Galoisgr., semidirektes Prod. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:55 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Sei p prim. Bestimme die Galoisgruppe des Polynoms $f=X^6-p \in \IQ[X]$ |
Hallo,
bei der Aufgabe haben sich einige Fragen ergeben. Darüber hinaus wüsste ich gerne, ob mein Vorgehen richtig ist. Ich habe versucht alles ganz kleinschrittig zu begründen.
Sei $\zeta$ 6-te Einheitswurzel und $a=\sqrt[6]{p}$. Dann sind die Nullstellen von $f\:$ in $\IC$ gegeben durch: $a, \zeta a, \ldots, \zeta^5 a$.
Bezeichne $L\:$ den Zerfällungskörper von $f\:$ über $\IQ$. Die Erweiterung $L/\IQ$ ist dann natürlich normal und auch separabel, da $char\: \IQ = 0$, also $L/\IQ$ galoissch.
Nach Eisenstein ist $f\:$ irreduzibel in $\IQ[X] \Rightarrow$ da $a\:$ Nullstelle von $f\:$ ist: $f = min_{\IQ}(a) \Rightarrow [\IQ(a):\IQ]=6$.
Es gilt außerdem: $[\IQ(\zeta):\IQ] = \varphi(6) = 2 \Rightarrow [\IQ(\zeta,a):\IQ(a)] \leq 2$. Damit folgt, da $\zeta$ als echt komlpexe Zahl nicht in $\IQ(a) \subset \IR$ liegt: $[\IQ(\zeta,a):\IQ(a)] = 2$ und somit (wegen $\IQ(\zeta,a)=L$): $[L:\IQ] = [L:\IQ(a)][\IQ(a):\IQ] = 2 \cdot 6 = 12$.
Daraus ergibt sich dann auch: $[L:\IQ(\zeta)] = 6$. Da außerdem $\IQ(\zeta)/\IQ$ bekanntermaßen galoissch ist, erhalten wir folgende Inklusionskette von Körpern, wobei alle Erweiterungen galoissch sind: $\IQ \subset \IQ(\zeta) \subset L$.
Für die Struktur der Galoisgruppen gilt: $Gal(\IQ(\zeta)/\IQ) \cong (\IZ/6\IZ)^{\times} \cong \IZ/2\IZ$. Die Gruppe wird erzeugt von $\sigma: \zeta \mapsto \zeta^5$ (der komplexen Konjugation).
In $Gal(L/\IQ(\zeta))$ hat der Automorphismus $\tau: a \mapsto a\zeta$ Ordnung 6 und erzeugt somit bereits die ganze Gruppe. Es gilt daher: $Gal(L/\IQ(\zeta)) \cong \IZ/6\IZ$
$\sigma \in Gal(L/\IQ(\zeta))$ ist insbesondere auch ein $\IQ$-Automorphismus von $L\:$. Damit ist die Inklusion $i: Gal(L/\IQ(\zeta)) \hookrightarrow Gal(L/\IQ)$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus.
Für $\sigma \in Gal(L/K)$ ist die Einschränkung $\sigma|_{\IQ(\zeta)}$ stets ein $\IQ$-Automorphismus von $\IQ(\zeta)$, denn, da $\IQ(\zeta)/\IQ$ normal ist, beschränkt sich auch das Bild der Einschränkung auf $\IQ(\zeta)$.
Andererseits lässt sich jeder $\IQ$-Automorphismus $\sigma$ von $\IQ(\zeta)$ zu einem $\IQ$-Automorphismus von $L\:$ fortsetzen. Dieser liegt dann in $Gal(L/\IQ)$. Also ist die Abbildung $\pi: Gal(L/K) \twoheadrightarrow Gal(\IQ(\zeta)/\IQ)$ surjektiv.
Es gilt weiterhin für einen $\IQ$-Automorphisums von $L\:$: $\sigma \in im\:i \gdw \sigma|_{\IQ(\zeta)} = id \gdw \sigma \in ker\: \pi$. Also gilt $im\: i = ker\: \pi$.
Damit ist die Sequenz $1 \to Gal(L/\IQ(\zeta)) \xrightarrow{i} Gal(L/\IQ) \xrightarrow{\pi} Gal(\IQ(\zeta)/\IQ) \to 1$ exakt.
Wir untersuchen nun, ob diese Sequenz spaltet. Wir suchen eine Abbildung $s: Gal(\IQ(\zeta)/\IQ) \to Gal(L/\IQ)$, sodass $\pi \circ s = id$. $Gal(\IQ(\zeta)/\IQ)$ wird erzeugt von $\sigma: \zeta \mapsto \zeta^5$, was der auf $\IQ(\zeta)$ eingeschränkten komplexen Konjugation entspricht. Bezeichen $\overline{\sigma}$ die komplexe Konjugation in $L\:$, dann gilt auch $\overline{\sigma} \in Gal(L/\IQ)$. Wir setzten $s: \sigma \mapsto \overline{\sigma}$. Damit gilt natürlich: $\pi \circ s = id$. Die Sequenz spaltet also, und es gilt somit $Gal(L/\IQ) \cong Gal(L/\IQ(\zeta)) \rtimes_\phi Gal(\IQ(\zeta)/\IQ)$.
Dabei ist $\phi$ ein Homomorphismus $Gal(\IQ(\zeta)/\IQ) \to Aut(Gal(L/\IQ(\zeta)), \sigma \mapsto \gamma_\sigma$ mit $i(\gamma_\sigma(\tau)) = s(\sigma)i(\tau)s(\sigma)^{-1}$.
Es ist klar, dass $\phi(id) = ((a \mapsto a\zeta) \mapsto (a \mapsto a\zeta))$, d.h. alle Galoisautomorphismen werden wieder auf sich selbst abgebildet.
Sei $\sigma \in Gal(\IQ(\zeta)/\IQ)$ die komplexe Konjugation, $\tau \in Gal(L/\IQ(\zeta)): a \mapsto a\zeta$, dann ist $\gamma_\sigma(\tau) = s(\sigma)\tau s(\sigma) = \overline{\sigma}\tau\overline{\sigma} = (a \mapsto a\zeta^5)$ mit der komplexen Konjugation $\overline{\sigma}$ auf ganz $L\:$.
Nun wissen wir aber bereits, dass ja $Gal(\IQ(\zeta)/\IQ) \cong \IZ/2\IZ$ und $Gal(L/\IQ(\zeta)) \cong \IZ/6\IZ$. Damit ist $Gal(L/\IQ) \cong \IZ/6\IZ \rtimes_{\tilde{\phi}} \IZ/2\IZ$. Wir wollen nun noch verstehen, was die Abbildung $\tilde{\phi}}$ hier tut: $\tilde{\phi}: \IZ/2\IZ \to Aut(\IZ/6\IZ), x \mapsto \gamma_x$ mit $\gamma_0(a) = id$ und $\gamma_1(a): 1 \mapsto 5$, da 5 dies die einzige Möglichkeit ist eine Abbildung der Ordnung 2 zu erhalten, es gilt nämlich: $\gamma_1(a):5 \mapsto 25=1$.
So, stimmt das alles erstmal soweit? Kann man für die Gruppe noch eine konkretere From angeben?
Dann hätte ich noch einige Fragen: Woher weiß ich eigentlich, dass ich zum Berechnen einer Galoisgruppe eine solche Gruppenerweiterung betrachten muss? Ich brauche ja einen Zwischenkörper, der galoissch über dem Grundkörper ist. Aber ich weiß trotzdem nicht, wie ich das sehen kann.
Muss ich zum semidirekten Produkt immer die Abbildung $\phi: H \to Aut(N)$ mit angeben, damit klar ist, wie die Struktur der Gruppe ist?
Kennt jemand noch ein anderes Beispiel für eine Erweiterung, deren Galoisgruppe ein semidirektes Produkt ist? Dann könnte ich das zur Übung mal durchrechnen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
|
|
| |
|
Hallo Lippel,
das stimmt soweit.
Die Gruppe heißt [mm] D_{6} [/mm] und ist die Drehgruppe mit 12 Elementen. Du kannst sie Dir auch nun hinschreiben, indem Du ihre Wirkung auf den Einheitswurzeln und den Nullstellen hinschreibst.
Du weißt, wie der Zerfällungskörper aussieht und daß nach Hauptsatz Galoistheorie Normalteiler mit Galoisschen Zwischenerweiterungen übereinstimmen. Gruppe modulo Normalteiler kann hingeschrieben werden: das ist Deine Einheitswurzelerweiterung. Der Normalteiler wird auch schnell klar, da die obere Erweiterung leicht zu beschreiben ist: sie ist abelsch und von Ordnung 6. Das andere muß dann irgendwie in eine Sequenz zu packen sein, wobei wir bei einer Gruppenerweiterung sind.
Die Abbildung, die zum semidirekten Produkt gehört, ist anzugeben - im trivialen Fall ist es dann sogar das direkte Produkt. Also: hinschreiben (sichtbar an der Wirkung der Gruppe!)
Grüße,
Tagesschau.
|
|
|
|
