GanzahligeLösungVonGleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mi 21.10.2009 | | Autor: | bolzen |
| Aufgabe | Wieviele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung
[mm] 7*x^{3}+2=y^{3} [/mm] |
Ich glaube die Gleichung hat gar keine ganzzahlige Lösung.
Ich habe mir überlegt, dass es zu zeigen reicht, dass das hier: [mm] 7|y^{3}-2 [/mm] nie erfüllt ist. Wenn ich mir eine Tabelle im Tachenrechner machen lasse, gibt der mir recht, aber ich weiß nicht wie ich es beweisen kann.
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Hallo bolzen,
> Wieviele ganzzahlige Lösungen hat die Gleichung
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> [mm]7*x^{3}+2=y^{3}[/mm]
> Ich glaube die Gleichung hat gar keine ganzzahlige
> Lösung.
> Ich habe mir überlegt, dass es zu zeigen reicht, dass das
> hier: [mm]7|y^{3}-2[/mm] nie erfüllt ist. Wenn ich mir eine Tabelle
> im Tachenrechner machen lasse, gibt der mir recht, aber ich
> weiß nicht wie ich es beweisen kann.
Die Idee ist schon richtig.
Betrachte die obige Gleichung modulo 7
und bestimme die Lösungen y für die gilt:
[mm]7*x^{3}+2 \equiv 2 \equiv y^{3} \ \left(7\right)[/mm]
Dazu machst Du Dir am besten eine Tabelle.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 21.10.2009 | | Autor: | bolzen |
> Die Idee ist schon richtig.
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> Betrachte die obige Gleichung modulo 7
> und bestimme die Lösungen y für die gilt:
>
> [mm]7*x^{3}+2 \equiv 2 \equiv y^{3} \ \left(7\right)[/mm]
>
> Dazu machst Du Dir am besten eine Tabelle.
Danke für deinen Hinweis, allerdings verstehe ich ihn nicht. Kannst du ihn bitte nochmal anders formulieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 21.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Die Idee ist schon richtig.
> >
> > Betrachte die obige Gleichung modulo 7
> > und bestimme die Lösungen y für die gilt:
> >
> > [mm]7*x^{3}+2 \equiv 2 \equiv y^{3} \ \left(7\right)[/mm]
> >
> > Dazu machst Du Dir am besten eine Tabelle.
>
> Danke für deinen Hinweis, allerdings verstehe ich ihn
> nicht. Kannst du ihn bitte nochmal anders formulieren.
Um eine Gleichung modulo 7 zu testen, musst du fuer die Variablen nur alle Moeglichkeiten [mm] $\{ 0, \dots, 6 \}$ [/mm] einsetzen und schauen ob das geht.
Oder ist dir Modulorechnung nicht vertraut?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Do 22.10.2009 | | Autor: | bolzen |
> Um eine Gleichung modulo 7 zu testen, musst du fuer die
> Variablen nur alle Moeglichkeiten [mm]\{ 0, \dots, 6 \}[/mm]
> einsetzen und schauen ob das geht.
>
> Oder ist dir Modulorechnung nicht vertraut?
Ich glaube nicht. modulo kenne ich nur von 9mod2=1, also mit rest rechnen.
Gibt es nicht eine andere Möglichkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:34 Fr 23.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Um eine Gleichung modulo 7 zu testen, musst du fuer die
> > Variablen nur alle Moeglichkeiten [mm]\{ 0, \dots, 6 \}[/mm]
> > einsetzen und schauen ob das geht.
> >
> > Oder ist dir Modulorechnung nicht vertraut?
>
> Ich glaube nicht. modulo kenne ich nur von 9mod2=1, also
> mit rest rechnen.
> Gibt es nicht eine andere Möglichkeit?
Schreibe $y = 7 t + r$ mit $t, r [mm] \in \IZ$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] r < 7$. Dann kannst du [mm] $y^3$ [/mm] schreiben als $7 [mm] \cdot [/mm] (irgendwas) + [mm] r^3$, [/mm] und siehst somit, dass [mm] $y^3 [/mm] - 2$ nur dann durch 7 teilbar ist, wenn [mm] $r^3 [/mm] - 2$ durch 7 teilbar ist. Fuer $r$ gibt es jetzt aber nur 7 Moeglichkeiten, die du mit dem Taschenrechner durchprobieren kannst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Hanz |
Hi, ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen und wenn ich (r³-2) mod 7 mit r=0,...,6 rechne, bekomme ich kein Ergebnis raus, welches 7 teilt...
Hab ich es falsch verstanden, oder gibt es einfach keine ganzzahligen Lösungen?
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Hallo Hanz,
> Hi, ich habe die gleiche Aufgabe zu lösen und wenn ich
> (r³-2) mod 7 mit r=0,...,6 rechne, bekomme ich kein
> Ergebnis raus, welches 7 teilt...
>
> Hab ich es falsch verstanden, oder gibt es einfach keine
> ganzzahligen Lösungen?
Das hast Du schon ganz richtig verstanden.
Es gibt hier keine ganzzahligen Lösungen.
Gruss
MathePower
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