Gauß-Elimination < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 26.04.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax=b mit
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & \alpha } [/mm] und b = [mm] \pmat{ 0 \\ 2 \\ \beta \\ 16 }
[/mm]
a) Für welche Werte von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] besitzt dieses Gleichungssystem
i) eine eindeutige Lösung,
ii) keine Lösung
iii) unendlich viele Lösungen ?
b) Geben Sie für den Fall, dass Ax=b eindeutig lösbar ist, die Lösung in Abhängigkeit von [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] an.
c) Für den Fall unendlich vieler Lösungen geben Sie den Lösungsraum explizit an. |
Mit dem Gaußschen Elliminationsverfahren sieht es bei mir folgendermaßen aus:
1 2 -1 -1 | 0
0 3 -1 -1 | 0
0 4 -1 -1 | [mm] \beta [/mm] - 3
0 1 2 [mm] \alpha [/mm] +1 | 17
Ich komme iwie nicht weiter :S
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
du kannst doch die zweite Zeile bis auf einen Eintrag eliminieren.
Ich gehe mal davon aus, dass du nur die reduzierte Form suchst.
Meine nächsten Schritte wären:
Zeilentausch 2<->4
und mit der 1 in der 2. Spalte den Rest elimieren
Mein ergebnis
[mm] \left( \begin {array}{ccccc} 1&2&-1&-1&0\\
\noalign{\medskip}0&1&3&3&
2\\
\noalign{\medskip}0&0&2&2&b-2\\
\noalign{\medskip}0&0&0&a-1&6+3\,b
\end {array} \right)
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:22 Di 26.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Um eine eindeutige Lösung zu kriegen, müsste doch [mm] \alpha [/mm] > 1 sein und [mm] \beta [/mm] > 2. Ist das so korrekt ?
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Hallo Carlo,
> Um eine eindeutige Lösung zu kriegen, müsste doch [mm]\alpha[/mm]
> > 1 sein und [mm]\beta[/mm] > 2. Ist das so korrekt ?
Die Eindeutigkeit der Lösung ist nur von dem Parameter [mm]\alpha[/mm] abhängig.
Um eine eindeutige Lösung zu erhalten, muß [mm] \alpha \not= 1[/mm] sein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Di 26.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Und [mm] \beta [/mm] muss doch ungleich 2 sein ?!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Di 26.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Und [mm]\beta[/mm] muss doch ungleich 2 sein ?!?
Warum?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich muss doch jetzt den Rang und die Determinante der Matrix bestimmen.
Aber wie mache ich das?
Der Rang einer Matrix ist die max. Anzahl linear unabhängiger Vektoren aber wie bestimme uch dies bei meiner Matrix?
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Hallo Carlo,
> Ich muss doch jetzt den Rang und die Determinante der
> Matrix bestimmen.
> Aber wie mache ich das?
>
> Der Rang einer Matrix ist die max. Anzahl linear
> unabhängiger Vektoren aber wie bestimme uch dies bei
> meiner Matrix?
Betrachte die Matrix in diesem Artikel
Für die Ermittlung des Ranges betrachtest Du die Spaltenvektoren.
Die Determinante ist dann hier bis auf einem konstanten Faktor,
das Produkt der Diagonalelemente.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Ok danke
Der Rang ist dann 4 also ein "voller Rang"
Aber was sagt mir das nun aus?
Für die Determinante habe ich raus :
2a-2
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Hallo Carlo,
> Ok danke
> Der Rang ist dann 4 also ein "voller Rang"
> Aber was sagt mir das nun aus?
Der Rang ist natürlich abhängig von dem Parameter a.
Wenn der Rang der Koeffiizientenmatrix gleich dem Rang
der erweiterten Koeffizientenmatrix (Koeffizientenmatrix
erweitert um einen Vektor), dann ist das Gleichungssystem lösbar.
>
> Für die Determinante habe ich raus :
> 2a-2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Also weil der Rang der Koeffiizientenmatrix gleich dem Rang
der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, beides 4, ist das GLS lösbar.
so richtig?
Aber ich müsste auch übeprüfen, ob die Matrix invertierbar ist oder?
Für [mm] a\not= [/mm] 1 ist für alle b das GLS lösbar.
Dies setze ich nun ein
[mm] \pmat{ 1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 1 }\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ b \\ 16}
[/mm]
Wie gehts nun weiter?
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Hallo nochmal,
> Also weil der Rang der Koeffiizientenmatrix gleich dem Rang
> der erweiterten Koeffizientenmatrix ist, beides 4, ist das
> GLS lösbar.
> so richtig?
>
> Aber ich müsste auch übeprüfen, ob die Matrix
> invertierbar ist oder?
>
> Für [mm]a\not=[/mm] 1 ist für alle b das GLS lösbar.
> Dies setze ich nun ein
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & -1 & -1 \\
2 & 5 & 1 & 1 \\
3 & 7 & 2 & 2 \\
-1 & 0 & 1 & \red{1} }\vektor{x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\
2 \\
b \\
16}[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Du bist doch im Fall [mm]\alpha\neq 1[/mm]
Wieso setzt du da [mm]\red{\alpha=1}[/mm] ein?????
Nutze die Matrix in ZSF aus wieschoos Antwort (als nicht erweiterte Koeffizientenmatrix), da siehst du doch, dass sie für [mm]\alpha\neq 1[/mm] vollen Rang hat.
Damit ist sie invertierbar, du kannst also [mm]Ax=b[/mm] von links mit [mm]A^{-1}[/mm] mult. und erhältst die eind. Lösung [mm]x=A^{-1}b[/mm]
D
>
> Wie gehts nun weiter?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:22 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Für i)
habe ich jetzt folgendes: [mm] \alpha [/mm] muss ungleich 1 sein und [mm] \beta [/mm] ungleich -2, stimmts ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Für i)
>
> habe ich jetzt folgendes: [mm]\alpha[/mm] muss ungleich 1 sein und
> [mm]\beta[/mm] ungleich -2, stimmts ?
Nein, es muß nur [mm]\alpha[/mm] ungleich 1 sein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Aber was ist dann mi [mm] \beta [/mm] ?
Ich habe für ii):
[mm] \alpha [/mm] = 1 und [mm] \beta [/mm] ungleich -2
iii):
[mm] \alpha [/mm] = 1 und [mm] \beta [/mm] = -2
ist das denn so falsch ? :S Was mache ich denn mit [mm] \beta [/mm] ? :S
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:04 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Kann mir denn niemand helfen ? :(
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Hallo Carlo,
> Aber was ist dann mi [mm]\beta[/mm] ?
>
> Ich habe für ii):
>
> [mm]\alpha[/mm] = 1 und [mm]\beta[/mm] ungleich -2
>
>
> iii):
>
> [mm]\alpha[/mm] = 1 und [mm]\beta[/mm] = -2
>
> ist das denn so falsch ? :S Was mache ich denn mit [mm]\beta[/mm] ?
Was meinst du?
Nix weiter, kritisch ist vor allem das [mm]\alpha-1[/mm]
Wenn das [mm]\neq 0[/mm] ist, kannst du gefahrlos in der letzten Zeile durch [mm]\alpha-1[/mm] teilen und nach [mm]x_4[/mm] auflösen und bekommst eine eind. Lösung, die anderen Fälle stehen ja oben ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:02 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Also ist das doch richtig ?
i) Für [mm] \alpha \not= [/mm] 1 hat die Matrix einen vollen Rang, damit ist sie invertierbar.
[mm] \beta [/mm] ist in diesem Falle unwichtig, kann beliebig gewählt werden.
ii) [mm] \alpha [/mm] = 1 und [mm] \beta \not= [/mm] -2
iii) [mm] \beta [/mm] = -2 und [mm] \alpha [/mm] kann beliebig gewählt werden ???
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Hallo,
> Also ist das doch richtig ?
Es war richtig, nun hast du es verschlimmbessert!
>
> i) Für [mm]\alpha \not=[/mm] 1 hat die Matrix einen vollen Rang,
> damit ist sie invertierbar.
> [mm]\beta[/mm] ist in diesem Falle unwichtig, kann beliebig
> gewählt werden.
>
> ii) [mm]\alpha[/mm] = 1 und [mm]\beta \not=[/mm] -2
Ja, dann steht in der letzten Zeile [mm]0=\text{irgendwas}\neq 0[/mm]
Damit gibt's keine Lsg.
>
> iii) [mm]\beta[/mm] = -2 und [mm]\alpha[/mm] kann beliebig gewählt werden
Nein, du erhähltst nur dann unendlich viele Lösungen, wenn [mm]\alpha=1[/mm] und [mm]\beta=-2[/mm] ist, denn dann steht in der letzten Zeile [mm]0=0[/mm] und du bekommst einen frei wählbaren Parameter.
Deine Aussage in (iii) widerspricht doch komplett dem, was du (richtig) in (i) sagst ...
Oben hattest du (iii) richtig!
> ???
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
sorry bei iii) habe ich mich vertippt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Muss ich bei b) [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_4 [/mm] berechnen ?
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Hallo nochmal,
> Muss ich bei b) [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_4[/mm] berechnen ?
Ja, du sollst in b) und c), also im Falle der eind. und dem Falle der unendlich vielen Lösungen jeweils die Lösung(sgesamtheit) angeben.
Löse also durch Rückwärtseinsetzen nach den [mm] $x_i$ [/mm] auf ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
im Falle der eind. Lösbarkeit kannst du alternativ auch die Inverse zu $A$ bestimmen und die Lösung $x$ in $Ax=b$ bestimmen durch [mm] $x=A^{-1}b$
[/mm]
Siehe auch oben
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Muss ich dann bei b) für [mm] \alpha [/mm] irgendeine Zahl [mm] \not= [/mm] 1 einsetzen ? Und für [mm] \beta [/mm] eine beliebige Zahl ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:26 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich setze doch die Zahlen in die eliminierte Matrix ein oder ? Sorry, für die dummen Fragen :(
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Hallo nochmal,
> Muss ich dann bei b) für [mm]\alpha[/mm] irgendeine Zahl [mm]\not=[/mm] 1
> einsetzen ? Und für [mm]\beta[/mm] eine beliebige Zahl ?
Nein, du musst allg. die Lösung in Abh. von [mm]\alpha\neq 1[/mm] und [mm]\beta[/mm] bestimmen.
Die [mm]x_i[/mm] aus dem Lösungsvektor werden dann nat. von [mm]\alpha, \beta[/mm] abhängen.
Für festes [mm]\alpha\neq 1[/mm] und festes [mm]\beta[/mm] bekommst du so eine eind. Lösung ...
Wie ich schon schrieb, kannst du für [mm] $\alpha\neq [/mm] 1$ in der letzten Zeile durch [mm] $\alpha-1$ [/mm] teilen und bekommst direkt:
[mm] $x_4=\frac{3(\beta+2)}{\alpha-1}$
[/mm]
Damit dann in Zeile 3 rein und [mm] $x_3$ [/mm] ausrechnen usw. ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
Für [mm] x_3 [/mm] bekomme ich folgendes raus:
[mm] \beta+ \bruch{6(\beta + 2 )}{\alpha -1 }
[/mm]
ist das korrekt?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
ich habe noch mal nachgerechnet und komme auf
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \beta [/mm] -1 - [mm] \bruch{9(\beta+2)^2 }{(\alpha-1)^2}
[/mm]
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Hallo, sieht ja noch schlimmer aus, siehe meine andere Antwort, Steffi
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Hallo
[mm] x_4=\bruch{3\beta+6}{\alpha-1}
[/mm]
aus der 3. Zeile folgt
[mm] 2*x_3+2*x_4=\beta-2
[/mm]
[mm] 2*x_3+2*\bruch{3\beta+6}{\alpha-1}=\beta-2
[/mm]
[mm] 2*x_3=\beta-2-\bruch{6\beta+12}{\alpha-1}
[/mm]
jetzt durch 2 teilen, alles auf den Hauptnenner
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
also
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \bruch{\beta}{2} [/mm] - 1 - [mm] \bruch{6\beta+12}{2 \alpha - 2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
[mm] x_2 [/mm] = 2 - [mm] \bruch{3 \beta}{2} [/mm] + 3+ [mm] \bruch{18 \beta + 36}{2 \alpha -2} [/mm] - [mm] \bruch{9 \beta + 18}{\alpha - 1}
[/mm]
ist das so richtig ?
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Hallo,
im Prinzip ja, schaue dir aber noch die beiden letzten Summanden an
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
meinst du
[mm] x_2= [/mm] 5- [mm] \bruch{3 \beta}{2} [/mm] + bruch{9 [mm] \beta [/mm] +36 [mm] }{\alpha - 2} [/mm] - [mm] \bruch{9 \beta +18}{\alpha -1 }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:23 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
[mm] x_2= [/mm] 5- [mm] \bruch{3 \beta}{2} [/mm] + [mm] \bruch{9 \beta+36}{\alpha - 2} [/mm] - [mm] \bruch{9 \beta +18}{\alpha -1 }
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
wie sieht es eigentlich mit c aus ?
wenn ich [mm] x_4 [/mm] ausrechnen möchte,
kommt bei mir sowas zu stande :
[mm] 0*x_4 [/mm] =6+3*(-2)
0 = 0
??
[mm] x_4 [/mm] existiert also nicht ??
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Hallo nochmal,
> wie sieht es eigentlich mit c aus ?
>
> wenn ich [mm]x_4[/mm] ausrechnen möchte,
>
> kommt bei mir sowas zu stande :
>
>
> [mm]0*x_4[/mm] =6+3*(-2)
>
> 0 = 0
>
> ??
>
> [mm]x_4[/mm] existiert also nicht ??
Doch, doch, es ist doch $0=0$ unabhängig von der Wahl von [mm] $x_4$ [/mm] eine wahre Aussage.
Du kannst also [mm] $x_4=t$ [/mm] mit beliebigem [mm] $t\in\IR$ [/mm] setzen (freier Parameter)
Bestimme daraus nun den Lösungsraum ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
[mm] x_3 [/mm] = -2 * t
[mm] x_2 [/mm] = 8 + 2*t
[mm] x_1 [/mm] = -20 -4*t
korrekt ?
Und vielen dank für eure Hilfe ;)
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Hallo nochmal,
> [mm]x_3[/mm] = -2 * t
>
> [mm]x_2[/mm] = 8 + 2*t
>
> [mm]x_1[/mm] = -20 -4*t
>
>
> korrekt ?
Nein, bedenke, dass mit [mm]\beta=-2[/mm] in Zeile 3 steht:
[mm]2x_3+2x_4=-4[/mm], also [mm]x_3+x_4=-2[/mm]
Was ergibt das nun für [mm]x_3[/mm] mit [mm]x_4=t[/mm] ?
>
> Und vielen dank für eure Hilfe ;)
Gerne
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
tippfehler :(((
[mm] x_3 [/mm] = -2 - t ??
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Hallo nochmal,
> tippfehler :(((
>
>
> [mm]x_3[/mm] = -2 - t ??
Nun rechne aber mal sorgfältig zuende und schreibe gem. Aufgabe den Lösungsraum mal hin ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
was ist eigentlich mit dem lösungsraum gemeint, das habe ich nicht so ganz verstanden.
muss ich [mm] x_1 [/mm] < -2
[mm] x_2 [/mm] > 8 sowas schreiben ?
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Hallo nochmal,
> was ist eigentlich mit dem lösungsraum gemeint, das habe
> ich nicht so ganz verstanden.
>
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> muss ich [mm]x_1[/mm] < -2
>
> [mm]x_2[/mm] > 8 sowas schreiben ?
Nein, wenn ich das auf die Schnelle richtig sehe, ist [mm]x_2=8[/mm] und
Edit Besser langsam und richtig rechnen, so wie Steffi - danke für die Korrektur!
[mm] $x_1=-1\red{8}$
[/mm]
Damit hat ein Lösungsvektor [mm]\vektor{x_1\\
x_2\\
x_3\\
x_4}[/mm] die Gestalt [mm]\vektor{-1\red{8}\\
8\\
-2-t\\
t}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
Das kannst du schreiben als [mm]\vektor{-1\red{8}\\
8\\
-2\\
0}+t\cdot{}\vektor{0\\
0\\
-1\\
1}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
Also ist die Lösungsgesamtheit [mm]\left\{\vektor{-1\red{8}\\
8\\
-2\\
0}+t\cdot{}\vektor{0\\
0\\
-1\\
1} \ \text{mit} \ t\in\IR\right\}=[/mm] [mm]\vektor{-1\red{8}\\
8\\
-2\\
0}+\left\langle\vektor{0\\
0\\
-1\\
1}\right\rangle_{\IR}[/mm]
Edit Ende
Das ist also ein affiner Raum der Dimension 1
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
aber
[mm] x_2 [/mm] ist doch = 8+2t ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:37 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Carlo |
okaay, habe meinen fehler entdeckt :D
vielen vielen dankk :D
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Hallo nochmal,
> aber
>
> [mm]x_2[/mm] ist doch = 8+2t ?
Wie gesagt, ich komme auf [mm] $x_2=8$
[/mm]
Rechne vor, dann haben wir Klarheit!
Falls du recht hast, passe die Lösungsvektoren entsprechned an ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:19 Mi 27.04.2011 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo schachuzipus, etwas langsamer geschaut, [mm] x_1=-18, [/mm] Steffi
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Hallo Steffi,
danke fürs Aufpassen ...
Akute Rechenschwäche meinerseits 
Hab's editiert!
Danke
Gruß
schachuzipus
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Hallo nochmal,
> meinst du
>
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> [mm]x_2=[/mm] 5- [mm]\bruch{3 \beta}{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
+ bruch{9 [mm]\beta[/mm] +36 [mm]}{\alpha - 2}[/mm] - [mm]\bruch{9 \beta +18}{\alpha -1 }[/mm]
Wenn du in dem Bruch [mm] $\frac{18\beta+36}{2\alpha-2}$ [/mm] mal in Zähler und Nenner 2 ausklammerst, steht da
[mm] $\frac{2(9\beta+18)}{2(\alpha-1)}=\frac{9\beta+18}{\alpha-1}$
[/mm]
Das hebt sich also mit dem letzten Bruch weg.
Es bleibt:
[mm] $x_2=5-\frac{3}{2}\beta$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
[mm] x_3 [/mm] ist korrekt, kürze im 3. Summand noch 2,
Steffi
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