Gamma-ähnliche Fkt EW & Var < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sind Varianz und Erwartungswert einer ZV mit folgender Dichtefkt zu bestimmen:
x^(b-1) * [mm] Exp(-ax^3)
[/mm]
Hinweis: Verwende die Gamma-Funktion |
Berechne ich nun den Erwatungswert so ist zu lösen:
[mm] \integral_{0}^{\infinity}{x^b * Exp (-ax^3) dx}
[/mm]
laut Wolfram ist das Ergebnis:
1/3 [mm] b*a^{(2-b)/3} [/mm] Gamma [(b+1)/3]
= 1/3 [mm] \integral_{0}^{\infinity}{b*a^{(2-b)/3} x^{b/3} Exp(-x) dx}
[/mm]
wodurch eine Substitution [mm] x^3=u [/mm] naheliegt
[mm] x^3=u [/mm] du/dx = [mm] 3x^2 [/mm] <=> dx = du / [mm] 3x^2
[/mm]
Also:
1/3 [mm] \integral_{0}^{\infinity}{u^{b/3} / ( e^{au} u^{2/3})du}
[/mm]
jetzt muss man wohl mit gezielter partieller Integration weiterkommen, jedoch rechne ich hier seid 1 Stunde rum und komme dem Ziel nicht näher...
Ich habe diese Frage in folgenden Foren inzwischen ebenfalls gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=438087
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Do 09.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi wwf,
bei [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^b*e^{-a*x^3} dx} [/mm] substituiere [mm] u=a*x^3 [/mm] und bringe den Integranden in die Form der ![[]](/images/popup.gif) Gammafunktion.
LG walde
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:08 Do 09.12.2010 | | Autor: | wwfsdfsdf2 |
[mm] ax^3=u [/mm] du/dx = [mm] a3x^2 [/mm] <=> dx = du / [mm] a3x^2
[/mm]
Also:
1/3 [mm] \integral_{0}^{\infinity}{\bruch{u^{b/3}*a}{a * e^{u} * a * u^{2/3}} du}
[/mm]
jeweils 1 a zum ausgleich für das mit dem u hinzugefügte.
= 1/3 [mm] \integral_{0}^{\infinity}{\bruch{u^{(b-2)/3}*e^{-u}} {a } du}
[/mm]
nun ist allerding (b-2)/3 Exponent des u's, nicht des b's [müsste ja auch 2-b sein nicht b-2) und da a steht im Nenner?!
und wenn ich das richtig sehe, kann ich die Partielle Integration nicht zum Ende bringen. Die e-Fkt gibt doch immer wieder neue e-Fkt und das u kann ich nicht wegintegrieren, ohne b festzulegen ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Do 09.12.2010 | | Autor: | Walde |
> [mm]ax^3=u[/mm] du/dx = [mm]a3x^2[/mm] <=> dx = du / [mm]a3x^2[/mm]
>
> Also:
>
> 1/3 [mm]\integral_{0}^{\infinity}{\bruch{u^{b/3}*a}{a * e^{u} * a * u^{2/3}} du}[/mm]
>
> jeweils 1 a zum ausgleich für das mit dem u
> hinzugefügte.
>
> = 1/3 [mm]\integral_{0}^{\infinity}{\bruch{u^{(b-2)/3}*e^{-u}} {a } du}[/mm]
>
> nun ist allerding (b-2)/3 Exponent des u's, nicht des b's
> [müsste ja auch 2-b sein nicht b-2) und da a steht im
> Nenner?!
>
> und wenn ich das richtig sehe, kann ich die Partielle
> Integration nicht zum Ende bringen. Die e-Fkt gibt doch
> immer wieder neue e-Fkt und das u kann ich nicht
> wegintegrieren, ohne b festzulegen ?!
Ich glaube bei dir fehlt der Exponent von a:
Mit [mm] u=a*x^3 [/mm] (bzw. [mm] x^3=\bruch{u}{a}) [/mm] wird aus
[mm] \integral_{0}^{\infty}{x^b*e^{-a*x^3} dx}=\integral_{0}^{\infty}{x^b*e^{u}*\bruch{1}{3a*x^2} du}=\bruch{1}{3a}\integral_{0}^{\infty}{x^{b-2}*e^{-u} du}=\bruch{1}{3a}\integral_{0}^{\infty}{(x^3)^\bruch{b-2}{3}*e^{-u} du}=\bruch{1}{3a}\integral_{0}^{\infty}{(\bruch{u}{a})^\bruch{b-2}{3}*e^{-u} du}=\bruch{1}{3a^\bruch{b+1}{3}}\integral_{0}^{\infty}{u^{\bruch{b+1}{3}-1}*e^{-u} du}=\bruch{1}{3a^\bruch{b+1}{3}}\Gamma(\bruch{b+1}{3})
[/mm]
Ich sehe grad keinen Fehler. Kannst du mir nochmal angeben, wo du die Lösung her hast, dass ich selbst mal nachschauen kann. Oder schreib sie nochmal schöner auf, bitte.
LG walde
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Das Ergebnis stimmt! Quelle war Wolfram, aber muss wohl ein Tippfehler drin gewesen sein.
Meine Substitution war schlichtweg falsch, denn
[mm] \bruch{u^{b/3}}{a} [/mm] = [mm] \bruch{(ax^{3})^{b/3}}{a} [/mm] = [mm] \bruch{(ax)^{b}}{a} [/mm] = [mm] a^{b-1} [/mm] * [mm] x^{b} \not= x^{b}
[/mm]
vielen Dank nochmal! Kann ich das hier irgendwie Umwandeln, da es ja eigentlich keine Frage ist.
Und könntest du mir bei meinem 3. Thread freundlicher Weise auch noch helfen?
https://matheraum.de/read?t=747175
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Walde |
Ok, dann hats ja geklappt :)
Ich glaube, als Fragesteller hat man irgendwo einen Knopf um die Frage umzuwandeln oder auf "Beantwortet" zu stellen, aber wo, weiss ich jetzt auch nicht. Hab mir das Andere mal angekuckt und was geschrieben.
LG walde
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wo kommt bei dir im vorletzten schritt das 1/u plötzlich her?!
btw: im 2. Schritt hast du das - in [mm] e^{-u} [/mm] vergessen.
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Hallo,
> wo kommt bei dir im vorletzten schritt das 1/u plötzlich
> her?!
Es ist [mm]\left(\frac{u}{a}\right)^{\frac{b-2}{3}}=\frac{u^{\frac{b-2}{3}}}{a^{\frac{b-2}{3}}}[/mm]
Den Faktor [mm]\frac{1}{a^{\frac{b-2}{3}}}[/mm] kann man vor das Integral ziehen und mit dem [mm]\frac{1}{3a}=\frac{1}{3a^{\frac{3}{3}}}[/mm] verrechnen zu [mm]\frac{1}{3a^{\frac{3}{3}+\frac{b-2}{3}}}=\frac{1}{3a^{\frac{b+1}{3}}}[/mm]
Im Integral bleibt [mm]u^{\frac{b-2}{3}}=u^{\frac{b-2\red{+3-3}}{3}}=u^{\frac{(b+1)-3}{3}}=u^{\frac{b+1}{3}-1}[/mm]
>
> btw: im 2. Schritt hast du das - in [mm]e^{-u}[/mm] vergessen.
Ja! Tippfehler, steht aber dann wieder richtig da ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:36 Fr 10.12.2010 | | Autor: | wwfsdfsdf2 |
ja, ist mir dann aufm Weg zur Uni auch aufgefallen, dennoch danke :)
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