Galoisgruppe, Diskriminante < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also ich versuche die Galoisgruppe von f über [mm] \IF_{5} [/mm] mit [mm] f=X^3+3X+1 [/mm] mithilfe der Diskriminante zu bestimmen.
Es gilt ja [mm] \Delta =-4*3^3-27*1^2=-135=0
[/mm]
Dann wäre aber [mm] \delta= [/mm] 0 und eigentlich kann doch [mm] \delta [/mm] nicht null werden,
weil [mm] \delta :=\produkt_{1\le i
Wo liegt der Fehler ?
Würde mich über eure Hilfe freuen. Danke !
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Sa 13.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian
> also ich versuche die Galoisgruppe von f über [mm]\IF_{5}[/mm] mit
> [mm]f=X^3+3X+1[/mm] mithilfe der Diskriminante zu bestimmen.
> Es gilt ja [mm]\Delta =-4*3^3-27*1^2=-135=0[/mm]
> Dann wäre aber
> [mm]\delta=[/mm] 0 und eigentlich kann doch [mm]\delta[/mm] nicht null
> werden,
> weil [mm]\delta :=\produkt_{1\le i
> ungleich 0 ist (wobei [mm]a_{1},...a_{n}[/mm] die Nullstellen von f
> sind).
>
> Wo liegt der Fehler ?
Nun, das Polynom koennte ja mehrfache Nullstellen haben. Also hat es auch, wenn deine Diskriminante stimmt. In dem Fall folgt daraus jedoch schon, dass alle drei Nullstellen in [mm] $\F_5$ [/mm] liegen, da [mm] $\F_5$ [/mm] perfekt ist (also alle algebraischen Erweiterungen separabel sind): die mehrfache Nullstelle kann naemlich nicht Nullstelle eines irreduziblen Polynoms vom Grad $> 1$ sein, ansonsten muesste der Grad von $f$ mindestens 4 sein. Also wird $f$ von [mm] $g^2$ [/mm] geteilt mit $g [mm] \in \F_5[x]$, $\deg [/mm] g = 1$, und zerfaellt somit komplett in Linearfaktoren.
Die Galoisgruppe ist damit insbesondere trivial.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 14.12.2008 | | Autor: | Fry |
Hi Felix,
vielen Dank für die Mühe.
Hab noch ein paar Fragen.
> Nun, das Polynom koennte ja mehrfache Nullstellen haben.
> Also hat es auch, wenn deine Diskriminante stimmt. In dem
> Fall folgt daraus jedoch schon, dass alle drei Nullstellen
> in [mm]\F_5[/mm] liegen, da [mm]\F_5[/mm] perfekt ist (also alle
> algebraischen Erweiterungen separabel sind): die mehrfache
> Nullstelle kann naemlich nicht Nullstelle eines
> irreduziblen Polynoms vom Grad [mm]> 1[/mm] sein, ansonsten muesste
> der Grad von [mm]f[/mm] mindestens 4 sein.
Warum ? Wo geht hier bei dir eigentlich ein, dass [mm] \IF_{5} [/mm] perfekt ist?
Sorry für die blöden Fragen.
Also wird [mm]f[/mm] von [mm]g^2[/mm]
> geteilt mit [mm]g \in \F_5[x][/mm], [mm]\deg g = 1[/mm], und zerfaellt somit
> komplett in Linearfaktoren.
> Die Galoisgruppe ist damit insbesondere trivial.
Das liegt daran, dass die Nullstellen alle bereits in [mm] \IF_{5} [/mm] liegen und damit
der Zerfällungskörper L von f = K ist und damit Gal(L/K)={id} ?
Ganz andere Frage:
Macht es Sinn die Galoisgruppe eines nicht separablen Polynoms zu bestimmen ? Bei der Definiton wird ja gesagt, dass f separabel sein muss, hab im Inet aber auch schon anderes gelesen.
VG
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 So 14.12.2008 | | Autor: | felixf |
Hi Christian
> > Nun, das Polynom koennte ja mehrfache Nullstellen haben.
> > Also hat es auch, wenn deine Diskriminante stimmt. In dem
> > Fall folgt daraus jedoch schon, dass alle drei Nullstellen
> > in [mm]\F_5[/mm] liegen, da [mm]\F_5[/mm] perfekt ist (also alle
> > algebraischen Erweiterungen separabel sind): die mehrfache
> > Nullstelle kann naemlich nicht Nullstelle eines
> > irreduziblen Polynoms vom Grad [mm]> 1[/mm] sein, ansonsten muesste
> > der Grad von [mm]f[/mm] mindestens 4 sein.
>
> Warum ? Wo geht hier bei dir eigentlich ein, dass [mm]\IF_{5}[/mm]
> perfekt ist?
Wenn [mm] $\F_5$ [/mm] nicht perfekt waere, koennte es irreduzible Polynome ueber [mm] $\IF_5$ [/mm] mit mehrfachen Nullstellen geben. D.h. das Polynom koennte selber irreduzibel sein, oder einen irredizublen Faktor von Grad 2 (mit doppelter Nullstelle) haben.
> > Die Galoisgruppe ist damit insbesondere trivial.
> Das liegt daran, dass die Nullstellen alle bereits in
> [mm]\IF_{5}[/mm] liegen und damit
> der Zerfällungskörper L von f = K ist und damit
> Gal(L/K)={id} ?
Genau.
> Ganz andere Frage:
> Macht es Sinn die Galoisgruppe eines nicht separablen
> Polynoms zu bestimmen ? Bei der Definiton wird ja gesagt,
> dass f separabel sein muss, hab im Inet aber auch schon
> anderes gelesen.
Nun, man kann natuerlich schon die Automorphismengruppe des Zerfaellungskoerpers bestimmen; diese wird jedoch nur durch den separablen Anteil des Polynoms beeinflusst.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mo 15.12.2008 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank!
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