Funktionsuntersuchungen < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mi 03.01.2007 | | Autor: | punix |
| Aufgabe | Folgende Funktionen untersuchen:
a) [mm] \frac{1}{2} (e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x})
[/mm]
b) [mm] e^{x} [/mm] - [mm] \frac{5}{4}e^{-x} [/mm] + 2
c) [mm] \bruch{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
[/mm]
d) [mm] \frac{1}{2} e^{2x} [/mm] - [mm] e^{x} [/mm] |
Bei mir scheitert die Untersuchung schon bei den Ableitungen der Funktionen. Könnt ihr mir vllt. hilfen geben oder auch mal eine Lösung geben? Wäre sehr lieb von euch. Ich danke schonmal im Vorraus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:43 Mi 03.01.2007 | | Autor: | chrisno |
Schreib doch mal von der ersten Aufgabe die Ableitung hin, soweit wie Du kommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:25 Mi 03.01.2007 | | Autor: | punix |
Meine erste Ableitung wäre:
[mm] \bruch{1}{2} (e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Mi 03.01.2007 | | Autor: | punix |
Ja, dass soll ein Bruch sein ;)
Ok, ich versuche es mal:
2. Ableitung:
[mm] \bruch{1}{2} (e^{x} [/mm] - [mm] e^{-x})
[/mm]
3. Ableitung:
[mm] \bruch{1}{2} (e^{x} [/mm] + [mm] e^{-x})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:08 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Alles richtig, und schwerer sind auch b) und d) nicht, nur bei c halt die Quotientenregel.
Wir prüfen gern nach, schreib aber immer die fkt. die du ableitest dazu.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Do 04.01.2007 | | Autor: | punix |
b) f(x) = [mm] e^{x} [/mm] - [mm] \bruch{5}{4} e^{-x}+2
[/mm]
1. Abl.: f'(x) = [mm] e^{x} [/mm] + [mm] \bruch{5}{4} e^{-x}
[/mm]
2. Abl.: f''(x) = [mm] e^{x} [/mm] - [mm] \bruch{5}{4} e^{-x}
[/mm]
3. Abl.: f'''(x) = [mm] e^{x} [/mm] + [mm] \bruch{5}{4} e^{-x}
[/mm]
c) f(x) = [mm] \bruch{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }
[/mm]
1. Abl.: f'(x) = [mm] 2e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x}
[/mm]
Weiter habe ich noch nicht gerechnet, da ich erstmal wissen möchte, ob das soweit richtig ist ;)
d) f(x) = [mm] \bruch{1}{2} e^{2x} [/mm] - [mm] e^{x}
[/mm]
1. Abl.: f'(x) = [mm] \bruch{1}{2} 2e^{2x} [/mm] - [mm] e^{x}
[/mm]
2. Abl.: f''(x) = [mm] \bruch{1}{2} 4e^{2x} [/mm] - [mm] e^{x}
[/mm]
3. Abl.: f'''(x) = [mm] \bruch{1}{2} 8^{2x} [/mm] - [mm] e^{x}
[/mm]
So, hoffe mal, dass alles richtig ist, wenn nicht einfach schreiben was falsch ist ;) Danke schonmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo punix
> b) f(x) = [mm]e^{x}[/mm] - [mm]\bruch{5}{4} e^{-x}+2[/mm]
> 1. Abl.: f'(x) =
> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]\bruch{5}{4} e^{-x}[/mm]
>
> 2. Abl.: f''(x) = [mm]e^{x}[/mm] - [mm]\bruch{5}{4} e^{-x}[/mm]
>
> 3. Abl.: f'''(x) = [mm]e^{x}[/mm] + [mm]\bruch{5}{4} e^{-x}[/mm]
Richtig
> c) f(x) = [mm]\bruch{ e^{x} - e^{-x} }{ e^{x} + e^{-x} }[/mm]
> 1.
> Abl.: f'(x) = [mm]2e^{x}[/mm] + [mm]2e^{-x}[/mm]
> Weiter habe ich noch nicht gerechnet, da ich erstmal
> wissen möchte, ob das soweit richtig ist ;)
völlig falsch! du musst die Quotientenregel anwenden. [mm] Ergebnis\bruch{4}{(e^x+e^{-x})^2} [/mm] aber bitte rechne nach!
> d) f(x) = [mm]\bruch{1}{2} e^{2x}[/mm] - [mm]e^{x}[/mm]
> 1. Abl.: f'(x) = [mm]\bruch{1}{2} 2e^{2x}[/mm] - [mm]e^{x}[/mm]
>
> 2. Abl.: f''(x) = [mm]\bruch{1}{2} 4e^{2x}[/mm] - [mm]e^{x}[/mm]
>
> 3. Abl.: f'''(x) = [mm]\bruch{1}{2} 8^{2x}[/mm] - [mm]e^{x}[/mm]
Alles richtig, aber warum rechnest du nicht [mm] \bruch{1}{2}*2=1 [/mm]
usw. aus?
und geh schlafen! Gute Nacht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:12 Do 04.01.2007 | | Autor: | punix |
Hey, danke für die schnelle Antwort.
Also das von d, war denke ich mal ein Flüchtigkeitsfehler, da es schon sehr spät ist!
Aber wie kommst du auf das Ergebnis von Aufgabe c? Kannst du mir vllt. mal den Rechenweg aufschreiben?
Ich gehe jetzt erstmal schlafen, gute Nacht.
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Hallo punix!
> Aber wie kommst du auf das Ergebnis von Aufgabe c? Kannst
> du mir vllt. mal den Rechenweg aufschreiben?
Also die Funktion war: [mm] f(x)=\br{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}.
[/mm]
Quotientenregel anwenden ergibt: [mm] f'(x)=\br{(e^x+e^{-x})(e^x+e^{-x})-(e^x-e^{-x})(e^x-e^{-x})}{(e^x+e^{-x})^2}.
[/mm]
Wenn du alles ausmultiplizierst, erhältst du: [mm] \br{e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{-2x}+2-e^{2x}}{(e^x+e^{-x})^2}, [/mm] und wenn du genau hinguckst, siehst du, dass sich im Zähler alles außer 4 wegkürzt. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 09:18 Do 04.01.2007 | | Autor: | punix |
Das ist natürlich logisch :) Doch ich verstehe wiederum nicht, wie du dort auf die alleinstehenden 2en gekommen bist?
Und wie würde die untere Klammer aufgelöst heißen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Do 04.01.2007 | | Autor: | punix |
Wie bist du denn jetzt oben auf die Aufgabe 2 gekommen? Verstehe ich nicht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo punix
binomische Formel auf [mm] (e^x+e^{-x})^2 [/mm] anwenden und [mm] 2*e^x*e^{-x}=2e^{x-x}=e^0=2*1=2
[/mm]
Und mit Binomi rechnest du auch den Nenner aus, oder lässt ihn besser zum weiterdifferenzieren so [mm] stehen.\bruch{4}{(e^x+e^{-x})^2}=4*(e^x+e^{-x})^{-2} [/mm] ist leichter zu differenzieren!
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Fr 05.01.2007 | | Autor: | punix |
Bei der Aufgabe a) komme ich bei den Nullstellen nicht weiter :( Bis jetzt habe ich:
[mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x}-\bruch{1}{2}e^{-x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{-x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}lne^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}lne^{-x}
[/mm]
[mm] x*\bruch{1}{2}lne [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}lne
[/mm]
Ist das bis jetzt überhaupt so richtig? Wenn nicht, wie sieht es richtig aus? Wenn doch, wie gehts weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo punix
> Bei der Aufgabe a) komme ich bei den Nullstellen nicht
> weiter :( Bis jetzt habe ich:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x}-\bruch{1}{2}e^{-x}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}e^{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}e^{-x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}lne^{x}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}lne^{-x}[/mm]
>
> [mm]x*\bruch{1}{2}lne[/mm] = [mm]-x*\bruch{1}{2}lne[/mm]
>
>
> Ist das bis jetzt überhaupt so richtig? Wenn nicht, wie
> sieht es richtig aus? Wenn doch, wie gehts weiter?
Es ist richtig, aber seehhhr umständlich! du kürzest zu wenig:
[mm] 1/2*(e^x-e^{-x})=0
[/mm]
[mm] e^x=e^{-x} [/mm] hier sieht man eigentlich schon x=0!
x=-x
2x=0, x=0
Gruss leduart
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:40 Fr 05.01.2007 | | Autor: | punix |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Fr 05.01.2007 | | Autor: | punix |
Aber wie geht denn jetzt mein Rechenweg weiter? Ich muss das ja alles aufschreiben, ich muss diese Aufgaben ordentlich und richtig abgeben, damit ich kein defizit bekomme, bis Montag!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versteh nicht ganz, was dir fehlt. Die Nullstelle x=0 ist so wie ich das aufgeschrieben hab richtig, weitere gibt es nicht.
Also bitte stell konkrete Fragen, oder schreib auf, was du hast, wo es noch hakt, und ich versuch zu korrigieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:48 Fr 05.01.2007 | | Autor: | punix |
| Aufgabe | | Lösung von Aufgabe a) |
So jetzt werde ich mal die ganze Lösung von Aufgabe a hier posten und bitte euch mal alles durchzugehen und mir sagen, was falsch ist. Und wie es richtig ist ;) Danke!
1. Ableitungen:
[mm] {f'(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})}
[/mm]
[mm] {f''(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})}
[/mm]
[mm] {f'''(x)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})}
[/mm]
2. Nullstellen:{f(x)=0}
[mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x}-\bruch{1}{2}e^{-x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{-x} [/mm] |ln
[mm] \bruch{1}{2}lne^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}lne^{-x}
[/mm]
[mm] x*\bruch{1}{2}lne [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}lne
[/mm]
[mm] x*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}
[/mm]
x= 0
3. Schnittpunkt mit der y-Achse: P(0 / 0)
4. Extremstellen:{f'(x)=0}
[mm] \bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x}+\bruch{1}{2}e^{-x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}e^{-x}
[/mm]
Nicht lösbar, da ln(-0,5) = Error
5. Wendestellen:
hinr. Bed.: {f''(x)=0}
[mm] \bruch{1}{2}(e^{x}-e^{-x})=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x}-\bruch{1}{2}e^{-x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}e^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}e^{-x} [/mm] |ln
[mm] \bruch{1}{2}lne^{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}lne^{-x}
[/mm]
[mm] x*\bruch{1}{2}lne [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}lne
[/mm]
[mm] x*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] -x*\bruch{1}{2}
[/mm]
x = 0
notw. Bed.: [mm] {f'''(x)\not=0}
[/mm]
[mm] {f'''(0)=\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(e^{0}+e^{-0})
[/mm]
= 1
WP (0 / 1)
So das war es auch schon *puuhhh* was eine anstrengende Arbeit. Ich muss hier auch noch einmal sagen, dass diese Seite einfach Spitze ist, hier wird einem echt geholfen :)
Punkt 6 mit dem Verhalten im Unendlichen kann ich gar nicht, kann mir das noch einer hier erklären? Wäre sehr lieb. Und natürlich schauen was ich falsch gemacht habe und wie es richtig aussieht ;) Danke schonmal im Vorraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Es ist alles richtig. Nur bei 4. extremwerte:
am Ende durch 1/2*e^-x beide Seiten teilen, dann [mm] e^{2x}=-1
[/mm]
keine Lösung da die Exponentialfunktion nur positive Werte hat. oder weil ln von negativen Zahlen nicht existiert.
VerHalten für x gegen [mm] +\infty:
[/mm]
[mm] e^x [/mm] wird beliebig groß, e^(-x) beliebig klein, d.h. die Funktion geht sehr schnell, wie [mm] e^x [/mm] gegen unendlich.
x gegen [mm] -\infty: e^{-x} [/mm] wird beliebig gross, [mm] e^x [/mm] beliebig klein, also geht die Funktion wie [mm] -e^{-x} [/mm] sehr schnell gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Wegen f(x)=-f(-x) ist die Fktion Punktsymmetrisch zum Nullpunkt, falls ihr auch sowas überlegt.
(Die arbeit geht schneller und schneller und leichter, je öfter man so was macht. vor 10 jahren war auch noch "ein Päckchen" einfache Summen von 3 stelligen Zahlen ne schlimme Arbeit!)
Gruss leduart
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
| Aufgabe | Jetzt bin ich bei Aufgabe b)
[mm] \frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x}) [/mm] |
Meine Frage ist wieder einmal, ob es bis dahin schon richtig ist?
Und wie es weiter geht, was muss ich machen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn es ein Problem ist so, kann ich es auch wieder normal schreiben.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hallo punix!
> Jetzt bin ich bei Aufgabe b)
> [mm]\frac{1}{2}(e^{x}-e^{-x})[/mm]
Na, das war aber nicht die Funktion. 
> Meine Frage ist wieder einmal, ob es bis dahin schon
> richtig ist?
> Und wie es weiter geht, was muss ich machen?
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Die Ableitungen und der Definitionsbereich sind richtig, aber die Nullstellenbestimmung stimmt nicht. Du kannst nicht den Logarithmus von einer Differenz nehmen! Setz doch dein Ergebnis einfach mal ein, da kommt doch nicht 0 raus!?
Ich fürchte allerdings, dass man die Nullstellen hier nur numerisch bestimmen kann, und das macht man auf der Schule glaube ich eher selten. Bist du sicher, dass du das hier machen sollst? Nach meinem Plotter liegt sie irgendwo zwischen -0,5 und -1.
Und was bedeutet denn Schnittpunkt mit der y-Achse? Der Graph kann die y-Achse doch nur dort schneiden, wo x=0 ist. Sieh dir doch nochmal die Definition davon an. Also musst du einfach den Funktionswert von 0 berechnen!
Das danach ist so weit richtig, bis auf die "Kommentare" am Rand...
Nun, was ist denn [mm] \ln(e^x)? [/mm] Das ist doch genau =x! Und wenn du den Logarithmus auf ein Produkt anwendest, musst du folgende Regel beachten: [mm] \ln(x*y)=\ln(x)+\ln(y)! [/mm] Demnach ist deine letzte Zeile falsch. Sieh dir doch nochmal die  Logarithmusgesetze an. Da muss dann also stehen: [mm] \ln(-\bruch{5}{4})+x [/mm] und dann erhältst du im nächsten Schritt: [mm] 2x=\ln(-\bruch{5}{4}), [/mm] und das geht nicht. Also gibt es keine Extremstellen. Allerdings scheint es einen Wendepunkt zu geben (laut Plotter).
> Wenn es ein Problem ist so, kann ich es auch wieder normal
> schreiben.
Naja, lesen kann man's, nur das direkte Kommentieren ist anders halt einfacher. Aber ich denke, es ist ok so.
Viele Grüße
Bastiane
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Zur Nullstellenbestimmung: die funktioniert auch direkt.
Bedenke, dass gilt [mm] $e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x}$ [/mm] . Damit kannst Du hier auch substituieren $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] , und Du erhältst eine quadratische Gleichung, die Du bestimmt lösen kannst.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
> Zur Nullstellenbestimmung: die funktioniert auch direkt.
>
>
> Bedenke, dass gilt [mm]e^{-x} \ = \ \bruch{1}{e^x}[/mm] . Damit
> kannst Du hier auch substituieren [mm]z \ := \ e^x[/mm] , und Du
> erhältst eine quadratische Gleichung, die Du bestimmt lösen
> kannst.
>
>
> Gruß
> Loddar
Hey Loddar!
Leider weiß ich grad gar nicht was du da meinst, bzw. wie das funktionieren soll. Wie würde das denn aussehen?
Bin jetzt aber echt im Bett...
Gute Nacht, punix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:57 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Punix!
[mm] $e^x-\bruch{5}{4}*e^{-x}+2 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $e^x-\bruch{5}{4}*\bruch{1}{e^x}+2 [/mm] \ = \ 0$
[mm] $\gdw$ $\red{z}-\bruch{5}{4}*\bruch{1}{\red{z}}+2 [/mm] \ = \ 0$
Multipliziere nun die Gleichung mit $z_$, und Du erhältst die "versprochene" quadratische Gleichung.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:04 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Tut mir leid Loddar, aber ich verstehe das noch immer nicht. Ich weiß gar nicht wie das jetzt funktionieren soll. Habe das noch nie gemacht...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Was erhältst Du denn, wenn Du nun die o.g. Gleichung mit $z_$ multiplizierst?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
[mm] \red{z}-\bruch{5}{4}\cdot{}\bruch{1}{\red{z}}+2=0
[/mm]
Ich kann man darunter nichts genaues vorstellen, aber es würde dann so aussehen:
[mm] \red{2z}-\bruch{5}{4}z\cdot{}\bruch{1}{\red{2z}}+2z=0
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:24 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo punix!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") $\text{irgendwas} \ \times \ \text{irgendwas}$ ergibt doch $\text{irgendwas}^{\red{2}}$
Damit erhalten wir nach der Multiplikation der o.g. Gleichung mit $z_$ folgende Gleichung:
$z^{\red{2}}-\bruch{5}{4}*\red{1}}+2z \ = \ 0$
$z^2+2*z-\bruch{5}{4} \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:32 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Achja stimmt, sorry *peinlich,peinlich* Aber ist ja auch schon spät ^^...
So das Ergebnis könnte man doch noch so vereinfachen oder?
[mm] 2z^{3}-\bruch{5}{4}=0
[/mm]
Wenn stimmt oder nicht, wie geht es jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Du hast doch bitte nicht etwa [mm] $z^2$ ($\text{= Apfel!}$) [/mm] mit $2*z_$ [mm] ($\text{= Birne!}$) [/mm] verglichen oder gar zusammengefasst?!? Das geht nicht!
Diese quadratische Gleichung [mm] $z^2+2z-\bruch{5}{4} [/mm] \ = \ 0$ kannst Du nun z.B. mit der p/q-Formel lösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Also so?
[mm] z^{2}+2z-\bruch{5}{4}=0
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{2}\pm\wurzel{(\bruch{2}{2})^{2}-\bruch{5}{4}}
[/mm]
[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] -1\pm\wurzel{-\bruch{1}{4}}
[/mm]
Kein Ergebnis, da negative Zahl in der Wurzel.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Punix,
da hast Du Dich mit dem Vorzeichen des q-Wertes unter der Wurzel verhauen. In der p,q-Formel steht ein Minuszeichen, da der Wert negativ ist, gibt es also hier ein Plus, und damit existieren zwei Lösungen.. Die Wurzel aus 2,25 ist 1,5.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Also sind die Nullstellen bei:
[mm] z_{1}:=0,5
[/mm]
[mm] z_{2}:=-2,5
[/mm]
Wie gehts jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Nun musst Du über die Beziehung $z \ = \ [mm] e^x$ [/mm] die entsprechenden x-Werte berechnen; also:
[mm] $e^{x_1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] bzw. [mm] $e^{x_2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{5}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Die Ergebnisse lauten dann:
[mm] x_{1}=e^{\bruch{1}{2}}-\bruch{5}{4}\cdot{}e^{-\bruch{1}{2}}+2\approx2,89
[/mm]
[mm] x_{2}=e^{-\bruch{5}{4}}-\bruch{5}{4}\cdot{}e^{\bruch{5}{4}}+2\approx-2,08
[/mm]
Außerdem habe ich noch eine Frage: Wie kommt man darauf das mit diesem z zu lösen? Ich meine an irgendwas muss man das doch dann sehen können oder?
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Hallo,
so funktioniert das leider nicht, du bist stehengeblieben bei:
[mm] e^{x_1}=0,5, [/mm] jetzt nach [mm] x_1 [/mm] umstellen, mit Logarithmengesetz
[mm] lne^{x_1}=ln0,5
[/mm]
[mm] x_1*lne=ln0,5
[/mm]
[mm] x_1*1=ln0,5
[/mm]
[mm] x_1=-0,6931....
[/mm]
Diesen Wert kannst du in deine Gleichung einsetzen, zwecks Probe
[mm] e^{-0,6931...}-\bruch{5}{4}e^{0,6931...}+2=0
[/mm]
versuche jetzt [mm] x_2 [/mm] nach der gleichen Methode, beachte aber die Definition des Logarithmus, was die Vorzeichen betreffen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
[mm] e^{x_{2}} [/mm] = -2,5 nach [mm] x_{2} [/mm] umstellen:
[mm] lne^{x_{2}} [/mm] = ln-2,5
Nicht lösbar, da keine negative Zahl von ln existiert.
[mm] \Rightarrow [/mm] nur eine Nullstelle.
Richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Alles klar! Dann werde ich mal den Rest dieser Funktion untersuchen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Muss ich die Wendestellen wieder genauso ausrechnen? Also mit dieser Substitution?
Wenn ja, liegt der Wendepunkt dann bei WP [mm] (0/2\bruch{1}{4}) [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Du kannst hier auch wieder mit dieser Substitution arbeiten, musst aber nicht. Man kommt auch anders zum ziel durch reine Umformungen (Multiplikation mit [mm] $e^x$ [/mm] usw.).
Aber der x-Wert Deines ermittelten Wendepunkt ist falsch. Wie lautet denn Deine 2. Ableitung $f''(x)_$ ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Meine 2. Ableitung lautet:
[mm] {f''(x)}=e^{x}-\bruch{5}{4}e^{-x}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Das stimmt soweit. Nun multipliziere die Geichung [mm] $e^{x}-\bruch{5}{4}e^{-x} [/mm] \ = \ 0$ mit [mm] $e^x$ [/mm] .
Bedenke, dass gilt: [mm] $\left(e^x\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] e^{2x}$ [/mm] .
Damit sollte sich die Gleichung dann schnell nach $x \ = \ ...$ auflösen lassen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Meine erste Zeile lautet dann:
[mm] e^{2x}-\bruch{5}{4}e^{-2x}=0
[/mm]
Ich weiß nicht ob das so stimmt, wenn ja, wie lautet die nächste Zeile?
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Hallo,
du weißt, dass [mm] e^{-x}=\bruch{1}{e^{x}},
[/mm]
wenn du mit [mm] e^{x} [/mm] multiplizierst, so kürzt es sich!
Es bleibt nur noch der Bruch [mm] -\bruch{5}{4}.
[/mm]
[mm] e^{2x}-\bruch{5}{4}=0
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
also gehts so?
[mm] e^{2x}-\bruch{5}{4}=0 |+\bruch{5}{4}
[/mm]
[mm] e^{2x}=\bruch{5}{4} [/mm] {|ln}
[mm] 2xlne=ln\bruch{5}{4}
[/mm]
2x = [mm] ln\bruch{5}{4}
[/mm]
2x=0,223 |/2
[mm] x\approx0,1115
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:12 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Der Wendepunkt liegt dann ca. bei (0,1115/2,236)
mein Rechenweg lautet:
[mm] {f(x)=e^{x}+\bruch{5}{4}e^{-x}}
[/mm]
[mm] {f(0,1115)=e^{0,1115}+\bruch{5}{4}e^{-0,1115}}
[/mm]
[mm] {f(0,1115)=1,118+\bruch{5}{4}*0,8945}\approx2,236
[/mm]
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Hallo,
über die 2. Ableitung haben wir die Stelle gefunden, an der ein Wendepunkt liegt, x=0,1115, um den dazugehörigen Funktionswert zu bestimmen nimmst du die gegebene Funktion, wenn nicht alles mehr täuscht, war es Aufgabe b), also x=0,1115 in [mm] f(x)=e^{x}-\bruch{5}{4}e^{-x} [/mm] einsetzen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Habe ich doch oben gemacht? Ist das Falsch?
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Hallo,
in der Funktion der Aufgabe b) steht zwischen den beiden Termen ein - (MINUS), du hast mit + (PLUS) gerechnet!!!
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Also lautet der Wendepunkt: (0,1115/-0,000125)???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 Sa 06.01.2007 | | Autor: | punix |
Soo, habe das ganze jetzt noch fertig gemacht, aber ich habe leider noch eine Frage^^... Steffi sagt, das ich mit PLUS anstatt MINUS gerechnet habe. Doch in der dritten Ableitung steht ein PLUS und kein MINUS. Was ist denn jetzt richtig, auf meinem Blatt steht jetzt PLUS ist aber mit MINUS gerechnet. Nicht das es euch verwirrt... Also einfach mal schauen, danke!
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo punix!
Für die 2. Ableitung ist das Minuszeichen richtig!
Du machst in Deiner Berechnung aber leider noch 2 andere Fehler:
Für den Schnittpunkt mit der y-Achse brauchst Du lediglich den x-Wert $x \ = \ 0$ einsetzen:
$f(0) \ = \ [mm] e^0-\bruch{5}{4}*e^0+2 [/mm] \ = \ ...$
Bei der Umformung der 1. Ableitung zur Ermittlung der Extremstellen wendest Du das Logarithmusgesetz falsch an. Du musst hier ähnlich wie bei der 2. Ableitung vorgehen:
[mm] $e^x+\bruch{5}{4}*e^{-x} [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\left| \ *e^x$
$e^{2x}+\bruch{5}{4} \ = \ 0$ etc.
Gruß
Loddar
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 So 07.01.2007 | | Autor: | punix |
Aber, bei den Wendestellen, benutze ich bei der hinreichenden Bedingung doch die dritte Ableitung? Und da steht ein PLUS. Was ist jetzt richtig? Bin gerade etwas verwirrt...
Den Rest habe ich berichtigt, danke ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:03 So 07.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Moin punix!
Zur Bestimmung der möglichen Wendestellen (notwendiges Kriterium) verwenden wir die 2. Ableitung mit [mm] $f''(x_W) [/mm] \ = \ [mm] e^x [/mm] \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{5}{4}*e^{-x} [/mm] \ = \ 0$ .
Darin ist nun das Minuszeichen enthalten. Als Wendestelle haben wir erhalten:
[mm] $x_W [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\ln\left(\bruch{5}{4}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln\wurzel{\bruch{5}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left(\bruch{\wurzel{5}}{2}\right) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] 0.111\red{6}$ [/mm] (aufpassen beim Runden)
Diesen Wert setzen wir nun in die 3. Ableitung $f'''(x) \ = \ [mm] e^x [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] \bruch{5}{4}*e^{-x}$ [/mm] ein und überprüfen, ob dieser Wert ungleich Null ist (hinreichendes Kriterium):
[mm] $f'''(x_W) [/mm] \ = \ [mm] e^{\ln\left(\bruch{\wurzel{5}}{2}\right)}+\bruch{5}{4}*e^{-\ln\left(\bruch{\wurzel{5}}{2}\right)}\ [/mm] = \ [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}+\bruch{5}{4}*\bruch{2}{\wurzel{5}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}+\bruch{5}{2}*\bruch{1}{\wurzel{5}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}+\bruch{5}{2}*\bruch{\wurzel{5}}{5} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}+\bruch{\wurzel{5}}{2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{5} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 2.236 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
(Ich habe das mal genauer formuliert; denn oben hast Du da einen falschen Wert für [mm] $f'''(x_W)$ [/mm] errechnet)
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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