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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 11:54 Fr 20.02.2015 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Die Aufgabe hier:
https://matheraum.de/read?t=1052253
hat mich zu folgender Verallgemeinerung inspiriert:
$f$ und $g$ seien ganze Funktionen und es gelte
$|f(g(z))| [mm] \ge [/mm] 1$ für alle $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Man zeige: $f$ ist konstant oder $g$ ist konstant. |
Es wäre nett, wenn jemand aus dem Kreis der Moderatoren, die Aufgabe in der üblichen Weise kennzeichnen würde.
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Fr 20.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
ich schreibe meine Lösung mal, falls wieder niemand antworten sollte.
Ob der Link zur alten Aufgabe nicht schon zu viel des guten verrät?
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Fr 20.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
... damit die Aufgabe nicht untergeht
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Hiho,
dann wollen wir mal:
Klar ist, analog zu deiner Inspiration: f(g(z)) konstant
Also gilt: $f(g(z)) = c$ mit [mm] $c\in\IC, [/mm] |c| [mm] \ge [/mm] 1$
Differenzieren liefert:
$f'(g(z))*g'(z) = 0$
d.h. für alle [mm] $z\in \IC$ [/mm] gilt: $f'(g(z)) = 0 [mm] \vee [/mm] g'(z) = 0$
1. Fall: f konstant [mm] $\checkmark$
[/mm]
2. Fall: f nicht konstant
Dann ist mir klar, dass g konstant ist für den Bereich, wo f' nicht mal stückweise Null wird.
Nur warum das nicht passieren kann, da ist wohl mein Wissen über Funktionentheorie zu eingerostet 
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Sa 21.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
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> dann wollen wir mal:
>
> Klar ist, analog zu deiner Inspiration: f(g(z)) konstant
>
> Also gilt: [mm]f(g(z)) = c[/mm] mit [mm]c\in\IC, |c| \ge 1[/mm]
>
> Differenzieren liefert:
>
> [mm]f'(g(z))*g'(z) = 0[/mm]
>
> d.h. für alle [mm]z\in \IC[/mm] gilt: [mm]f'(g(z)) = 0 \vee g'(z) = 0[/mm]
>
> 1. Fall: f konstant [mm]\checkmark[/mm]
>
> 2. Fall: f nicht konstant
> Dann ist mir klar, dass g konstant ist für den Bereich,
> wo f' nicht mal stückweise Null wird.
> Nur warum das nicht passieren kann, da ist wohl mein
> Wissen über Funktionentheorie zu eingerostet
Hallo Gono,
Sei f nicht konstant. Wie "sieht" dann die Nullstellenmenge von f-c aus ?
Wenn $ f(g(z)) = c $ für jedes z, was kannst Du dann über [mm] g(\IC) [/mm] sagen ?
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Gono
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Hallo fred,
danke für den Tipp:
> Sei f nicht konstant. Wie "sieht" dann die Nullstellenmenge von f-c aus ?
Diese ist dann diskret.
> was kannst Du dann über $ [mm] g(\IC) [/mm] $ sagen ?
Dann ist das Bild von $ [mm] \IC [/mm] $ unter g ebenfalls diskret. Die Stetigkeit von g tut dann ihr übriges, um g als konstant festzulegen
Gruß,
Gono
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 So 22.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred,
>
> danke für den Tipp:
>
> > Sei f nicht konstant. Wie "sieht" dann die Nullstellenmenge
> von f-c aus ?
>
> Diese ist dann diskret.
>
> > was kannst Du dann über [mm]g(\IC)[/mm] sagen ?
>
> Dann ist das Bild von [mm]\IC[/mm] unter g ebenfalls diskret. Die
> Stetigkeit von g tut dann ihr übriges, um g als konstant
> festzulegen
So ist es.
FRED
>
> Gruß,
> Gono
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 So 22.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hiho,
>
> dann wollen wir mal:
>
> Klar ist, analog zu deiner Inspiration: f(g(z)) konstant
>
> Also gilt: [mm]f(g(z)) = c[/mm] mit [mm]c\in\IC, |c| \ge 1[/mm]
>
> Differenzieren liefert:
>
> [mm]f'(g(z))*g'(z) = 0[/mm]
>
> d.h. für alle [mm]z\in \IC[/mm] gilt: [mm]f'(g(z)) = 0 \vee g'(z) = 0[/mm]
>
> 1. Fall: f konstant [mm]\checkmark[/mm]
>
> 2. Fall: f nicht konstant
> Dann ist mir klar, dass g konstant ist für den Bereich,
> wo f' nicht mal stückweise Null wird.
> Nur warum das nicht passieren kann, da ist wohl mein
> Wissen über Funktionentheorie zu eingerostet
Dann machen wir mal mit Deinem Ansatz weiter: Annahme: es gibt ein [mm] z_0 \in \IC [/mm] mit [mm] g'(z_0) \ne [/mm] 0. Somit ex. eine offene Kreisscheibe K mit Mittelpunkt [mm] z_0, [/mm] derart, dass
g'(z) [mm] \ne [/mm] 0 für alle z [mm] \in [/mm] K.
Dann ist aber f'(g(z))=0 für alle z [mm] \in [/mm] K. f' verschwindet somit auf dem Gebiet g(K). Damit verschwindet f' auf ganz [mm] \IC. [/mm] Widerspruch.
FRED
>
> Gruß,
> Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:52 So 22.02.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Damit verschwindet f' auf ganz [mm]\IC.[/mm] Widerspruch.
und genau dieser Schluss fehlte mir. Durch deinen Hinweis mit der Nullstellenmenge konnte ich da aber noch mal gezielt nachlesen.
Die Eigenschaften von Nullstellen holomorpher Funktionen war aus meinem Kopf irgendwie entfleucht 
Gruß,
Gono
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