Gammaverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:36 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Damasus |
| Aufgabe | | Seien [mm] $n\in\IN$ [/mm] und $a>0$. Zeigen Sie: [mm] $Exp(a)*\gamma(n,a)=\gamma(n+1,a)$ [/mm] |
Guten Morgen allerseits, obiges Problem habe ich. Zunächst schien mir das ganze relativ einfach, aber irgendwann komme ich nicht weiter.
Ich hab rechts angefangen:
[mm] $\gamma(n+1,a)=\bruch{a^{n+1}}{\Gamma(n+1)}*x^{n}*e^{-ax}
[/mm]
= [mm] \bruch{a^{n}*a}{n\Gamma(n)}*x^{n-1}*x*e^{-ax}
[/mm]
= [mm] \gamma(n,a)*\bruch{a*x}{n}$
[/mm]
Am besten wäre es wenn [mm] $\bruch{a*x}{n} [/mm] = exp(a)$ wäre, aber davon bin nicht überzeugt. Steckt ein Fehler in der Rechnung oder muss ich es anders machen?
Mfg, Damasus
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 14:23 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Nächste Idee, die ich nun verfolge ist der Beweis mit Induktion.
aus dem Aufgabenteil a) wissen wir das [mm] $\gamma(1,a)=Exp(a)$ [/mm] gilt, also habe ich folgendermaßen angefangen:
Beweis durch vollständige Induktion über n
Indunktionsanfang: n=1: [mm] $Exp(a)*\gamma(1,a) [/mm] = [mm] \gamma(1,a)*\gamma(1,a) [/mm] = [mm] \bruch{a}{\Gamma(1)}*x^{0}*e^{-ax}*\bruch{a}{\Gamma(1)}*x^{0}*e^{-ax} [/mm] = [mm] \bruch{a^{2}}{\Gamma(2)}*x^{0}*e^{-2ax} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] $ nun komme ich wieder nicht weiter..
am Schluss muss da stehen [mm] $\bruch{a^{2}}{\Gamma(2)}*x^{1}*e^{-ax}=\gamma(2,a)$
[/mm]
(*) Das [mm] $\Gamma(1)=\Gamma(2)$ [/mm] gilt, kann man leicht nachrechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Sigma |
Hallo Damasus,
ist nicht eher $ [mm] \underbrace{Exp(a)\*\gamma(n,a)}_{Faltung}=\gamma(n+1,a) [/mm] $ gemeint. Dafür stimmt die Formel .
mfg sigma
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Doch anscheinend schon, aber ich kann mich gar nicht erinnern, dass wir das in der Vorlesung hatten. Weißt du dann wieder ansatz lautet?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Fr 19.11.2010 | | Autor: | Damasus |
Also ich mir das nun im Internet angesehen und da wird gesagt:
[mm] $f\*g(x):=\integral_{0}^{x}{f(x-X) *g dx}$
[/mm]
stimmt das? Wenn ja, dann erhalte ich folgendes:
Zunächst [mm] $f(x):=\gamma(1,a)=a*e^{-ax}$ [/mm] und [mm] $g(x):=\gamma(n,a)=\bruch{a^n}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-ax}.
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{x}{f(x-X) *g dx}=\integral_{0}^{x}{a*e^{-a(x-X)} *(\bruch{a^n}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-ax}) dx} [/mm] =
[mm] \bruch{a^{n+1}}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-2ax}*\integral_{0}^{x}{e^{aX}}=\bruch{a^{n+1}}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-2ax}*\bruch{e^{ax}-1}{a}$
[/mm]
So weiter komme ich nicht... Sieht jemand einen Fehler oder den nächsten Schritt?
Mfg, Damasus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Sigma |
> Also ich mir das nun im Internet angesehen und da wird
> gesagt:
>
> [mm]f\*g(x):=\integral_{0}^{x}{f(x-X) *g dx}[/mm]
Gefällt mir schonmal nicht. Wo hast du das gefunden?
[mm](f\*g)(x):=\integral_{0}^{x}{f(x-y) *g(y) dy}[/mm]
>
> stimmt das? Wenn ja, dann erhalte ich folgendes:
>
> Zunächst [mm]$f(x):=\gamma(1,a)=a*e^{-ax}$[/mm] und
> [mm]$g(x):=\gamma(n,a)=\bruch{a^n}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-ax}.[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral_{0}^{x}{f(x-X) *g dx}=\integral_{0}^{x}{a*e^{-a(x-X)} *(\bruch{a^n}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-ax}) dx}[/mm]
> =
> [mm]\bruch{a^{n+1}}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-2ax}*\integral_{0}^{x}{e^{aX}}=\bruch{a^{n+1}}{\Gamma(n)}*x^{n-1}*e^{-2ax}*\bruch{e^{ax}-1}{a}$[/mm]
Hier Integrierst du auf einmal nach dX, obwohl du vorher dx geschrieben hast. Setz nochmal alles ordentlich ein mit x und y dann kommt auch das gewünschte Ergebnis. Einfacher wird es mit der charakteristischen Funktion. Dann kann man die Faltung durch Multiplikation der charakteristischen Funktionen durchführen.
>
> So weiter komme ich nicht... Sieht jemand einen Fehler
> oder den nächsten Schritt?
>
> Mfg, Damasus
|
|
|
|
