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| Aufgabe | Sei K:= [mm] \IQ [/mm] und L der Zerfällungskörper des Polynoms
f = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 5x^{2} [/mm] +6 über K.
Bestimmen Sie die Zwischenkörper und geben Sie ein primitives Element [mm] \alpha [/mm] aus L an, so dass L = K [mm] (\alpha) [/mm]
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Hallo!
Ich bins nochmal......
Also, das Polynom f kann ich umschreiben zu f = [mm] (x^{2} [/mm] - 2) [mm] (x^{2}-3)
[/mm]
und der Zerfällungskörper L ist also L = [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{2} [/mm] ) [mm] (\wurzel{3})
[/mm]
Ich dachte, ich könnte die Zwischenkörper einfach bestimmen, indem ich die jeweiligen Nullstellen adjungiere, d.h. einmal [mm] H_1 [/mm] = [mm] \IQ (\wurzel{2} [/mm] ) ,
[mm] H_2 [/mm] = [mm] \IQ (\wurzel{3}) [/mm] und dann noch [mm] \IQ [/mm] und L selbst..
Habe jetzt aber in der Musterlösung stehen, dass zu den Zwischenkörper neben den beiden ersten nur noch [mm] \IQ (\wurzel{6}) [/mm] gehört.
Aber ich brauche doch vier Zwischenkörper oder?
Als primitives Element wurde [mm] \wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3} [/mm] gewählt, wie komme ich darauf?
Vielen Dank für eure Hilfe;
Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:48 Do 12.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia
> Sei K:= [mm]\IQ[/mm] und L der Zerfällungskörper des Polynoms
> f = [mm]x^{4}[/mm] - [mm]5x^{2}[/mm] +6 über K.
>
> Bestimmen Sie die Zwischenkörper und geben Sie ein
> primitives Element [mm]\alpha[/mm] aus L an, so dass L = K [mm](\alpha)[/mm]
>
>
> Hallo!
>
> Ich bins nochmal......
> Also, das Polynom f kann ich umschreiben zu f = [mm](x^{2}[/mm] -
> 2) [mm](x^{2}-3)[/mm]
> und der Zerfällungskörper L ist also L = [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{2}[/mm]
> ) [mm](\wurzel{3})[/mm]
Genau.
> Ich dachte, ich könnte die Zwischenkörper einfach
> bestimmen, indem ich die jeweiligen Nullstellen adjungiere,
> d.h. einmal [mm]H_1[/mm] = [mm]\IQ (\wurzel{2}[/mm] ) ,
> [mm]H_2[/mm] = [mm]\IQ (\wurzel{3})[/mm] und dann noch [mm]\IQ[/mm] und L selbst..
Das sind zwar Zwischenkoerper, aber dass sie verschieden sind musst du dir noch ueberlegen.
> Habe jetzt aber in der Musterlösung stehen, dass zu den
> Zwischenkörper neben den beiden ersten nur noch [mm]\IQ (\wurzel{6})[/mm]
> gehört.
Genau.
> Aber ich brauche doch vier Zwischenkörper oder?
Wie kommst du dadrauf?
Die Galoisgruppe von $L$ ueber $K$ ist isomorph zu [mm] $\IZ_2 \times \IZ_2$, [/mm] also der kleinschen Vierergruppe. Die Zwischenkoerper entsprechen nun genau den Untergruppen der Galoisgruppe.
Und diese Gruppe hat neben den beiden trivialen Untergruppen genau drei weitere, erzeugt durch $(1, 0)$, $(0, 1)$ und $(1, 1)$.
Die Galoisgruppe kann ja beliebig [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] mit [mm] $-\sqrt{2}$ [/mm] und/oder [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] mit [mm] $-\sqrt{3}$ [/mm] tauschen.
Du erhaelst also vier Automorphismen:
1) die Identitaet;
2) [mm] $\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}$, $\sqrt{3} \mapsto \sqrt{3}$;
[/mm]
3) [mm] $\sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}$, $\sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}$ [/mm] und
4) [mm] $\sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}$, $\sqrt{3} \mapsto -\sqrt{3}$.
[/mm]
Die nicht-trivialen Untergruppen (die zu [mm] $H_1, H_2, H_2$ [/mm] korrespondieren) werden jeweils von 2), 3) bzw. 4) erzeugt. Bei 2) wird [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] festgehalten, womit [mm] $\IQ(\sqrt{3})$ [/mm] der Fixkoerper ist. Analog ist bei 3) [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] der Fixkoerper.
Bei 4) wird [mm] $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}$ [/mm] festgehalten. Und tatsaechlich erzeugt [mm] $\IQ(\sqrt{2} \cdot \sqrt{3})$ [/mm] einen echten Zwischenkoerper, womit dieser der Fixkoerper sein muss (da es drunter oder drueber keinen mehr gibt).
> Als primitives Element wurde [mm]\wurzel{2}[/mm] + [mm]\wurzel{3}[/mm]
> gewählt, wie komme ich darauf?
Kennst du den Satz vom primitiven Element? Schau dir mal den Beweis an... Daraus erkennst du sofort, dass [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] ein Kanidat ist: dass es wirklich ein Erzeuger ist muss man allerdings noch nachpruefen: etwa ist [mm] $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{2 - 3} [/mm] = [mm] \sqrt{3} [/mm] - [mm] \sqrt{2}$. [/mm] Wenn du da [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] hinzuaddierst, kommt $2 [mm] \sqrt{2}$ [/mm] raus, womit [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] im Koerper liegt und damit auch [mm] $\sqrt{3} [/mm] = [mm] (\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}) [/mm] - [mm] \sqrt{2}$.
[/mm]
LG Felix
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Hallo Felix!
Vielen Dank erstmal. Zu meinem Denkfehler, dass es vier Zwischenkörper geben müsste: Die Ordnung einer Körpererweiterung [L/K], die ja hier vier war,entspricht ja der Ordnung der Galoisgruppe G = G (L/K) nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie. Und ich dachte, dass die Anzahl der Zwischenkörper isomorph zu der Ordnung der Galoisgruppe ist, aber wir haben ja nur eine isomorphe Abbildung zwischen der Anzahl der Zwischenkörpern und den Untergruppen der Galoisgruppe, richtig?
Muss mir das nochmal genau angucken mit dem HS der Galoistheorie, der Zusammenhang ist mir noch nicht ganz klar...
Zum primitiven Element: Sowie ich den Beweis verstanden habe, gibt es nur endlich viele Elemente c aus K, so dass [mm] \alpha [/mm] + [mm] c\beta [/mm] kein primitives Element von K [mm] (\alpha, \beta) [/mm] ist .. Damit gibts sehr viele Möglichkeiten ein primitives Element auszuwählen, aber wie du schon sagst, muss ich dann zeigen, dass man [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] durch den 'potentiellen Erzeuger' darstellen kann. Oder ich berechne das Mipo und vergleiche Grad des Mipos mit Grad der Körpererweiterung....
Ist das so richtig?
Danke nochmal, lg
Julia
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:13 Do 12.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Julia!
> Vielen Dank erstmal. Zu meinem Denkfehler, dass es vier
> Zwischenkörper geben müsste: Die Ordnung einer
> Körpererweiterung [L/K], die ja hier vier war,entspricht ja
> der Ordnung der Galoisgruppe G = G (L/K) nach dem Hauptsatz
> der Galois-Theorie.
Genau.
> Und ich dachte, dass die Anzahl der
> Zwischenkörper isomorph zu der Ordnung der Galoisgruppe
> ist, aber wir haben ja nur eine isomorphe Abbildung
> zwischen der Anzahl der Zwischenkörpern und den
> Untergruppen der Galoisgruppe, richtig?
Genau.
> Muss mir das nochmal genau angucken mit dem HS der
> Galoistheorie, der Zusammenhang ist mir noch nicht ganz
> klar...
Wenn du einen Zwischenkoerper hast, kannst du dir die Automorphismen anschauen die diesen festhalten. Das ergibt eine Untergruppe.
Und wenn du eine Untergruppe von der Automorphismengruppe hast, kannst du dir all die Elemente anschauen die von allen diesen Automorphismen festgehalten werden. Das ergibt dann einen Zwischenkoerper.
> Zum primitiven Element: Sowie ich den Beweis verstanden
> habe, gibt es nur endlich viele Elemente c aus K, so dass
> [mm]\alpha[/mm] + [mm]c\beta[/mm] kein primitives Element von K [mm](\alpha, \beta)[/mm]
> ist .. Damit gibts sehr viele Möglichkeiten ein primitives
> Element auszuwählen,
Genau. Man weiss das es viele gibt die so aussehen. Man weisst halt nur nicht welche davon funktionieren 
> aber wie du schon sagst, muss ich dann
> zeigen, dass man [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] durch den 'potentiellen
> Erzeuger' darstellen kann. Oder ich berechne das Mipo und
> vergleiche Grad des Mipos mit Grad der
> Körpererweiterung....
> Ist das so richtig?
Jap.
In diesem Fall geht es sogar noch einfacher:
es gibt ja den Automorphismus, der [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] auf [mm] $-\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] auf [mm] $\sqrt{3}$ [/mm] abbildet.
Dieser bildet somit [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] auf [mm] $-\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] ab, womit dies auch ein Element vom Koerper ist. Wenn du dies nun zu [mm] $\sqrt{2} [/mm] + [mm] \sqrt{3}$ [/mm] addierst bekommst du sofort $2 [mm] \sqrt{3}$.
[/mm]
Allgemeiner: ist $L/K$ eine Galoiserweiterung und [mm] $\alpha \in [/mm] L$, so ist genau dann $L = [mm] K(\alpha)$, [/mm] wenn es mindestens [mm] $\lfloor\frac{[L : K]}{2} [/mm] + [mm] 1\rfloor$ [/mm] verschiedene Automorphismen aus $Gal(L/K)$ gibt die [mm] $\alpha$ [/mm] auf jeweils andere Elemente abbilden. (Du kannst 2 auch durch den kleinsten Primteiler von $[L : K]$ ersetzen :) )
Oder etwas spezieller: ...wenn [mm] $\{ \sigma(\alpha) \mid \sigma \in Gal(L/K) \}$ [/mm] genau $[L : K]$ Elemente hat. In dem Fall ist das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] durch [mm] $\prod_{\sigma \in \Gal(L/K)} [/mm] (x - [mm] \sigma(\alpha)) \in [/mm] K[x]$ gegeben.
(Sobald du einen nicht-trivialen Automorphismus [mm] $\sigma$ [/mm] findest, der [mm] $\alpha$ [/mm] auf sich selber abbildet, so liegt [mm] $\alpha$ [/mm] in dem Fixkoerper der Untergruppe die von [mm] $\sigma$ [/mm] erzeugt wird. Da [mm] $\langle \sigma \rangle$ [/mm] nicht nur aus dem Neutralelement besteht, ist der Fixkoerper ein echter Unterkoerper von $L$: damit kann nicht $L = [mm] K(\alpha)$ [/mm] sein.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Do 12.02.2009 | | Autor: | BieneJulia |
Hallo!
Danke nochmal, jetzt ist das schon mal ein wenig klarer
Schönen Tag noch,
liebe Grüße,
Julia
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