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Gauß-Verfahren Kern/LsgMenge: Ist es so richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:23 Mo 15.12.2014
Autor: asg

Aufgabe
[mm] \textbf{Aufgabe 8.2} [/mm]
[mm] \\ [/mm]

Es seien

[mm] $$A:=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 11 \\ -2 & 14 & 3 & 11 \end{pmatrix}\qquad \vec{b}:=\begin{pmatrix} 2 \\ 13 \\ 16 \end{pmatrix} [/mm]
$$


a) Bestimmen Sie mit dem Gauss-Verfahren alle Lösungen von $A [mm] \cdot \vec{x}=\vec{b}$ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

b) Wie lautet der Kern der Matrix $A$?
[mm] \\ [/mm]

c) Was hat Frage a) mit Frage b) zu tun?
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

Hallo zusammen,

die obigen Aufgaben habe ich wie folgt gelöst:
[mm] \\ [/mm]

--------------------------------------------------------
a) Lösungsmenge
--------------------------------------------------------
[mm] \\ [/mm]
$
I    1 -  2 + 1 +  2 =  [mm] 2\\ [/mm]
II   2 +  1 + 4 + 11 = [mm] 13\\ [/mm]
III -2 + 14 + 3 + 11 = [mm] 16\\ [/mm]
$
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

$
I    1 -  2 + 1 +  2 =  [mm] 2\\ [/mm]
II   0 + 15 + 7 + 22 = 29 [mm] \qquad\qquad [/mm]  II + [mm] III\\ [/mm]
III  0 + 10 + 5 + 15 = 20 [mm] \qquad\qquad [/mm]  2 [mm] \cdot [/mm] I + [mm] III\\ [/mm]
$
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

$
I    1 -  2 + 1 +  2 =  [mm] 2\\ [/mm]
II   0 + 15 + 7 + 22 = [mm] 29\\ [/mm]
III  0 +  0 + 5 +  5 = 10 [mm] \qquad\qquad [/mm]  15 [mm] \cdot [/mm] III - [mm] II\\ [/mm]
$
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

Gleichungssystem:
$
I    [mm] x_1 [/mm] -  [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] +  [mm] 2x_4 [/mm] =  [mm] 2\\ [/mm]
II   [mm] 15x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] + [mm] 22x_4 [/mm] = [mm] 29\\ [/mm]
III  [mm] 5x_3 [/mm] +  [mm] 5x_4 [/mm] = 10
$

Aus III folgt:
[mm] $x_3 [/mm] = 2 - [mm] x_4$ [/mm] mit $ [mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm]
Also:
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] 2-\lambda$ [/mm]
[mm] $x_4 [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm]

[mm] $x_3$ [/mm] und [mm] $x_4$ [/mm] in II einsetzen:
[mm] $15x_2 [/mm] + [mm] 7\cdot(2-\lambda) [/mm] + [mm] 22\lambda [/mm] = [mm] 29$\\ [/mm]
[mm] $15x_2 [/mm] = 15 - 15 [mm] \lambda \mid :15$\\ [/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = 1 - [mm] \lambda$ [/mm]

[mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] in I einsetzen:
[mm] $x_1 [/mm] -  [mm] 2\cdot(1 [/mm] - [mm] \lambda) [/mm] + [mm] (2-\lambda) [/mm] +  [mm] 2\lambda [/mm] =  [mm] 2$\\ [/mm]
[mm] $x_1 [/mm] =  2 - [mm] 3\lambda$\\ [/mm]

[mm] $\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-3\lambda\\1-\lambda \\ 2-\lambda \\ \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}$ [/mm]

Lösungsmenge:
[mm] $\mathbb{L}=\left\{\begin{array}{c}\begin{pmatrix}2\\1\\2\\0\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\end{array}\right\}$ [/mm]
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

--------------------------------------------------------
b)Kern der Matrix $A$
--------------------------------------------------------
[mm] \\ [/mm]
$
I    1 -  2 + 1 +  2 = [mm] 0\\ [/mm]
II   2 +  1 + 4 + 11 = [mm] 0\\ [/mm]
III -2 + 14 + 3 + 11 = [mm] 0\\ [/mm]
$
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

$
I    1 -  2 + 1 +  2 = [mm] 0\\ [/mm]
II   0 + 15 + 7 + 22 = 0 [mm] \qquad\qquad [/mm]  II + [mm] III\\ [/mm]
III  0 + 10 + 5 + 15 = 0 [mm] \qquad\qquad [/mm]  2 [mm] \cdot [/mm] I + [mm] III\\ [/mm]
$
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

$
I    1 -  2 + 1 +  2 = [mm] 0\\ [/mm]
II   0 + 15 + 7 + 22 = [mm] 0\\ [/mm]
III  0 +  0 + 5 +  5 = 0 [mm] \qquad\qquad [/mm]  15 [mm] \cdot [/mm] III - [mm] II\\ [/mm]
$
[mm] \\ [/mm]
[mm] \\ [/mm]

Gleichungssystem:
$
I    [mm] x_1 [/mm] -  [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] +  [mm] 2x_4 [/mm] =  [mm] 0\\ [/mm]
II   [mm] 15x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] + [mm] 22x_4 [/mm] = [mm] 0\\ [/mm]
III  [mm] 5x_3 [/mm] +  [mm] 5x_4 [/mm] = 00
$

Aus III folgt:
[mm] $x_3 [/mm] = - [mm] x_4$ [/mm] mit $ [mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda \in \mathbb{R}$ [/mm]
Also:
[mm] $x_3 [/mm] = [mm] -\lambda$ [/mm]
[mm] $x_4 [/mm] = [mm] \lambda$ [/mm]

[mm] $x_3$ [/mm] und [mm] $x_4$ [/mm] in II einsetzen:
[mm] $15x_2 [/mm] + [mm] 7\cdot(-\lambda) [/mm] + [mm] 22\lambda [/mm] = [mm] 0$\\ [/mm]
[mm] $15x_2 [/mm] = - 15 [mm] \lambda \mid :15$\\ [/mm]
[mm] $x_2 [/mm] = - [mm] \lambda$ [/mm]

[mm] $x_1, x_2, x_3$ [/mm] in I einsetzen:
[mm] $x_1 [/mm] -  [mm] 2\cdot(- \lambda) [/mm] + [mm] (-\lambda) [/mm] +  [mm] 2\lambda [/mm] =  [mm] 0$\\ [/mm]
[mm] $x_1 [/mm] =  - [mm] 3\lambda$\\ [/mm]

[mm] $\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\lambda\\-\lambda \\ -\lambda \\ \lambda\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}$ [/mm]

[mm] $Kern(A)=\left\{\begin{array}{c}\lambda \cdot \begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\end{array}\right\}$ [/mm]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
c) Gemeinsamkeit von a) und b)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hier sehe ich nur, dass beim Kern der Ortsvektor fehlt, ansonsten sind Kern und die Lösungsmenge gleich.
Aber was sagt mir das genau?

Kann mir jemand bitte sagen, ob meine Lösungen stimmen bzw. worauf will Teil c) hinaus?

Vielen Dank vorab

Viele Grüße

Asg
        
Bezug
Gauß-Verfahren Kern/LsgMenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:24 Mo 15.12.2014
Autor: fred97


> [mm]\textbf{Aufgabe 8.2}[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> Es seien
>
> [mm][/mm][mm] A:=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 4 & 11 \\ -2 & 14 & 3 & 11 \end{pmatrix}\qquad \vec{b}:=\begin{pmatrix} 2 \\ 13 \\ 16 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm][/mm]
>  
>
> a) Bestimmen Sie mit dem Gauss-Verfahren alle Lösungen von
> [mm]A \cdot \vec{x}=\vec{b}[/mm]
> [mm]\\[/mm]
>  
> b) Wie lautet der Kern der Matrix [mm]A[/mm]?
>  [mm]\\[/mm]
>  
> c) Was hat Frage a) mit Frage b) zu tun?
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  Hallo zusammen,
>  
> die obigen Aufgaben habe ich wie folgt gelöst:
>  [mm]\\[/mm]
>  
> --------------------------------------------------------
>  a) Lösungsmenge
>  --------------------------------------------------------
>  [mm]\\[/mm]
>  $
>  I    1 -  2 + 1 +  2 =  [mm]2\\[/mm]
>  II   2 +  1 + 4 + 11 = [mm]13\\[/mm]
>  III -2 + 14 + 3 + 11 = [mm]16\\[/mm]
>  $
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> $
>  I    1 -  2 + 1 +  2 =  [mm]2\\[/mm]
>  II   0 + 15 + 7 + 22 = 29 [mm]\qquad\qquad[/mm]  II + [mm]III\\[/mm]
>  III  0 + 10 + 5 + 15 = 20 [mm]\qquad\qquad[/mm]  2 [mm]\cdot[/mm] I + [mm]III\\[/mm]
>  $
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> $
>  I    1 -  2 + 1 +  2 =  [mm]2\\[/mm]
>  II   0 + 15 + 7 + 22 = [mm]29\\[/mm]
>  III  0 +  0 + 5 +  5 = 10 [mm]\qquad\qquad[/mm]  15 [mm]\cdot[/mm] III -
> [mm]II\\[/mm]
>  $
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> Gleichungssystem:
>  $
>  I    [mm]x_1[/mm] -  [mm]2x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] +  [mm]2x_4[/mm] =  [mm]2\\[/mm]
>  II   [mm]15x_2[/mm] + [mm]7x_3[/mm] + [mm]22x_4[/mm] = [mm]29\\[/mm]
>  III  [mm]5x_3[/mm] +  [mm]5x_4[/mm] = 10
>  $
>  
> Aus III folgt:
>  [mm]x_3 = 2 - x_4[/mm] mit [mm]x_4 = \lambda[/mm] mit [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm]
>  
> Also:
>  [mm]x_3 = 2-\lambda[/mm]
>  [mm]x_4 = \lambda[/mm]
>  
> [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] in II einsetzen:
>  [mm]15x_2 + 7\cdot(2-\lambda) + 22\lambda = 29[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]15x_2 = 15 - 15 \lambda \mid :15[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]x_2 = 1 - \lambda[/mm]
>  
> [mm]x_1, x_2, x_3[/mm] in I einsetzen:
>  [mm]x_1 - 2\cdot(1 - \lambda) + (2-\lambda) + 2\lambda = 2[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]x_1 = 2 - 3\lambda[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-3\lambda\\1-\lambda \\ 2-\lambda \\ \lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\\0\end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}[/mm]
>  
> Lösungsmenge:
>  
> [mm]\mathbb{L}=\left\{\begin{array}{c}\begin{pmatrix}2\\1\\2\\0\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\end{array}\right\}[/mm]
>  
> [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> --------------------------------------------------------
>  b)Kern der Matrix [mm]A[/mm]
>  --------------------------------------------------------
>  [mm]\\[/mm]
>  $
>  I    1 -  2 + 1 +  2 = [mm]0\\[/mm]
>  II   2 +  1 + 4 + 11 = [mm]0\\[/mm]
>  III -2 + 14 + 3 + 11 = [mm]0\\[/mm]
>  $
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> $
>  I    1 -  2 + 1 +  2 = [mm]0\\[/mm]
>  II   0 + 15 + 7 + 22 = 0 [mm]\qquad\qquad[/mm]  II + [mm]III\\[/mm]
>  III  0 + 10 + 5 + 15 = 0 [mm]\qquad\qquad[/mm]  2 [mm]\cdot[/mm] I + [mm]III\\[/mm]
>  $
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> $
>  I    1 -  2 + 1 +  2 = [mm]0\\[/mm]
>  II   0 + 15 + 7 + 22 = [mm]0\\[/mm]
>  III  0 +  0 + 5 +  5 = 0 [mm]\qquad\qquad[/mm]  15 [mm]\cdot[/mm] III -
> [mm]II\\[/mm]
>  $
>  [mm]\\[/mm]
>  [mm]\\[/mm]
>  
> Gleichungssystem:
>  $
>  I    [mm]x_1[/mm] -  [mm]2x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] +  [mm]2x_4[/mm] =  [mm]0\\[/mm]
>  II   [mm]15x_2[/mm] + [mm]7x_3[/mm] + [mm]22x_4[/mm] = [mm]0\\[/mm]
>  III  [mm]5x_3[/mm] +  [mm]5x_4[/mm] = 00
>  $
>  
> Aus III folgt:
>  [mm]x_3 = - x_4[/mm] mit [mm]x_4 = \lambda[/mm] mit [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm]
>  
> Also:
>  [mm]x_3 = -\lambda[/mm]
>  [mm]x_4 = \lambda[/mm]
>  
> [mm]x_3[/mm] und [mm]x_4[/mm] in II einsetzen:
>  [mm]15x_2 + 7\cdot(-\lambda) + 22\lambda = 0[/mm][mm] \\[/mm]
>  [mm]15x_2 = - 15 \lambda \mid :15[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]x_2 = - \lambda[/mm]
>  
> [mm]x_1, x_2, x_3[/mm] in I einsetzen:
>  [mm]x_1 - 2\cdot(- \lambda) + (-\lambda) + 2\lambda = 0[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]x_1 = - 3\lambda[/mm][mm] \\[/mm]
>  
> [mm]\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3\lambda\\-\lambda \\ -\lambda \\ \lambda\end{pmatrix}=\lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]Kern(A)=\left\{\begin{array}{c}\lambda \cdot \begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\end{array}\right\}[/mm]
>  
> ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  c) Gemeinsamkeit von a) und b)
>  
> ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  Hier sehe ich nur, dass beim Kern der Ortsvektor fehlt,
> ansonsten sind Kern und die Lösungsmenge gleich.
> Aber was sagt mir das genau?
>  
> Kann mir jemand bitte sagen, ob meine Lösungen stimmen
> bzw. worauf will Teil c) hinaus?


Die mengen


$ [mm] \mathbb{L}=\left\{\begin{array}{c}\begin{pmatrix}2\\1\\2\\0\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\end{array}\right\} [/mm] $

stimmt.

c) und Deine Lösung sagen Dir: für b) hättest Du nix mehr rechnen müssen !

FRED
>  
> Vielen Dank vorab
>  
> Viele Grüße
>  
> Asg

Bezug
                
Bezug
Gauß-Verfahren Kern/LsgMenge: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 06:09 Mo 15.12.2014
Autor: asg

Guten Morgen :)

Dankeschön für die prompte Antwort.

> ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  >  c) Gemeinsamkeit von a) und b)
> ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
>  >  Hier sehe ich nur, dass beim Kern der Ortsvektor fehlt,
> > ansonsten sind Kern und die Lösungsmenge gleich.
> > Aber was sagt mir das genau?

> > Kann mir jemand bitte sagen, ob meine Lösungen stimmen bzw. worauf will Teil c) hinaus?

> Die mengen

> [mm]\mathbb{L}=\left\{\begin{array}{c}\begin{pmatrix}2\\1\\2\\0\end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix}-3\\-1\\-1\\1\end{pmatrix} | \lambda \in \mathbb{R}\end{array}\right\}[/mm]

> stimmt.

> c) und Deine Lösung sagen Dir: für b) hättest Du nix mehr rechnen müssen !

Heißt es, Frage b) ist Teil der Frage a)? Oder mit anderen Worten, die Berechnung von Kern ist in der Berechnung der Lösungsmenge von [mm] \vec{x} [/mm] enthalten?

> FRED

Viele Grüße

Asg
Bezug
                        
Bezug
Gauß-Verfahren Kern/LsgMenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Mo 15.12.2014
Autor: angela.h.b.

>
> bzw. worauf will Teil c) hinaus?

Hallo,

die wollen von Dir sicher hören, daß die Lösungsmenge des inhomogenen LGS aus einer Lösung des Gleichungssystems besteht, nämlich [mm] \vektor{2\\1\\2\\0}, [/mm] zu welcher der Kern der Koeffizientenmatrix addierst wird. "Lösungsmenge= spezielle Lösung + Kern"

LG Angela
Bezug
                                
Bezug
Gauß-Verfahren Kern/LsgMenge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Mi 17.12.2014
Autor: asg

Hallo Angela,

Dankeschön für die Erklärung.

Viele Grüße

Asg


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