Die Lösungsmenge ist also ein affiner Unterraum der Dimension 2:
[mm] $\mathbb{L}=\vektor{3\\0\\0}+\langle\vektor{2\\1\\0}, \vektor{4\\0\\1}\rangle$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Di 15.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Das lineare Gleichungssystem
$ [mm] x_{1} [/mm] $ + $ [mm] 2x_{1} [/mm] $ - $ [mm] 7x_{3} [/mm] $ + $ [mm] 2x_{4} [/mm] $ = -3
$ [mm] 4x_{1} [/mm] $ + $ [mm] 7x_{2} [/mm] $ - $ [mm] 26x_{3} [/mm] $ + $ [mm] 9x_{4} [/mm] $ = -10
$ [mm] -3x_{1} [/mm] $ - $ [mm] 5x_{2} [/mm] $ + $ [mm] 19x_{3} [/mm] $ - $ [mm] 7x_{4} [/mm] $ = 7
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Wie mache ich das dann bei meiner eigentlichen Aufgabenstellung?
Zeile2 - 4* zeile1 und 3 + 3* Zeile 1 ergibt ja [mm] \pmat{ 1 & 2 & -7 & 2 & -3 \\ 0 & -1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -1 & -2 }
[/mm]
Zeile3 + Zeile2 ergibt [mm] \pmat{ 1 & 2 & -7 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Sprich [mm] x_{1}+2x_{2}-7x_{3}+2x_{4}-3x_{5} [/mm] = 0
Also kann ich [mm] x_{2} x_{3} x_{4} x_{5} [/mm] frei wählen oder?
[mm] x_{2}=a [/mm] ; [mm] x_{3}=b; x_{4}=c; x_{5}=d [/mm]
-> [mm] x_{1}=-2a [/mm] +7b -2c +3d
-> [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}} =a\vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] b\vektor{7 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} +c\vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] d\vektor{3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
-> Die Lösungsmenge ist ein Unterraum der Dimension 4 ?
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oder ist das alles bis hier quatsch und ich müsste zuerst allgemeine homogene Lösung finden und dann eine spezielle inhomogoene und alle Lösungen sind dann diese allgemeine+spezielle?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast doch gar kein x5?
du hast $ [mm] x_{1}+2x_{2}-7x_{3}+2x_{4}=-3 [/mm] $
und die 2.te Zeile verschwindet auch nicht, wenn du sie zur dritten addierst! also ist nur die dritte Zeile 0 in der zweiten kannst du x3,x4 willkürlich wählen, oder x2,x3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Di 15.04.2008 | | Autor: | tobe |
Was ich wieder mal für Fehler mache ist ja nicht mehr schön.
Also bestime ich [mm] x_{3}=a [/mm] und [mm] x_{4}=b
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] x_{2} [/mm] = 2a + b - 2
Und Daraus folgt dass [mm] x_{1}=1+3a-4b [/mm] ist.
Also ist [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] a\vektor{3 \\ 2 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] b\vektor{-4 \\ 1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Di 15.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ich sehe richtig.
Gruss leduart
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