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| Aufgabe | Sei k ein Körper, der keine Galois-Erweiterung vom Grad 3 hat. Kann k dann eine Galoiserweiterung vom Grad 225 haben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Hallo an Alle!
Angenommen [L / k] = 225 Galoiserweiterung, dann gebiet es eine Galoisgruppe mit | Gal (L/k) | = 225 = [mm] 5^2* 3^2
[/mm]
Sei [mm] s_{3} [/mm] die Anzahl der 3-Sylow und [mm] s_{5} [/mm] die Anzahl der 5 Sylow.
Nach Sylow ist [mm] s_{3} [/mm] = 1 oder 25 und [mm] s_{5} [/mm] = 1. Daraus folgt die 5 Sylow ist Normalteiler.
Falls [mm] s_{3} [/mm] =1 wäre, wären wir fertig, da dann die Galoisgruppe das direkte Produkt der 5 Sylow und der 3 Sylow wäre und daher insbesondere abelsch wäre. Daraus folgt, dass es zu jedem Teiler der Gruppenordnung mindestens eine Untergruppe gibt, die auch Normalteiler ist.
Insbesondere gibt es in der Galoisgruppe dann einen Normalteiler der Ordnung 75 und nach dem 1. Hauptsatz der Galoistheorie gibt es damit auch einen Zwischenkörper K mit [K/k] = 3 und galoisch.
zu zeigen bleibt nun, dass [mm] s_{3} [/mm] = 1 ist
Angenommen [mm] s_{3} [/mm] = 25
Sei [mm] U_{3} [/mm] eine Untergruppe der Ordnung 9 und [mm] N_{5} [/mm] der Normalteiler der Ordnung 25.
Gal (L/k) [mm] \cong N_{5} \times_{\gamma} U_{3} [/mm] (semidirektes Produkt)
[mm] \gamma: U_{3} \mapsto Aut(N_{5})
[/mm]
Sei zunächst [mm] N_{5}\cong \IZ_{25}
[/mm]
[mm] |Aut(IZ_{25})|= [/mm] 20
[mm] |\gamma (U_{3})| [/mm] muss die Ordnung von [mm] Aut(IZ_{25}) [/mm] und von [mm] U_{3} [/mm] teilen. Daraus folgt die Ordnung des Bildes von [mm] U_{3} [/mm] ist 1 und somit existiert nur der triviale Homomorphismus. Damit ist Gal(L/k) [mm] \cong \IZ_{25}\times U_{3} [/mm] und damit abelsch. Daraus folgt [mm] U_{3} [/mm] ist Normalteiler und [mm] s_{3} [/mm] =1
Sei nun [mm] N_{5}\cong \IZ_{5}\times \IZ_{5}
[/mm]
[mm] |Aut(\IZ_{5}\times \IZ_{5})|= [/mm] 480
Hier komm ich nun nicht mehr weiter da das Bild von [mm] U_{3} [/mm] sowohl die Ordnung 1 als auch die Ordnung 3 haben kann. Damit gibt es also einen nicht trivialen Homomorphismus der das semidirekte Produkt erzeugt.
Ich bin mir nicht ganz sicher aber ich denke ich brauche in [mm] Aut(\IZ_{5}\times \IZ_{5}) [/mm] eine Untergruppe der Ordnung 9 und somit eine Isomorphismus von [mm] U_{3} [/mm] auf eine Untergruppe der Ordnung 9. Da aber 480 nicht durch 9 teilbar ist gibt es keine solche Untergruppe.
Damit wären wir wieder fertig.
Weitere Gruppen der Ordnung 25 gibt es nicht und somit ist [mm] s_{3} [/mm] =1
Wäre echt dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte!!!
Lg Susanna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Mi 19.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
mir ist etwas unklar, wie du auf [mm] $|\textrm{Aut}(\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5)| [/mm] = 480$ kommst?
grüße
abdreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:58 Mi 19.12.2007 | | Autor: | statler |
Hi Andreas!
> mir ist etwas unklar, wie du auf [mm]|\textrm{Aut}(\mathbb{Z}_5 \times \mathbb{Z}_5)| = 480[/mm]
> kommst?
Vermutlich auf dem Umweg über die lineare Algebra, [mm] \IZ_{5} \times \IZ_{5} [/mm] ist nebenbei auch ein 2dimensionaler [mm]\IZ_{5}[/mm]-Vektorraum. Die Gruppenautom. sind dann die VR-Automorphismen, für den 1. Basisvektor gibt es 24 Mögl., für den 2. dann noch 20.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:24 Do 20.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei k ein Körper, der keine Galois-Erweiterung vom Grad 3
> hat. Kann k dann eine Galoiserweiterung vom Grad 225
> haben?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo an Alle!
>
> Angenommen [L / k] = 225 Galoiserweiterung, dann gebiet es
> eine Galoisgruppe mit | Gal (L/k) | = 225 = [mm]5^2* 3^2[/mm]
>
> Sei [mm]s_{3}[/mm] die Anzahl der 3-Sylow und [mm]s_{5}[/mm] die Anzahl der 5
> Sylow.
>
> Nach Sylow ist [mm]s_{3}[/mm] = 1 oder 25 und [mm]s_{5}[/mm] = 1. Daraus
> folgt die 5 Sylow ist Normalteiler.
>
> Falls [mm]s_{3}[/mm] =1 wäre, wären wir fertig, da dann die
> Galoisgruppe das direkte Produkt der 5 Sylow und der 3
> Sylow wäre und daher insbesondere abelsch wäre. Daraus
> folgt, dass es zu jedem Teiler der Gruppenordnung
> mindestens eine Untergruppe gibt, die auch Normalteiler
> ist.
> Insbesondere gibt es in der Galoisgruppe dann einen
> Normalteiler der Ordnung 75 und nach dem 1. Hauptsatz der
> Galoistheorie gibt es damit auch einen Zwischenkörper K mit
> [K/k] = 3 und galoisch.
Du willst also zeigen, dass es einen Normalteiler von Index 3 gibt. Aber das geht auch viel einfacher, als mehr zu versuchen ueber die Gruppe herauszufinden! Du hast gezeigt, dass es einen Normalteiler der Ordnung [mm] $5^2$ [/mm] gibt (die $5$-Sylow-Untergruppe), bezeichnen wir ihn mit $N$. Dann ist $|G/N| = [mm] 3^2$, [/mm] also das Quadrat einer Primzahl, und somit ist $G/N$ abelsch. Das heisst, es gibt in $G/N$ einen Normalteiler $N'$ mit $|N'| = 3$. Nun ist $N'$ von der Form $N''/N$ fuer einen Normalteiler $N''$ von $G$ mit $N [mm] \subseteq [/mm] N''$, und $(G/N)/N' = (G/N)/(N''/N) [mm] \cong [/mm] G/N''$ hat drei Elemente, womit $N''$ ein Normalteiler von $G$ mit Index 3 ist.
(Hier hab ich das Korrespondenzprinzip angewandt, was eine Korrespondenz zwischen den Untergruppen von $G$, die $N$ enthalten, und den Untergruppen von $G/N$ ergibt, die Normalteiler erhaelt. Das wird oefter auch als Homomorphiesatz (mit-)bezeichnet.)
LG Felix
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Ok, deine Lösung verstehe ich schon. Aber trotzdem würde mich interessieren , wie ich bei meiner Lösung weiter komme.
Lg Susanna
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Sa 22.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Susanna2 |
Kann es sein, dass Homomorphismen Untergruppen immer auf Untergruppen der gleichen Ordnung abbilden?
Lg Susanna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:10 Sa 29.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanna
> Kann es sein, dass Homomorphismen Untergruppen immer auf
> Untergruppen der gleichen Ordnung abbilden?
Im Allgemeinen stimmt das nur bei injektiven Homomorphismen. Andernfalls gilt nur, dass [mm] $|\varphi(U)|$ [/mm] ein Teiler von $|U|$ ist (das folgt aus dem Homomorphiesatz und dem Satz von Lagrange).
Wenn man jetzt allerdings weiss, dass $U$ z.B. keinen Normalteiler der Groesse $k$ enthaelt, dann kann [mm] $|\varphi(U)|$ [/mm] nicht $|U|/k$ sein. (Manchmal reicht das schon aus.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Sa 29.12.2007 | | Autor: | Susanna2 |
Hallo Felix,
ist es dann evtl. so, dass man für ein semidirektes Produkt immer einen injektiven Homomorphismus brauch?
Ich habe bei einer Aufgabe, die wir in der Algebraübung gemacht haben als Lösung gefunden, dass
[mm] \phi: [/mm] U [mm] \mapsto [/mm] Aut (N) ein Isomorphismus auf eine Untergruppe von Aut(N) ist
Lg Susanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Sa 29.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Susanna
> ist es dann evtl. so, dass man für ein semidirektes Produkt
> immer einen injektiven Homomorphismus brauch?
Ich denke nicht; wenn z.B. der Homomorphismus alles auf die Identitaet abbildet, dann ist das semidirekte Produkt gerade gleich dem dirkten Produkt. Aber es ist immer noch auch ein semidirektes Produkt.
> Ich habe bei einer Aufgabe, die wir in der Algebraübung
> gemacht haben als Lösung gefunden, dass
>
> [mm]\phi:[/mm] U [mm]\mapsto[/mm] Aut (N) ein Isomorphismus auf eine
> Untergruppe von Aut(N) ist
Es kann natuerlich passieren, dass fuer ein konkretes semidirektes Produkt der Homomorphismus injektiv ist. Aber im Allgemeinen muss er das nicht sein.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 24.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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