GLS Lösungsverhalten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Di 11.07.2006 | | Autor: | cmg |
Gegeben ist das GLS
[mm] $2x_1 [/mm] + [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0$
[mm] $-2\lambda*x_1 [/mm] + [mm] \lambda*x_2 [/mm] + [mm] 9x_3 [/mm] = 6$
[mm] $2x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] \lambda*x_3 [/mm] = 1$
a) für welche Werte [mm] \lambda [/mm] ist das GLS eindeutig lösbar?
b) für welche [mm] \lambda [/mm] existieren unendliche viele Lösungen?
c) für welche Werte [mm] \lambda [/mm] existieren überhaupt keine Lösungen?
Also ich weiss a) ist ja quasi [mm] \not= [/mm] b) und [mm] \not= [/mm] c). Somit wäre das schon mal gelöst.
Laut meinen Unterlagen ist b) genau dann der Fall, wenn der Rang der erweiteren Koeffizientenmatrix = der Rang der Koeffizientenmatrix ist und mehr Unbekannte als Gleichungen dort sind.
Bei c) wenn der Rang der Koeffizientenmatrix [mm] \not= [/mm] des Rangs der erweiterten Koeffizientenmatrix ist.
Der Rang bildet sich ja durch die linear unabhängigen Gleichungen. Wenn ich nun den Gauß anwende, habe ich einfach keine linarabhängigen.
Lösungen sollen sein: b) [mm] \lambda [/mm] = 3 und c) [mm] \lambda [/mm] = -3/2
Wenn ich nun mal 3 einsetze:
2x1 + x2 + x3 = 0
-6x1 + 3x2 + x3 = 6
2x1 + 2x2 + 3x3 = 1
Wieso gibts da unendliche viele Lösungen? Der Rang ist doch bei beiden immer noch 3, oder nicht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 11.07.2006 | | Autor: | Auric |
Hi,
also wenn du für [mm] \lambda [/mm] = 3 einsetzt und den gauss´schen klapperatismus durchmachst, kommt
0 [mm] x_{1} [/mm] 0 [mm] x_{2} [/mm] 0 [mm] x_{3} [/mm] = 0
raus.
Das bedeutet das du für eine der 3 Variablen eine beliebigen wert einsetzen kannst, den man im allgemeine mit eier Variablen bezeichnet, ich nehm immer
[mm] \lambda.
[/mm]
So bekommst du für die drei X werte immer ein Ergebnis inder Form [mm] \lambda* [/mm] Irgendeine Zahl heraus.
Da [mm] \lambda [/mm] ja beliebgi gewählt werden kann, gibt es unendlich viel Lösungen
Wenn du aber [mm] -\bruch{3}{2} [/mm] einsetzt kommt
0 [mm] x_{1} [/mm] 0 [mm] x_{2} [/mm] 0 [mm] x_{3} [/mm] = 4
raus, was ja mathemtisch nicht möglich ist. Also gibt es für 3/2 keien Lösung.
Ich hoffe das hat deine Frage beantwortet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Fr 14.07.2006 | | Autor: | cmg |
Ach so, das leuchtet alles ein. Nur wie komme ich denn auf die Lösungen von [mm] \lamda [/mm] = 3 und -3/2 überhaupt?
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Hallo cmg!
Wenn ich dieses Gleichungssystem (bzw. die zugehörige Matrix) z.B. nach [mm] $x_3$ [/mm] auflöse, erhalte ich folgende Lösung:
[mm] $x_3 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6-2*\lambda}{-2*\lambda^2+3*\lambda+9} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{-3*(\lambda-2)}{-2*\left(\lambda-3\right)*\left(\lambda+\bruch{3}{2}\right)}$
[/mm]
Damit nun Lösungen existieren, muss dieser Bruch definiert sein, sprich: der Nenner darf nicht Null werden.
Aber genau dies passiert für welche [mm] $\lambda$-Werte?
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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