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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 So 01.03.2015 | | Autor: | Sash5a |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar fa mit fa(x)=x³-ax+2; xElement von R; a Element von R
Ein Punkt Pt(t|f(t)) mit 0<t<1 des Graphen G3 und der Koordinatenursprung O sind gegenüberliegende Eckpunkte eines Rechtecks, von dem eine Seite auf der x-Achse und eine Seite auf der y-Achse liegt.
Untersuchen sie, ob ein solches Rechteck mit minimalem Umfang existiert und geben sie den zugehörigen Wert für t an. |
Also ich war jetzt der Ansicht, dass ich das mit der Hauptbedingung, also dem Umfang u=2a+2b, der Nebenbedingung, also f(t)=t³-at+2, und der Zielfunktion, welche auch immer das ist lösen muss. Ich hab allerdings keine Ahnung wie ich mit Hilfe dieser Angaben auf eine Lösung komme. Daher meine Frage, ob mir jemand wegsen einen Lösungsansatz geben könnte?! Das wäre echt super!
Danke im Voraus
mfG Sarah :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 So 01.03.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Sarah,
ich denke die Lösung runterzuschreiben ist nicht in deinem Interesse. Daher erst mal folgendes:
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks hast du ja schon mal. Nun ist der Umfang ja wohl eindeutig durch die Angabe der zwei gegenüberliegenden Eckpunkte definiert. Wenn der Umfang durch
$U=2e +2f$
für ein Rechteck dessen Seitenlängen gerade mit e bzw. f gekennzeichnet werden gegeben ist, wie kannst du dann e und f durch deine Funktionsschar ausdrücken?
Mal dir mal am besten ein Bild auf oder lass dir den Funktionsgraphen plotten.
Wenn ich später Zeit habe, schreib ich dir noch etwas mehr dazu. Ich denke aber, der Hinweis genügt erst mal. Du solltest am Ende eine Formel des Umfangs in Abhängigkeit von x $U(x)$ herausbekommen. Für diese Formel kannst du dann die Extremwerte berechnen.
LG
Ladon
EDIT:
Mit GeoGebra oder einen anderen Funktionsplotter deiner Wahl kannst du dir die Situation leicht vor Augen führen.
Hier noch mal die Situation graphisch dargestellt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:45 So 01.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> Gegeben ist die Funktionsschar fa mit fa(x)=x³-ax+2;
> xElement von R; a Element von R
> Ein Punkt Pt(t|f(t)) mit 0<t<1 des Graphen G3 und der
> Koordinatenursprung O sind gegenüberliegende Eckpunkte
> eines Rechtecks, von dem eine Seite auf der x-Achse und
> eine Seite auf der y-Achse liegt.
> Untersuchen sie, ob ein solches Rechteck mit minimalem
> Umfang existiert und geben sie den zugehörigen Wert für t
> an.
> Also ich war jetzt der Ansicht, dass ich das mit der
> Hauptbedingung, also dem Umfang u=2a+2b, der
> Nebenbedingung, also f(t)=t³-at+2, und der Zielfunktion,
Vorsicht! Du vermischt hier das a von der Kurvenschar mit einem selbst gewählten a, welches wohl eine Seitenlänge des Rechtsecks bezeichnen soll. Das solltest du unter allen Umständen vermeiden.
Vergiss am Besten die Sache mit der Kurvenschar, denn laut Angabe sollst du ja ohnedies nur jene mit a=3 verwenden.
> welche auch immer das ist lösen muss. Ich hab allerdings
> keine Ahnung wie ich mit Hilfe dieser Angaben auf eine
> Lösung komme. Daher meine Frage, ob mir jemand wegsen
> einen Lösungsansatz geben könnte?! Das wäre echt super!
Zeichne dir einmal in ein Koordinatensystem einen beliebigen Punkt P ein (vorzugsweise im ersten Quadranten), zeichne das durch Ursprung und P wie in der Angabe definierte Rechteck ein und gib dessen Seitenlängen unter Verwendung der Koordinaten [mm] x_P [/mm] und [mm] y_P [/mm] des Punktes P an. Nun kannst du auch den Umfang des Rechtecks unter Verwendung dieser Koordinaten angeben.
Als nächsten Schritt bestimme die Koordinaten des Punktes P in Abhängigkeit des Parameters t. Du weißt ja, dass der Punkt laut Angabe auf dem Graphen von [mm] f_3 [/mm] liegen soll.
Wenn du nun diese beiden Schritte kombinierst, erhältst du deine Zielfunktion in Abhängigkeit von t.
Gruß RMix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 So 01.03.2015 | | Autor: | Sash5a |
Ok also ich habe jetzt mal eine Zeichnung angefertigt gehabt und habe versucht eine Zielfunktion aufzustellen. Die lautet bei mir jetzt u(t)=2t³-4t+4 (also in abhängigkeit von t). Davon habe ich jetzt die Extremstellen berechnet und kam auf einen Wert von rund +/- 0,816
Davon müsste ja theoretisch nur der posiitive Wert von Nutzen sein, da ja 0<t<1, richtig? Aber der Wert erscheint mir irgendwie seltsam
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:18 So 01.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok also ich habe jetzt mal eine Zeichnung angefertigt
> gehabt und habe versucht eine Zielfunktion aufzustellen.
> Die lautet bei mir jetzt u(t)=2t³-4t+4 (also in
> abhängigkeit von t).
Das stimmt
> Davon habe ich jetzt die
> Extremstellen berechnet und kam auf einen Wert von rund +/-
> 0,816
Nimm doch die genauen Werte
[mm] x=\pm\sqrt{\frac{2}{3}}
[/mm]
> Davon müsste ja theoretisch nur der posiitive Wert von
> Nutzen sein, da ja 0<t<1, richtig?
Ja. Aber zeige noch, dass das zu einem Minimum führt.
Aber der Wert erscheint
> mir irgendwie seltsam
Wieso?
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 So 01.03.2015 | | Autor: | Sash5a |
Also der Wert erscheint mir seltsam, weil meine Lehrerin meinte es kommt ein ziemlich genauer und eindeutiger Wert raus und na ja, 0,816 ist nicht so eindeutig. Vielleicht meinte sie aber damit den Wert als Wurzel angegeben.
Auf jeden Fall danke! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:52 So 01.03.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also der Wert erscheint mir seltsam, weil meine Lehrerin
> meinte es kommt ein ziemlich genauer und eindeutiger Wert
> raus
Was ist denn an [mm] \sqrt{\frac{2}{3}} [/mm] ungenau?
> und na ja, 0,816 ist nicht so eindeutig. Vielleicht
> meinte sie aber damit den Wert als Wurzel angegeben.
Tu das bitte immer, vor allem, wenn du mit dem Wert weiterrechnen musst. manchmal heben sich dann Dinge auch auf, so dass auch die weiteren Ergebnisse dann exakt bleiben.
>
> Auf jeden Fall danke! :)
Marius
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