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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 So 30.12.2007 | | Autor: | Manuela |
| Aufgabe | | Sei f(X) ein irreduzibles Polynom. Die Galoisgruppe von f über [mm] \IQ [/mm] habe ungerade Ordnung. Man zeige dass f nur relle Nullstellen hat |
Hallo an Alle!!
Sei L der Zerfällungskörper von f. L über [mm] \IQ [/mm] ist damit eine Galoiserweiterung. Damit ist f seperabel über L und hat somit nur einfache Nullstellen.
Annahme:
Sei nun x eine komplexe Nullstelle von f, also x= a + ib.
Jetzt wollte ich den Grad von [mm] \IQ [/mm] (x) über [mm] \IQ [/mm] ausrechnen und zeigen dass dieser Grad gerade ist und somit ein Zwischenkörper existiert, der eine gerade Ordnung über [mm] \IQ [/mm] hat. Da aber der Grad von L über [mm] \IQ [/mm] ungerade ist, wäre dies nicht möglich.
Leider kann ich nicht zeigen, dass dieser Grad gerade ist.
Ich denke aber dass es irgendwie damit zusammenhängt, dass wenn x Nusllstelle von f ist ist auch die konjugiert Komplexe eine Nullstelle.
Stimmen meine Überlegungen soweit?
Lg Manuela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mo 31.12.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Manuela
Besitzt das Polynom nicht komplexe Nullstelle, so ist [mm] $\sigma= \mathrm{komplexe\ Konjugation}$ [/mm] ein Element der Galoisgruppe(!) und da [mm] $\sigma$ [/mm] als Gruppenelement die Ordnung 2 hat und diese Zahl die Gruppenordnung teilt muss die Gruppenordnung gerade sein.
mfG Moudi
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