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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 So 20.01.2008 | | Autor: | kobo |
| Aufgabe | Für x [mm] \in \IR [/mm] bezeichne [x] die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.
Beweisen Sie: Ist [mm] x_{0} \in \IR [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] und [mm] (x_{n}) [/mm] eine gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergente Folge, so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] [x_{n}] [/mm] = [mm] [x_{0}] [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Hinweis: Zeigen Sie, dass es ein N [mm] \in \IN [/mm] gibt mit [mm] [x_{0}] [/mm] < [mm] x_{n} [/mm] < [mm] [x_{0}+1] [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N. |
Wie gehe ich nun an dieses Problem heran? Was bewiesen werden soll habe ich verstanden, und mir erscheint das auch alles logisch... nur wie beweise ich sowas?
Ich bedanke mich schonmal für die Hilfe :)
Mit freundlichen Grüßen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:49 So 20.01.2008 | | Autor: | ullim |
Hi kobo,
da die Folge [mm] x_n [/mm] konvergent gegen [mm] x_0 [/mm] ist gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] |x_n [/mm] - [mm] x_0| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] für jedes [mm] \epsilon [/mm] > 0 also
- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] - [mm] x_0 [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] also
[mm] x_0 [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < [mm] x_0 [/mm] + [mm] \epsilon
[/mm]
Es gilt [mm] x_{0} \in \IR [/mm] \ [mm] \IZ, [/mm] also kann man [mm] \epsilon [/mm] so wählen, das gilt
[mm] [x_0] \le x_0 [/mm] - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < [mm] x_0 [/mm] + [mm] \epsilon \le [x_0 [/mm] + 1], d.h. [mm] x_n [/mm] liegt zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen Zahlen
also gilt
[mm] [x_n] [/mm] = [mm] [x_0]
[/mm]
mfg ullim
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