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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:25 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
| Aufgabe | Sei [mm] f(x) = x^4-6x^2+4 \in \IQ[x] [/mm] und sei L Zerfällungskörper von f über [mm] \IQ [/mm].
(a) Berechnen Sie die Galoisgruppe Gal(f).
(b) Wie viele Zwischenkörper K mit [mm] \IQ \subset K \subset L [/mm] gibt es? |
Hallo Leute,
Ich hoffe ihr könnt mir helfen. und zwar suche ich nach einer Art Algorithmus, wie man eine Galoisgruppe berechnen kann.
Hierzu muss ich ja erstmal herausfinden, wieviele Elemente in dieser Galoisgruppe sind. Dies berechne ich durch den Grad der Körpererweiterung. Nur wie bekomme ich den? ich habe ja nur ein Polynom gegeben?!
Und die Zwischenkörper stellt man ja mit diesem Diagramm dar, was ein Ähnlichkeit mit einem Baumdiagramm hat, aber wie komme ich dort auf die einzelnen Einträge?
Wahrscheinlich sind das ganz grundlegende Dinge, die man wissen sollte, aber ich steige da einfach nicht durch....
Vielen Dank für Eure Hilfe,
Katthi
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Guck dir das Polynom genauer an ,du stellst fest der grad ist 4 ,also kann das Polynom höchsten 4 Nullstellen haben über Q ,dann weißt du dass dieses Polynom über C zerfällt ,dann suchst du das kleinste Körper der alle 4 NST hat ,also das Polynom lösen ,dann musst du über die Nullstellen wissen ,welche von den in Q liegen bzw überhaupt in Q liegen ( wichtig für die Körpergradformel)
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Oh man...
Wenn ich die NST berechne, dann ist da aber garkeine von in Q, sind ja mit zwei Wurzeln... Somit muss ich doch Q um zwei NST erweitern, sodass ich dann als Zerfällungskörper [mm] \IQ(\wurzel{3+\wurzel{5}}, \wurzel{3-\wurzel{5}}) [/mm] habe, weil die beiden NST mit dem Minus, sind dann ja auch drin.
Ist das richtig?
Nur wie muss ich dann weitermachen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Sa 16.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh man...
> Wenn ich die NST berechne, dann ist da aber garkeine von
> in Q, sind ja mit zwei Wurzeln... Somit muss ich doch Q um
> zwei NST erweitern, sodass ich dann als Zerfällungskörper
> [mm]\IQ(\wurzel{3+\wurzel{5}}, \wurzel{3-\wurzel{5}})[/mm] habe,
> weil die beiden NST mit dem Minus, sind dann ja auch drin.
> Ist das richtig?
Genau, soweit stimmt es.
> Nur wie muss ich dann weitermachen?
Nun, du kannst jetzt erstmal den Grad dieses Koerpers ueber [mm] $\IQ$ [/mm] bestimmen. Dass der Grad entweder 4 oder 8 ist ist nicht so schwer zu sehen (wenn du den Zwischenkoerper [mm] $\IQ(\sqrt{5})$ [/mm] anschaust). Du musst jetzt nur noch entscheiden, ob er 4 oder 8 ist.
Wenn der Grad 4 ist, dann kannst du [mm] $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ [/mm] als polynomiellen Ausdruck in [mm] $\alpha [/mm] := [mm] \sqrt{3 + \sqrt{5}}$ [/mm] darstellen. Berechne mal [mm] $\alpha^2$ [/mm] und [mm] $\alpha^3$ [/mm] und schaue, ob du [mm] $\sqrt{3 - \sqrt{5}}$ [/mm] als Linearkombination von $1, [mm] \alpha, \alpha^2, \alpha^3$ [/mm] darstellen kannst mit Koeffizienten aus [mm] $\IQ$. [/mm] Wenn das geht, ist [mm] $\sqrt{3 - \sqrt{5}} \in \IQ(\alpha)$ [/mm] und [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] ist der Zerfaellungskoerper, und wenn nicht, dann ist der Grad des Zerfaellungskoerpers gleich 8.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Vielen Dank für deine Antwort.
Ich habe jetzt die Potenzen ausgerechnet, aber wie um Himmels Willen kann man daran sehen ob man daraus ne Linearkombination für [mm] \wurzel{3-\wurzel{5}} [/mm] aufstellen kann?! Mit solchen Wurzeln kann man ja auch nicht rumprobieren... hab ja 4 Koeffizienten, die ich dann wählen muss.
Nehmen wir mal an, der Grad wäre 8. Was sagt mir das dann und wie kann ich dann dadurch sagen, wie die Galoisgruppe aussieht?
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also die Linearkombination ist nicht so wichtig ,aber es hilft dir weiter den Zerfällungskörper besser zu verstehen.(ich glaube dies war seine Absicht)
Kathi du solltest bzw ich rate dir ,deine Vorlesung genauer unter die Lupe zu nehmen.
Du hast in der Vorlesung gelernt dass der Körpergrad von [L:Q]=Der Grad des Minimalpolynom ist =deg m
Du müsstest noch argumentieren warum das polynom f = das Minimalpolynom von f ist .
Guck dir die NST an ,benutzte die separabilität(einfach NST oder mehrfach NST ) und dann hast du deine Körpererweiterungaussage....
Decehakan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Ja da gebe ich dir recht, muss aber auch anders als geplant nen crashkurs machen, da der zweiter Termin, den ich eigentlich wahrnehmen wollte, sich mir einer Examensklausur überschneidet, deshalb fehlen mir da so ein paar Grundlagen ;)
Also die NST hab ich ja bestimmt, welche aber nicht in Q liegen, d.h. das Polynom ist über Q irreduzibel. Da alle NST nur einfach sind, ist das Polynom separabel. Das bedeutet, dass wir eine Galoiserweiterung haben, oder?
Aber wie sieht die Galoisgruppe denn dann aus? Das weiß ich ja jetzt trotzdem nicht. Aahh ich blick nicht durch...
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ja gut argumentiert klappt doch ,
also ist unser Körpergraderweiterung=4
und jetzt guck dir mal Galiogruppe an ,im welchen zusammenhang sie zum Körpergraderweiterung steht.
Decehakan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
Also der Grad der Körpererweiterung gibt und die Anzahl der Elemente der Galoisgruppe. Diese muss also aus 4 Elementen bestehen.
Nun habe ich einmal gefunden, dass man um diese zu bestimmen, die Permutationen der NST angucken soll und einmal wird anhand der Elementenanzahl direkt angegeben, dass es z.B. bei 6 dann die [mm] S_3 [/mm] ist.
Welche Variante ist denn nun anzuwenden? bzw. klappt das mit der Permutation immer?
PS: Danke für die Geduld. Ist mir super wichtig das einmal komplett durchzugehen um es zu verstehen :)
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nicht ganz .
nur bei endlichen Körpererweiterung wie [mm] F_{p} [/mm] gilt die Gleichheit.
Bei Körper deren Charakteristik =0 ist also unendlich große sind
gilt <= .
Also es kann höchstens 4 Elemente geben.
Nun bestimme alle möglichen Automorphishmen also [mm] \alpha \in [/mm] Gal(f)
(wenn du alle hast ,dann kannst du Alle Untergruppen von Gal(f) bestimmen ,hast du alle ihren UG so hast du dann auch alle Zwischenkörper(folgt aus Isomorphismus)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:29 Sa 16.02.2013 | | Autor: | Katthi |
und die Automorphismen sind die Abbildungen, die die NST permutieren, also eine feste NST auf die anderen abbilden kann,oder?
aber wie finde ich die denn??
falls man die hat, kann man damit UG verschiedener Ordnungen aufstellen und daraus dann die Zwischenkörper verschiedener Dimensionen ableiten.
Das ist aber noch nen Wahnsinnsschritt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 19.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:19 Sa 16.02.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also die Linearkombination ist nicht so wichtig ,aber es
> hilft dir weiter den Zerfällungskörper besser zu
> verstehen.(ich glaube dies war seine Absicht)
>
> Du hast in der Vorlesung gelernt dass der Körpergrad von
> [L:Q]=Der Grad des Minimalpolynom ist =deg m
>
> Du müsstest noch argumentieren warum das polynom f = das
> Minimalpolynom von f ist .
Was soll das bedeuten, "Minimalpolynom von $f$"?
Gesucht ist der Zerfaellungskoerper von $f$. Dieser ist $L = [mm] \IQ(\sqrt{3 - \sqrt{5}}, \sqrt{3 + \sqrt{5}})$.
[/mm]
Die beiden Unterkoerper [mm] $IQ(\sqrt{3 - \sqrt{5}})$ [/mm] und [mm] $IQ(\sqrt{3 + \sqrt{5}})$ [/mm] haben beide Grad 4 ueber [mm] $\IQ$. [/mm] Daraus folgt aber noch lange nicht, dass $L$ ebenfalls Grad 4 ueber [mm] $\IQ$ [/mm] hat.
Hier ist es aber trotzdem so :)
Hilfreich dafuer ist vermutlich, dass [mm] $\sqrt{3 \pm \sqrt{5}} [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2} \sqrt{10} \pm \tfrac{1}{2} \sqrt{2}$ [/mm] ist. Daraus folgt $L = [mm] \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{5})$.
[/mm]
LG Felix
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 07:52 Sa 22.06.2013 | | Autor: | juerfgen |
> Hilfreich dafuer ist vermutlich, dass [mm]\sqrt{3 \pm \sqrt{5}} = \tfrac{1}{2} \sqrt{10} \pm \tfrac{1}{2} \sqrt{2}[/mm]
> ist. Daraus folgt [mm]L = \IQ(\sqrt{2}, \sqrt{5})[/mm].
das ist genial!
jürgen
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> Sei [mm]f(x) = x^4-6x^2+4 \in \IQ[x][/mm] und sei L
> Zerfällungskörper von f über [mm]\IQ [/mm].
> (a) Berechnen Sie die Galoisgruppe Gal(f).
> (b) Wie viele Zwischenkörper K mit [mm]\IQ \subset K \subset L[/mm] gibt es?
> Katthi
Zusammenfassend, da die Frage der TE noch offen scheint :
Sei L= [mm]\IQ(\sqrt{2},\sqrt{5}) [/mm] da [mm]\sqrt{3 \pm \sqrt{5}} = \tfrac{1}{2} \sqrt{10} \pm \tfrac{1}{2} \sqrt{2}[/mm] ist.
[mm]x_1 = \tfrac{1}{2} \sqrt{10} + \tfrac{1}{2} \sqrt{2}[/mm]
[mm]x_2 = -\tfrac{1}{2} \sqrt{10} - \tfrac{1}{2} \sqrt{2}[/mm]
[mm]x_3 = \tfrac{1}{2} \sqrt{10} - \tfrac{1}{2} \sqrt{2}[/mm]
[mm]x_4 = -\tfrac{1}{2} \sqrt{10} + \tfrac{1}{2} \sqrt{2}[/mm]
Zwischen L und Q liegen noch [mm]K_1 = \IQ(\sqrt{2})[/mm] und [mm]K_2 = \IQ(\sqrt{5})[/mm].
Der Grad von [mm]\IK_1 / \IQ[/mm] ist 2.
Der Grad von [mm]\IK_2 / \IQ[/mm] ist 2.
Der Grad von [mm]\IL / \IK_1[/mm] ist 2.
Der Grad von [mm]\IL / \IK_2[/mm] ist 2.
Der Grad von [mm]\IL / \IQ[/mm] ist demnach 4.
Es lassen sich alle Nullstellen [mm] \pm\sqrt{3 \pm \sqrt{5}}[/mm] im Zerfällungskörper von f(x) [mm] \IL [/mm] finden.
So ist die Galoisgruppe von Grad 4.
Es kann also nur die Kleinsche Vierergruppe V oder [mm]\IC_4 [/mm] oder [mm]\IZ_2 x \IZ_2[/mm] sein.
Aus der Betrachtung des teilsymmetrischen Polymoms [mm] (x_1 x_3)^2 [/mm] - [mm] (x_2 x_4)^2 [/mm] = 0, das gegen die Permutationen (13), (24) und (13)(24) und gegen keine anderen aus [mm] S_4 [/mm] invariant ist, sehe ich, dass es [mm]\IZ_2 x \IZ_2[/mm] ist.
Das ist kein ganz astreiner Beweis aber es stimmt :)
Jürgen
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