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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 08.02.2005 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich hab folgende Aufgabe zu lösen:
Ist [mm] \IQ( \wurzel[3]{2}): \IQ [/mm] normal, separabel, galoissch?
Mein Ansatz:
separabel: ja, da die Charakteristik von [mm] \IQ [/mm] 0 ist.
galoisch: ja, wenn es noch normal ist.
Ich weiß also nicht, wie man rausbekommt, ob es normal ist oder nicht
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:14 Di 08.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
nimm mal an die erweiterung wäre normal. dann müsste jedes über [m] \mathbb{Q} [/m] irreduzible polynom [m] f \in \mathbb{Q}[X] [/m], dass in [m] \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}) [/m] eine nullstelle hat vollständig in linearfaktoren zerfallen. tut dies z.b. das polynom [m] f := X^3 - 2 [/m], das über [m] \mathbb{Q} [/m] nach eisensteien irreduzibel ist? bedenke [m] \mathbb{Q} (\sqrt[3]{2}) \subset \mathbb{R} [/m]!
irgendwelche vorschläge?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 08.02.2005 | | Autor: | cloe |
Die Nullstellen von [mm] f:=x^{3}-2 [/mm] wären 2, -2 und +-i und +-i ist elemet der Komplexen Zahlen. Also ist es nicht normal.
Ist meine Theorie richtig oder bin ich auf dem Holzweg????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Di 08.02.2005 | | Autor: | andreas |
hi
die grundsätzliche idee ist schon richtig, nur die nullstellen leider grottenfalsch: setze doch mal $i$ in [mm] $X^3 [/mm] - 2$ ein, da kommt nie und nimmer null raus, also kann $i$ bestimmt keine nullstelle sein (die anderen von dir angegeben übrigens auch nicht. auch darf es nur 3 nullstellen geben, da das polynom nur grad 3 hat)!
stelle doch [m]2[/m] mal in polarkoordinaten, also als [m]2 = 2 \exp (2 k \pi i) [/m] ([m] k \in \mathbb{Z} [/m]) dar und probiere die drei nullstellen zu bestimmen!
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 Di 08.02.2005 | | Autor: | cloe |
Ups! Vertan, vertan, sprach der Hahn und stieg von der Ente 
Danke, jetzt hab ich es verstanden.
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