Gauß-Verfahren allgemein < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:00 So 15.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe Fragen zur allgemeinen Formulierung des Gauß-Verfahrens, wie er in einem Skript steht. Es wird in zwei-Teile gegliedert:
---
Das Gauß-Verfahren Teil 1:
Sei
[mm] a_{11}x_{1} [/mm] + [mm] a_{12}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{1}, [/mm] (1)
[mm] a_{21}x_{1} [/mm] + [mm] a_{22}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{2n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{2}, [/mm] (2)
...
[mm] a_{m1}x_{1} [/mm] + [mm] a_{m2}x_{2} [/mm] + ... + [mm] a_{mn}x_{n} [/mm] = [mm] b_{m} [/mm] (m)
ein System von m Gleichungen mit n Unbekannten [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}. [/mm] Dieses Gleichungssystem soll in ein äquivalentes umgeformt werden, an welchem man sofort die Lösbarkeit und die Lösungen ablesen kann.
Zunächst betrachte man diejenige Unbekannte [mm] x_{j_{1}} [/mm] mit dem kleinsten Index [mm] j_{1}, [/mm] die tatsächlich in dem Gleichungssystem auftritt. [mm] j_{1} [/mm] wird charakterisiert durch
[mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i,
[mm] a_{ij_{1}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i.
Sind alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen, dass
[mm] a_{1j_{1}} \not= [/mm] 0
ist. Das Gleichungssystem hat dann die Form
[mm] a_{1j_{1}}x_{j_{1}} [/mm] + ... + [mm] a_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] (1)
...
[mm] a_{mj_{1}}x_{j_{1}} [/mm] + ... + [mm] a_{mn}x_{n} [/mm] = [mm] b_{m} [/mm] (m)
Addiert man zu der Gleichung (i) das [mm] -\frac{a_{ij_{1}}}{a_{1j_{1}}}-fache [/mm] der Gleichung (1), so wird aus den Gleichungen (2), ..., (m) die Unbekannte [mm] x_{j_1} [/mm] eliminiert:
[mm] a_{1j_{1}}x_{j_{1}} [/mm] + [mm] a_{1j_{1}+1}x_{j_{1}+1} [/mm] ... + [mm] a_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] (1)
(2) - [mm] \frac{a_{2j_{1}}}{a_{1j_{1}}} [/mm] (1): [mm] a_{2j_{1}+1}'x_{j_{1}+1} [/mm] + ... + [mm] a_{2n}'x_{n} [/mm] = [mm] b_{2}' [/mm] (2')
...
(m) - [mm] \frac{a_{mj_{1}}}{a_{1j_{1}}} [/mm] (1): [mm] a_{mj_{1}+1}'x_{j_{1}+1} [/mm] + ... + [mm] a_{mn}'x_{n} [/mm] = [mm] b_{m}' [/mm] (m')
In dem Gleichungssystem (2'), ..., (m') betrachten wir wieder die Unbekannte [mm] x_{j_2} [/mm] mit
[mm] a_{ij}' [/mm] = 0 für j < [mm] j_{2} [/mm] und alle i = 2, ..., m,
[mm] a_{ij_{2}}' \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i.
Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen, dass
[mm] a_{2j_{2}}' \not= [/mm] 0
Durch Addition von geeigneten Vielfachen der Gleichung (2') zu den Gleichungen (3'), ..., (m') lässt sich [mm] x_{j_2} [/mm] aus den Gleichungen (3'), ..., (m') eliminieren. Durch endliche Wiederholung dieses Verfahrens erhalten wir schließlich ein Gleichungssystem der
Stufenform bzw. Zeilenstufenform
[mm] \overline{a}_{1j_{1}}x_{j_1} [/mm] + ... + [mm] \overline{a}_{1n}x_{n} [/mm] = [mm] \overline{b}_{1}
[/mm]
[mm] \overline{a}_{2j_{2}}x_{j_2} [/mm] + ... + [mm] \overline{a}_{2n}x_{n} [/mm] = [mm] \overline{b}_{2}
[/mm]
...
[mm] \overline{a}_{rj_{r}}x_{j_r} [/mm] + ... + [mm] \overline{a}_{rn}x_{j_1} [/mm] = [mm] \overline{b}_{r}
[/mm]
0 = [mm] \overline{b}_{r+1}
[/mm]
...
0 = [mm] \overline{b}_{m}
[/mm]
Dabei ist [mm] j_1 [/mm] < [mm] j_2 [/mm] < ... < [mm] j_r [/mm] und
[mm] \overline{a}_{ij_{i}} \not= [/mm] 0 für i = 1, ..., r.
Die Elemente [mm] \overline{a}_{ij_{i}} [/mm] heißen auch Angelpunkte oder Pivotelemente.
An diesem Gleichungssystem können wir sofort ablesen, ob es lösbar ist oder nicht. Es ist genau dann lösbar, wenn
[mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] = ... = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] = 0 ist.
Bei der Umformung des Gleichungssystems haben wir die folgenden Schritte durchgeführt:
(i) Vertauschung zweier Gleichungen,
(ii) Addition des [mm] \lambda-fachen [/mm] einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Die Lösungsmenten von Gleichungssystemen, die durch diese Umformungen auseinander hervorgehen, sind gleich.
Das Gauß-Verfahren Teil II:
Um die Lösungen eines Gleichungssystems sofort angeben zu können, werden wir die Zeilenform noch weiter vereinfachen. Dazu brauchen wir die Umformung
(iii) Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor [mm] \lambda \not= [/mm] 0.
Auf die Umformungen vom Typ (iii) ändern die Lösungsmenge nicht.
Mit (iii) kann erreicht werden, dass alle [mm] \overline{a}_{ij_{i}} [/mm] in 1 übergehen. Mit (ii) lassen sich ferner die Unbekannten [mm] x_{j_{1}} [/mm] aus den ersten i - 1 Gleichungen eliminieren:
Dazu addiere man geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1 Gleichungen. Dann erhalten wir die endgültige Zeilenstufenform
[mm] x_{j_{1}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{1}'
[/mm]
[mm] x_{j_{2}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{2}'
[/mm]
[mm] x_{j_{3}} [/mm] + ... + 0 + ... = [mm] b_{3}'
[/mm]
...
[mm] x_{j_{r}} [/mm] + ... = [mm] b_{r}'
[/mm]
0 = [mm] b_{r+1}'
[/mm]
...
0 = [mm] b_{m}'
[/mm]
Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn
[mm] b_{r+1}' [/mm] = ... = [mm] b_{m}' [/mm] = 0
gilt (tatsächlich ist [mm] b_{r+1}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{r+1}, [/mm] ..., [mm] b_{m}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{m}). [/mm] Ist das Gleichungssystem lösbar, so erhalten wir die Lösungen wie folgt:
[mm] x_{k} [/mm] beliebig aus [mm] \IR [/mm] für k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}.
[/mm]
[mm] x_{j_{i}} [/mm] aus der i-ten Gleichung
[mm] x_{j_{i}} [/mm] = [mm] b_{i}' [/mm] + linearer Ausdruck in den [mm] x_{k}, [/mm] k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}.
[/mm]
---
Um nun zu meinen Fragen zu kommen:
1) Zu der Stelle "Zunächst betrachte man diejenige Unbekannte [mm] x_{j_{1}} [/mm] mit dem kleinsten Index [mm] j_{1}, [/mm] die tatsächlich in dem Gleichungssystem auftritt. [mm] j_{1} [/mm] wird charakterisiert durch
[mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i,
[mm] a_{ij_{1}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i.
Sind alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen, dass
[mm] a_{1j_{1}} \not= [/mm] 0
ist."
habe ich zwei Fragen a) und b):
a) Wie kann ich die Bedingungen " [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i,
[mm] a_{ij_{1}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i " z.B. beim LGS
[mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4
[mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 2
verstehen, hier gibt es doch kein [mm] a_{ij} [/mm] = 0? Oder meint man die nicht vorhandenen Koeffizienten "links" von 2 bzw. 3 und die sind "null" ?
Wo es mir einleuchtet ist z.B. beim LGS, wo bereits [mm] x_{1} [/mm] eliminiert wurde:
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 1 (1)
+ [mm] 3x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 2 (2')
[mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 3 (3')
In dem Gleichungssystem (2'), (3') betrachtet man die Unbekannte [mm] x_{j_{2}} [/mm] mit dem Index [mm] j_{2} [/mm] = 2, denn es gilt [mm] a_{ij}' [/mm] = 0 für j < 2 und alle i = 2, 3 und [mm] a_{ij_{2}} \not= [/mm] 0 für wenigstens ein i [mm] (a_{i2} \not= [/mm] 0 für zum Beispiel i=2
Aber wie ist es ganz zu Beginn, wenn kein Koeffizient "null" ist?
b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden wenn alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0 sind?
2) Wieso ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] = ... = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] = 0 ist?
Spielt dieser Punkt darauf an, dass keine Ungleichheit (also z.B. 0 = 2) vorkommen darf?
Und das wären die [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] = ... = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] z.B. im folgenden eliminierten LGS?
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 1
[mm] 5x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 2
[mm] 9x_3 [/mm] = 3
Und im Falle
[mm] x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] = 1
[mm] 5x_2 [/mm] + [mm] 6x_3 [/mm] = 2
0 = 0
wäre doch [mm] \overline{b}_{3} [/mm] = 0, oder?
3) Wieso gilt " tatsächlich ist [mm] b_{r+1}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{r+1}, [/mm] ..., [mm] b_{m}' [/mm] = [mm] \overline{b}_{m} [/mm] "? Also wieso sind die [mm] b_{r}' [/mm] der endgültigen Zeilenstufenform gleich den [mm] \overline{b}_{r} [/mm] der vorläufigen Zeilenstufenform?
4) Wie kann ich den Schluss " Die Lösungen erhält man wie folgt:
[mm] x_{k} [/mm] beliebig aus [mm] \IR [/mm] für k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}.
[/mm]
[mm] x_{j_{i}} [/mm] aus der i-ten Gleichung
[mm] x_{j_{i}} [/mm] = [mm] b_{i}' [/mm] + linearer Ausdruck in den [mm] x_{k}, [/mm] k [mm] \not= j_{1}, [/mm] ..., [mm] j_{r}. [/mm] "verstehen?
Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
Ich weiß es ist sehr viel zu lesen, dementsprechend habe ich den Fälligkeitszeitraum höher gesetzt.
Aber vielleicht findet einer die Zeit 
Viele Grüße,
X3nion
|
|
| |
|
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe Fragen zur allgemeinen Formulierung des
> Gauß-Verfahrens, wie er in einem Skript steht. Es wird in
> zwei-Teile gegliedert:
>
> ---
>
> Das Gauß-Verfahren Teil 1:
>
> Sei
>
> [mm]a_{11}x_{1}[/mm] + [mm]a_{12}x_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{1},[/mm]
> (1)
> [mm]a_{21}x_{1}[/mm] + [mm]a_{22}x_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{2n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{2},[/mm]
> (2)
> ...
>
> [mm]a_{m1}x_{1}[/mm] + [mm]a_{m2}x_{2}[/mm] + ... + [mm]a_{mn}x_{n}[/mm] = [mm]b_{m}[/mm]
> (m)
>
> ein System von m Gleichungen mit n Unbekannten [mm]x_{1},[/mm] ...,
> [mm]x_{n}.[/mm] Dieses Gleichungssystem soll in ein äquivalentes
> umgeformt werden, an welchem man sofort die Lösbarkeit und
> die Lösungen ablesen kann.
>
> Zunächst betrachte man diejenige Unbekannte [mm]x_{j_{1}}[/mm] mit
> dem kleinsten Index [mm]j_{1},[/mm] die tatsächlich in dem
> Gleichungssystem auftritt. [mm]j_{1}[/mm] wird charakterisiert
> durch
>
> [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm] und alle i,
> [mm]a_{ij_{1}} \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i.
>
> Sind alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem
> nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können
> wir erreichen, dass
>
> [mm]a_{1j_{1}} \not=[/mm] 0
>
> ist. Das Gleichungssystem hat dann die Form
>
> [mm]a_{1j_{1}}x_{j_{1}}[/mm] + ... + [mm]a_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] (1)
>
> ...
>
> [mm]a_{mj_{1}}x_{j_{1}}[/mm] + ... + [mm]a_{mn}x_{n}[/mm] = [mm]b_{m}[/mm] (m)
>
>
> Addiert man zu der Gleichung (i) das
> [mm]-\frac{a_{ij_{1}}}{a_{1j_{1}}}-fache[/mm] der Gleichung (1), so
> wird aus den Gleichungen (2), ..., (m) die Unbekannte
> [mm]x_{j_1}[/mm] eliminiert:
>
> [mm]a_{1j_{1}}x_{j_{1}}[/mm] + [mm]a_{1j_{1}+1}x_{j_{1}+1}[/mm] ... +
> [mm]a_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]b_{1}[/mm] (1)
>
> (2) - [mm]\frac{a_{2j_{1}}}{a_{1j_{1}}}[/mm] (1):
> [mm]a_{2j_{1}+1}'x_{j_{1}+1}[/mm] + ... + [mm]a_{2n}'x_{n}[/mm] = [mm]b_{2}'[/mm]
> (2')
>
> ...
>
> (m) - [mm]\frac{a_{mj_{1}}}{a_{1j_{1}}}[/mm] (1):
> [mm]a_{mj_{1}+1}'x_{j_{1}+1}[/mm] + ... + [mm]a_{mn}'x_{n}[/mm] = [mm]b_{m}'[/mm]
> (m')
>
>
> In dem Gleichungssystem (2'), ..., (m') betrachten wir
> wieder die Unbekannte [mm]x_{j_2}[/mm] mit
>
> [mm]a_{ij}'[/mm] = 0 für j < [mm]j_{2}[/mm] und alle i = 2, ..., m,
> [mm]a_{ij_{2}}' \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i.
>
> Durch Umnummerieren der Gleichungen können wir erreichen,
> dass
>
> [mm]a_{2j_{2}}' \not=[/mm] 0
>
> Durch Addition von geeigneten Vielfachen der Gleichung (2')
> zu den Gleichungen (3'), ..., (m') lässt sich [mm]x_{j_2}[/mm] aus
> den Gleichungen (3'), ..., (m') eliminieren. Durch endliche
> Wiederholung dieses Verfahrens erhalten wir schließlich
> ein Gleichungssystem der
>
> Stufenform bzw. Zeilenstufenform
>
> [mm]\overline{a}_{1j_{1}}x_{j_1}[/mm] + ... +
> [mm]\overline{a}_{1n}x_{n}[/mm] = [mm]\overline{b}_{1}[/mm]
>
> [mm]\overline{a}_{2j_{2}}x_{j_2}[/mm] + ... +
> [mm]\overline{a}_{2n}x_{n}[/mm] = [mm]\overline{b}_{2}[/mm]
>
> ...
>
> [mm]\overline{a}_{rj_{r}}x_{j_r}[/mm] + ... +
> [mm]\overline{a}_{rn}x_{j_1}[/mm] = [mm]\overline{b}_{r}[/mm]
>
> 0 = [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm]
>
> ...
>
> 0 = [mm]\overline{b}_{m}[/mm]
>
>
> Dabei ist [mm]j_1[/mm] < [mm]j_2[/mm] < ... < [mm]j_r[/mm] und
>
> [mm]\overline{a}_{ij_{i}} \not=[/mm] 0 für i = 1, ..., r.
>
> Die Elemente [mm]\overline{a}_{ij_{i}}[/mm] heißen auch Angelpunkte
> oder Pivotelemente.
>
> An diesem Gleichungssystem können wir sofort ablesen, ob
> es lösbar ist oder nicht. Es ist genau dann lösbar, wenn
>
> [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] = 0 ist.
>
> Bei der Umformung des Gleichungssystems haben wir die
> folgenden Schritte durchgeführt:
>
> (i) Vertauschung zweier Gleichungen,
>
> (ii) Addition des [mm]\lambda-fachen[/mm] einer Gleichung zu einer
> anderen Gleichung. Die Lösungsmenten von
> Gleichungssystemen, die durch diese Umformungen auseinander
> hervorgehen, sind gleich.
>
>
>
> Das Gauß-Verfahren Teil II:
>
> Um die Lösungen eines Gleichungssystems sofort angeben zu
> können, werden wir die Zeilenform noch weiter
> vereinfachen. Dazu brauchen wir die Umformung
>
> (iii) Multiplikation einer Gleichung mit einem Faktor
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0.
>
> Auf die Umformungen vom Typ (iii) ändern die Lösungsmenge
> nicht.
>
> Mit (iii) kann erreicht werden, dass alle
> [mm]\overline{a}_{ij_{i}}[/mm] in 1 übergehen. Mit (ii) lassen sich
> ferner die Unbekannten [mm]x_{j_{1}}[/mm] aus den ersten i - 1
> Gleichungen eliminieren:
>
> Dazu addiere man geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu
> den ersten i-1 Gleichungen. Dann erhalten wir die
> endgültige Zeilenstufenform
>
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{1}'[/mm]
> [mm]x_{j_{2}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{2}'[/mm]
> [mm]x_{j_{3}}[/mm] + ... + 0 + ... = [mm]b_{3}'[/mm]
> ...
> [mm]x_{j_{r}}[/mm] + ... = [mm]b_{r}'[/mm]
>
> 0 = [mm]b_{r+1}'[/mm]
> ...
> 0 = [mm]b_{m}'[/mm]
>
>
> Dieses Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn
>
> [mm]b_{r+1}'[/mm] = ... = [mm]b_{m}'[/mm] = 0
>
> gilt (tatsächlich ist [mm]b_{r+1}'[/mm] = [mm]\overline{b}_{r+1},[/mm] ...,
> [mm]b_{m}'[/mm] = [mm]\overline{b}_{m}).[/mm] Ist das Gleichungssystem
> lösbar, so erhalten wir die Lösungen wie folgt:
>
> [mm]x_{k}[/mm] beliebig aus [mm]\IR[/mm] für k [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm]
> [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus der i-ten Gleichung
> [mm]x_{j_{i}}[/mm] = [mm]b_{i}'[/mm] + linearer Ausdruck in den [mm]x_{k},[/mm] k
> [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm]
>
> ---
>
> Um nun zu meinen Fragen zu kommen:
>
> 1) Zu der Stelle "Zunächst betrachte man diejenige
> Unbekannte [mm]x_{j_{1}}[/mm] mit dem kleinsten Index [mm]j_{1},[/mm] die
> tatsächlich in dem Gleichungssystem auftritt. [mm]j_{1}[/mm] wird
> charakterisiert durch
>
> [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm] und alle i,
> [mm]a_{ij_{1}} \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i.
>
> Sind alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0, so brauchen wir das Gleichungssystem
> nicht umformen. Durch Umnummerieren der Gleichungen können
> wir erreichen, dass
>
> [mm]a_{1j_{1}} \not=[/mm] 0
>
> ist."
> habe ich zwei Fragen a) und b):
>
> a) Wie kann ich die Bedingungen " [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm]
> und alle i,
> [mm]a_{ij_{1}} \not=[/mm] 0 für wenigstens ein i " z.B. beim LGS
> [mm]2x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4
> [mm]3x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 2
>
> verstehen, hier gibt es doch kein [mm]a_{ij}[/mm] = 0? Oder meint
> man die nicht vorhandenen Koeffizienten "links" von 2 bzw.
> 3 und die sind "null" ?
>
> Wo es mir einleuchtet ist z.B. beim LGS, wo bereits [mm]x_{1}[/mm]
> eliminiert wurde:
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 1 (1)
> + [mm]3x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 2 (2')
> [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 3 (3')
>
> In dem Gleichungssystem (2'), (3') betrachtet man die
> Unbekannte [mm]x_{j_{2}}[/mm] mit dem Index [mm]j_{2}[/mm] = 2, denn es gilt
> [mm]a_{ij}'[/mm] = 0 für j < 2 und alle i = 2, 3 und [mm]a_{ij_{2}} \not=[/mm]
> 0 für wenigstens ein i [mm](a_{i2} \not=[/mm] 0 für zum Beispiel
> i=2
>
> Aber wie ist es ganz zu Beginn, wenn kein Koeffizient
> "null" ist?
Hallo,
es wird ja nicht vorausgesetzt, dass zu Beginn alle (oder auch nur bestimmte) Koeffizienten ungleich 0 sind. Grundsätzlich hast du recht, wenn zu Beginn [mm]x_1[/mm] tatsächlich (in irgendeiner Gleichung) mit einem Faktor ungleich 0 auftritt, dann ist [mm]j_1=1[/mm], so dass es keine [mm]j
>
> b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden
> wenn alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0 sind?
Wenn auf der linken Seite nur Nullen stehen, bleiben nur zwei Möglichkeiten. Entweder ist (mindestens) eines der [mm]b_i\ne 0[/mm], dann gibt es keine Lösung. Oder auch die rechte Seite ist komplett Null, dass sind alle [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm] Lösung.
In jedem Fall erkennt man die Lösung sofort, so dass keine Umformung nötig ist.
>
>
> 2) Wieso ist das Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn
> [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] = 0 ist?
> Spielt dieser Punkt darauf an, dass keine Ungleichheit
> (also z.B. 0 = 2) vorkommen darf?
Ja. [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] sind ja die Koeffizienten auf der rechten Seite zu denjenigen Gleichungen, wo auf der linken Seite 0 steht. Und das LGS ist genau dann lösbar, wenn es in der Zeilenstufenform keine Gleichung der Form [mm]0=b_i[/mm] mit [mm]b_i\ne 0[/mm] gibt.
>
> Und das wären die [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... =
> [mm]\overline{b}_{m}[/mm] z.B. im folgenden eliminierten LGS?
>
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 1
> [mm]5x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 2
> [mm]9x_3[/mm] = 3
Hier ist [mm]m=r=3[/mm], so dass es keine [mm]\overline{b}_i[/mm] gibt mit [mm]r
>
> Und im Falle
> [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 1
> [mm]5x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 2
> 0 = 0
>
> wäre doch [mm]\overline{b}_{3}[/mm] = 0, oder?
Ja.
>
>
> 3) Wieso gilt " tatsächlich ist [mm]b_{r+1}'[/mm] =
> [mm]\overline{b}_{r+1},[/mm] ..., [mm]b_{m}'[/mm] = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] "? Also
> wieso sind die [mm]b_{r}'[/mm] der endgültigen Zeilenstufenform
> gleich den [mm]\overline{b}_{r}[/mm] der vorläufigen
> Zeilenstufenform?
Weil die Zeilen mit nur Nullen auf der linken Seite nicht weiter umgeformt werden.
>
> 4) Wie kann ich den Schluss " Die Lösungen erhält man wie
> folgt:
> [mm]x_{k}[/mm] beliebig aus [mm]\IR[/mm] für k [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm]
> [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus der i-ten Gleichung
> [mm]x_{j_{i}}[/mm] = [mm]b_{i}'[/mm] + linearer Ausdruck in den [mm]x_{k},[/mm] k
> [mm]\not= j_{1},[/mm] ..., [mm]j_{r}.[/mm] "verstehen?
>
>
Die betreffenden [mm]x_{k}[/mm] werden durch das LGS ja nicht eindeutig festgelegt, sondern sind in der allgemeinen Lösung als frei wählbare Parameter enthalten. Diese können in jeder Komponente der Lösung vorkommen.
Beispiel: Am Ende bleiben zwei Gleichungen [mm]x_1+2x_2=3[/mm] und 0=0.
Dann ist [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar und [mm]x_1=3-2x_2[/mm], wobei [mm]b_1'=3[/mm] und das [mm]-2x_2[/mm] der "lineare Ausdruck ..." wäre.
>
> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
> Ich weiß es ist sehr viel zu lesen, dementsprechend habe
> ich den Fälligkeitszeitraum höher gesetzt.
> Aber vielleicht findet einer die Zeit
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:22 Mi 18.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo donquijote,
dankeschön für deine Antwort und Erklärung!
> Hallo,
> es wird ja nicht vorausgesetzt, dass zu Beginn alle (oder auch nur
> bestimmte) Koeffizienten ungleich 0 sind. Grundsätzlich hast du recht,
> wenn zu Beginn $ [mm] x_1 [/mm] $ tatsächlich (in irgendeiner Gleichung) mit einem
> Faktor ungleich 0 auftritt, dann ist $ [mm] j_1=1 [/mm] $, so dass es keine $ [mm] j
> gibt, für die irgendwas 0 sein muss. Da aber der allgemeine Fall betrachtet > wird, muss auch die Möglichkeit berücksichtigt werden, dass einzelne
> Spalten der Koeffizientenmatrix nur Nullen enthalten.
Wenn man ein LGS hat, in welchem die [mm] a_{ij} [/mm] vor den [mm] x_{1} \not= [/mm] 0 sind, dann setzt man ja [mm] j_{1} [/mm] = 1. Aber wieso ist dann die Bedingung wahr, dass [mm] a_{ij} [/mm] = 0 für j < [mm] j_{1} [/mm] und alle i? Wenn keine Indizes j < [mm] j_{1} [/mm] existieren (bzw. sie nicht definiert sind), dann können die [mm] a_{ij} [/mm] ja eigentlich alles mögliche sein, oder?
>
> b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden
> wenn alle $ [mm] a_{ij} [/mm] $ = 0 sind?
> Wenn auf der linken Seite nur Nullen stehen, bleiben nur zwei
> Möglichkeiten. Entweder ist (mindestens) eines der $ [mm] b_i\ne [/mm] 0 $, dann gibt > es keine Lösung. Oder auch die rechte Seite ist komplett Null, dass sind alle > $ [mm] x\in\mathbb{R}^n [/mm] $ Lösung.
> In jedem Fall erkennt man die Lösung sofort, so dass keine Umformung
> nötig ist.
Also spielt der Fall: alle [mm] a_{ij} [/mm] = 0 darauf an, dass das Gleichungssystem von der Form 0 = 0 oder 0 = a mit a [mm] \not= [/mm] 0 ist?
> $ [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] $ = ... = $ [mm] \overline{b}_{m} [/mm] $ sind ja die
> Koeffizienten auf der rechten Seite zu denjenigen Gleichungen, wo auf der > linken Seite 0 steht. Und das LGS ist genau dann lösbar, wenn es in der
> Zeilenstufenform keine Gleichung der Form $ [mm] 0=b_i [/mm] $ mit $ [mm] b_i\ne [/mm] 0 $ gibt.
>
> Und das wären die $ [mm] \overline{b}_{r+1} [/mm] $ = ... =
> $ [mm] \overline{b}_{m} [/mm] $ z.B. im folgenden eliminierten LGS?
>
> $ [mm] x_1 [/mm] $ + $ [mm] 2x_2 [/mm] $ + $ [mm] 3x_3 [/mm] $ = 1
> $ [mm] 5x_2 [/mm] $ + $ [mm] 6x_3 [/mm] $ = 2
> $ [mm] 9x_3 [/mm] $ = 3
> Hier ist m=r=3, so dass es keine $ [mm] \overline{b}_i [/mm] $ gibt mit $ [mm] r
Ist es also so, dass die [mm] b_{m} [/mm] nur dann auftreten, wenn auf der linken Seite 0 steht und eben nicht vorhanden sind, wenn auf der linken Seite [mm] \not= [/mm] 0 steht?
> Die betreffenden $ [mm] x_{k} [/mm] $ werden durch das LGS ja nicht eindeutig
> festgelegt, sondern sind in der allgemeinen Lösung als frei wählbare
> Parameter enthalten. Diese können in jeder Komponente der Lösung
> vorkommen.
> Beispiel: Am Ende bleiben zwei Gleichungen $ [mm] x_1+2x_2=3 [/mm] $ und 0=0.
> Dann ist $ [mm] x_{2} [/mm] $ frei wählbar und $ [mm] x_1=3-2x_2 [/mm] $, wobei $ [mm] b_1'=3 [/mm] $ > und das $ [mm] -2x_2 [/mm] $ der "lineare Ausdruck ..." wäre.
[mm] x_{j_{1}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{1}'
[/mm]
[mm] x_{j_{2}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{2}'
[/mm]
[mm] x_{j_{3}} [/mm] + ... + 0 + ... = [mm] b_{3}'
[/mm]
...
[mm] x_{j_{r}} [/mm] + ... = [mm] b_{r}'
[/mm]
0 = [mm] b_{r+1}'
[/mm]
...
0 = [mm] b_{m}'
[/mm]
Den letzten Punkt mit den [mm] x_{k} [/mm] bzw. mit dem resultierenden LGS habe ich noch nicht ganz verstanden. Was bedeutet zum Beispiel die Zeile
[mm] x_{j_{1}} [/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm] b_{1}' [/mm] ?
Also für was sollen die ... stehen, für 0 oder für Ausdrücke?
Weil wenn man "geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1 Gleichungen hinzuaddiert", so wie es im Skript steht, dann würden doch die [mm] x_{j_{i}} [/mm] aus den ersten i-1 Gleichungen verschwinden und übrig bliebe in der 1. Zeile
[mm] x_{j_{1}} [/mm] = [mm] b_{1}', [/mm] in der 2. Zeile [mm] x_{j_{2}} [/mm] = [mm] b_{2}' [/mm] usw.., aber in diesem Falle würden dann doch die Fälle ausgeschlossen, dass z.B. [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 2 und 0=0 als LGS übrig bleibt.
Also was ich damit sagen möchte, dass in diesem Beispiel aus der 1. Zeile gar nicht [mm] x_{2} [/mm] eliminiert werden kann, weil in der 2. Zeile 0=0 steht.
Aber im Skript steht, dass wenn man eben geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1 hinzuaddiert, dass dann die [mm] x_{j_{i}} [/mm] aus den i-1 Gleichungen verschwinden, aber was garantiert mir hier, dass es wirklich möglich ist?
Für Antworten wie immer dankbar,
X3nion
|
|
|
| |
|
> Hallo donquijote,
>
> dankeschön für deine Antwort und Erklärung!
>
> > Hallo,
> > es wird ja nicht vorausgesetzt, dass zu Beginn alle
> (oder auch nur
> > bestimmte) Koeffizienten ungleich 0 sind. Grundsätzlich
> hast du recht,
> > wenn zu Beginn [mm]x_1[/mm] tatsächlich (in irgendeiner Gleichung)
> mit einem
> > Faktor ungleich 0 auftritt, dann ist [mm]j_1=1 [/mm], so dass es
> keine [mm]j
> > gibt, für die irgendwas 0 sein muss. Da aber der
> allgemeine Fall betrachtet > wird, muss auch die
> Möglichkeit berücksichtigt werden, dass einzelne
> > Spalten der Koeffizientenmatrix nur Nullen enthalten.
>
> Wenn man ein LGS hat, in welchem die [mm]a_{ij}[/mm] vor den [mm]x_{1} \not=[/mm]
> 0 sind, dann setzt man ja [mm]j_{1}[/mm] = 1. Aber wieso ist dann
> die Bedingung wahr, dass [mm]a_{ij}[/mm] = 0 für j < [mm]j_{1}[/mm] und alle
> i? Wenn keine Indizes j < [mm]j_{1}[/mm] existieren (bzw. sie nicht
> definiert sind), dann können die [mm]a_{ij}[/mm] ja eigentlich
> alles mögliche sein, oder?
In dem Fall ist [mm]a_{ij}=0[/mm] für [mm]j
Das Gegenteil würde ja bedeuten: Es gibt ein [mm]j
>
>
> >
> > b) Wieso muss das Gleichungssystem nicht umgeformt werden
> > wenn alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0 sind?
>
> > Wenn auf der linken Seite nur Nullen stehen, bleiben nur
> zwei
> > Möglichkeiten. Entweder ist (mindestens) eines der [mm]b_i\ne 0 [/mm],
> dann gibt > es keine Lösung. Oder auch die rechte Seite
> ist komplett Null, dass sind alle > [mm]x\in\mathbb{R}^n[/mm]
> Lösung.
> > In jedem Fall erkennt man die Lösung sofort, so dass
> keine Umformung
> > nötig ist.
>
> Also spielt der Fall: alle [mm]a_{ij}[/mm] = 0 darauf an, dass das
> Gleichungssystem von der Form 0 = 0 oder 0 = a mit a [mm]\not=[/mm]
> 0 ist?
Ja, schließlich sollen alle möglichen Fälle abgedeckt werden.
>
>
> > [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... = [mm]\overline{b}_{m}[/mm] sind ja die
> > Koeffizienten auf der rechten Seite zu denjenigen
> Gleichungen, wo auf der > linken Seite 0 steht. Und das LGS
> ist genau dann lösbar, wenn es in der
> > Zeilenstufenform keine Gleichung der Form [mm]0=b_i[/mm] mit [mm]b_i\ne 0[/mm]
> gibt.
>
> >
> > Und das wären die [mm]\overline{b}_{r+1}[/mm] = ... =
> > [mm]\overline{b}_{m}[/mm] z.B. im folgenden eliminierten LGS?
> >
> > [mm]x_1[/mm] + [mm]2x_2[/mm] + [mm]3x_3[/mm] = 1
> > [mm]5x_2[/mm] + [mm]6x_3[/mm] = 2
> > [mm]9x_3[/mm] = 3
>
> > Hier ist m=r=3, so dass es keine [mm]\overline{b}_i[/mm] gibt mit
> [mm]r
>
> Ist es also so, dass die [mm]b_{m}[/mm] nur dann auftreten, wenn auf
> der linken Seite 0 steht und eben nicht vorhanden sind,
> wenn auf der linken Seite [mm]\not=[/mm] 0 steht?
Du meinst die [mm]\overline{b}_{i}[/mm] für i>m. Diese treten nur auf, wenn auf der linken Seite (mindestens) eine Nullzeile entsteht. Für den Eintrag rechts gibt es dann die zwei Möglichkeiten [mm]\overline{b}_{i}=0[/mm] und [mm]\overline{b}_{i}\ne 0[/mm].
>
>
> > Die betreffenden [mm]x_{k}[/mm] werden durch das LGS ja nicht
> eindeutig
> > festgelegt, sondern sind in der allgemeinen Lösung als
> frei wählbare
> > Parameter enthalten. Diese können in jeder Komponente der
> Lösung
> > vorkommen.
> > Beispiel: Am Ende bleiben zwei Gleichungen [mm]x_1+2x_2=3[/mm]
> und 0=0.
> > Dann ist [mm]x_{2}[/mm] frei wählbar und [mm]x_1=3-2x_2 [/mm], wobei
> [mm]b_1'=3[/mm] > und das [mm]-2x_2[/mm] der "lineare Ausdruck ..." wäre.
>
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{1}'[/mm]
> [mm]x_{j_{2}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{2}'[/mm]
> [mm]x_{j_{3}}[/mm] + ... + 0 + ... = [mm]b_{3}'[/mm]
> ...
> [mm]x_{j_{r}}[/mm] + ... = [mm]b_{r}'[/mm]
>
> 0 = [mm]b_{r+1}'[/mm]
> ...
> 0 = [mm]b_{m}'[/mm]
>
>
> Den letzten Punkt mit den [mm]x_{k}[/mm] bzw. mit dem resultierenden
> LGS habe ich noch nicht ganz verstanden. Was bedeutet zum
> Beispiel die Zeile
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] + ... + 0 + ... + 0 + ... + 0 + ... = [mm]b_{1}'[/mm] ?
> Also für was sollen die ... stehen, für 0 oder für
> Ausdrücke?
> Weil wenn man "geeignete Vielfache der i-ten Gleichung zu
> den ersten i-1 Gleichungen hinzuaddiert", so wie es im
> Skript steht, dann würden doch die [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus den
> ersten i-1 Gleichungen verschwinden und übrig bliebe in
> der 1. Zeile
> [mm]x_{j_{1}}[/mm] = [mm]b_{1}',[/mm] in der 2. Zeile [mm]x_{j_{2}}[/mm] = [mm]b_{2}'[/mm]
> usw.., aber in diesem Falle würden dann doch die Fälle
> ausgeschlossen, dass z.B. [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] = 2 und 0=0 als LGS
> übrig bleibt.
>
> Also was ich damit sagen möchte, dass in diesem Beispiel
> aus der 1. Zeile gar nicht [mm]x_{2}[/mm] eliminiert werden kann,
> weil in der 2. Zeile 0=0 steht.
> Aber im Skript steht, dass wenn man eben geeignete
> Vielfache der i-ten Gleichung zu den ersten i-1
> hinzuaddiert, dass dann die [mm]x_{j_{i}}[/mm] aus den i-1
> Gleichungen verschwinden, aber was garantiert mir hier,
> dass es wirklich möglich ist?
Im Teil II des beschriebenen Algorithmus werden nur die Variablen [mm]x_{j_{k}}[/mm] für [mm]k\ne i[/mm] eliminiert, also diejenigen Unbekannten, die in einer anderen Gleichung als Pivotelemente auftreten. Und die bekommt man immer weg, wenn zur i-ten Gleichung ein Vielfaches der k-ten Gleichung addiert/subtrahiert wird. Die übrigen Unbekannten (wie [mm]x_{2}[/mm] in deinem Beispiel) können in anderen Gleichungen stehenbleiben. Diese Unbekannten bleiben in der allgemeinen Lösung als freie Parameter enthalten. Das heißt, ein umgeformtes LGS könnte z.B. so aussehen
x-2y =3
z=1
0=0
was dann zur allgemeinen Lösung z=1, y beliebig und x=3+2y führt. Wichtig ist nur, das in dem Beispiel (in Teil II) z aus der 1. Gleichung eliminiert wurde.
>
>
> Für Antworten wie immer dankbar,
> X3nion
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:15 Do 19.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo donquijote,
Danke für deine Hilfe, mir ist es nun klar geworden!
VG X3nion
|
|
|
|
