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GROSS O Notation: GROSS O Notation
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 16:56 Mo 18.10.2004
Autor: beronce

Hallo Leute!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.htwm.de/~mathe/forum/viewtopic.php?p=227#227!!!!


Hoffe es kann mir jemand weiterhelfen!

1. Und zwar soll gezeigt werden dass n³ element von [mm] O(e^n) [/mm] ist!

Frage: kann man hier (bei der gross o notation) n0 und c frei wählen (um zu zeigen dass die Bedingung erfüllt wird), oder gibt's da einen Rechenschritt wie man beide/eines der beiden bestimmen kann!

2. Beweise O(f+g) = O(f) + O(g)

3. Beweise O(f+g) = O(f) wenn g element von O(f)

Vielen Dank!
LG
        
Bezug
GROSS O Notation: Tipps
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:19 Di 19.10.2004
Autor: Julius

Hallo Beronce!

Ich gebe dir mal ein paar Tipps:


> 1. Und zwar soll gezeigt werden dass n³ element von [mm]O(e^n)[/mm]
> ist!

Du weißt vielleicht, dass die Exponentialfunktion schneller wächst als jede Potenzfunktion. Daher gilt:

[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^3}{e^n} [/mm] =0$.

Konvergente Folgen sind aber beschränkt...
  
> Frage: kann man hier (bei der gross o notation) n0 und c
> frei wählen (um zu zeigen dass die Bedingung erfüllt wird),
> oder gibt's da einen Rechenschritt wie man beide/eines der
> beiden bestimmen kann!

Du musst halt eine $C$ und ein (davon i.A. abhängiges) [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass die Bedingung erfüllt ist (oder aber wie ich oben anders argumentieren, wenn es denn geht).

> 2. Beweise O(f+g) = O(f) + O(g)

Du musst zeigen, dass die jeweils eine Menge in der anderen enthalten ist. Nehme also zunächst ein $h [mm] \in [/mm] O(f) + O(g)$ (also ein $h=f'+g'$ mit $f' [mm] \in [/mm] O(f)$ und $g' [mm] \in [/mm] O(g)$) und zeige, dass es in $O(f+g)$ liegt. Das geht recht einfach mit der Dreiecksungleichung. Die andere Richtung ist schwieriger: Hier musst du ein $h [mm] \in [/mm] O(f+g)$ wählen und zeigen, dass es sich in der Form $h=f'+g'$ mit $f' [mm] \in [/mm] O(f)$ und $g' [mm] \in [/mm] O(g)$ darstellbar ist.

(Ich würde es mal mit $h = [mm] \frac{hf}{f+g} [/mm] + [mm] \frac{hg}{f+g}$ [/mm] versuchen. ;-))

> 3. Beweise O(f+g) = O(f) wenn g element von O(f)

Die Inklusion [mm] "$\supset$" [/mm] ist aus 2. völlig klar (da $0 [mm] \in [/mm] O(g)$). Für die andere Richtung schätzt du in der Darstellung $h=f'+g'$ die Funktion $f'$ und $g'$ beide durch $f$ ab, was nach Voraussetzung möglich ist.

Jetzt will ich mal ein paar Ansätze von dir sehen, in denen du meine Tipps verarbeitest. :-)

Dann geht es weiter. [sunny]

Liebe Grüße
Julius
  
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