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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Bräuchte mal einen kleinen Tipp:
Gegeben ist die Funktion [mm] fk(x)=k^2x^3-kx [/mm] ; k ungleich 0
Die Aufgabe ist : Prüfe ob die Extrempunkte aller fk auf einer Geraden liegen.
Ich habe eine Funktionsuntersuchung gemacht und rausgefunden, dass es zwei Extrempunkte bei + [mm] \wurzel {\bruch{1}{3k}} [/mm] und [mm] -\wurzel {\bruch{1}{3k}} [/mm] für k>0 gibt. bei x<0 gibt es keine...
Ich möchte nun gerne beweisen, dass für k > 0 alle Extrempunkte auf einer Geraden liegen
doch ich habe schwierigkeiten die y Koordinate auszurechnen
eigentlich muss man ja +/- [mm] \wurzel {\bruch{1}{3k}} [/mm] nur in
[mm] fk(x)=k^2x^3-kx [/mm] für x einsetzen doch irgend wie harpert es da.
Danach kann ich ja einfach sagen y= die zweite koordinate ( und dann für k die x koordinate nach k aufgelöst für x einsetzen
nur ohne die y koordinate komme ich leider nicht weiter...
genause wie : hat die tangentensteigung einen größten oder kleinsten wert ?
weiss jemand was damit gemeint ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Fr 04.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Magnia
Hier geht es auch einfacher: Deine Funktion ist Punktsymmetrisch zu (0/0). d.h. die Gerade, die durch die 2 Extremwete geht (für festes k) hat die Steigung [mm] m=f(x_m)/xm. [/mm] da kürzt sich die Wurzel. Wenn jetzt m unabhängig von k ist hast du den Beweis, dass es eine Gerade ist, sonst ist es keine!
Besondere Eigenschaften der Funktion erst mal anzusehen lohnt sich oft zur Vereinfachung von Aufgaben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Magnia |
ja so hatte ich es eigentlich auch vor zu gucken wie es mit den steigungen aussieht
doch ich bekomme immer noch nicht die y koordinate zu den extrempunkten raus :
ich habe [mm] k^2 [/mm] (1/3k * wurzel 1/3k) - k * wurzel 1/3k
= k/3 * wurzel 1/3k - k* wurzel 1/3k
da nehme ich jetzt einfach -k wurzel 1/3k und erhallte
-2k/3 wurzel 1/3k
und das ist ja anders geschrieben -2k/3 * 1 / wurzel 3k
nur wie gehts weiter ?
und dann hätte ich gesagt
diese koordinate = y
und bei der berechnung der extrempunkte hatte ich ja
[mm] x^2 [/mm] = [mm] k/3k^2
[/mm]
das hätte ich jetzt nach k aufgelöst und
in die oberer Y=...... für k eingesetzt
das selbe mit dem zweiten extrempunkt
und dann geguckt ob das selbe bei rauskommt
ginge das so ? stehe irgend wie auf dem schlauch ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Magnia |
habe es jetzt gelöst und rausgefunden, dass sie nicht auf einer geraden liegen
da es einmal y = -2/3 * x und einmal y = 2/3 * x ist.
hat lange gedauert aber das war es wert.
jetzt nur noch die letzte wäre schön wenn es ein bisschen genauer ginge ich weiss nämlich nicht so recht was du damit meinst ....
tangentensteigung in dem extrempunk ?
die habe ich ja eigentlich mit den hoch bzw. tiefpunkten schon ausgerechnet ??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:34 Fr 04.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Magnia,
> jetzt nur noch die letzte wäre schön wenn es ein bisschen
> genauer ginge ich weiss nämlich nicht so recht was du damit
> meinst ....
> tangentensteigung in dem extrempunk ?
> die habe ich ja eigentlich mit den hoch bzw. tiefpunkten
> schon ausgerechnet ??
>
>
$ [mm] f_k(x)=k^2x^3-kx [/mm] $ ; k ungleich 0
> hat die tangentensteigung einen größten oder kleinsten wert ?
Wie Loddar schon gesagt hat, bedeutet dies, dass du nun die Steigungsfunktion (=Ableitungsfunktion) auf einen höchsten (oder niedrigsten) Punkt hin untersuchen sollst.
[mm] $f_k'(x) [/mm] = ....$ ist deine "neue" Funktion, die du nun auf Extremstellen untersuchen kannst.
Du suchst also die Stellen, an denen die Ableitung dieser Funktion =0 wird.
[mm] \Rightarrow $f_k''(x) [/mm] = 0 = ...$
Kannst du jetzt allein weiterrechnen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Also das habe ich ja schon gemacht :
ich habe ableitung gebildet :
fk`(x) = [mm] 3k^2x^2-kx
[/mm]
habe die = o gesetzt um die Extrempunktre rauszubekommen welche bei
[mm] \pm \wurzel{ \bruch{1}{3k}}
[/mm]
für x>O
Die Ergebnisse natürlich dann in die 2 Ableitung und schon hatte ich meinen TP und HP
Also das bedeutet ja , dass an diesen zwei Punkten die Tangentensteigung in diersem punkt 0 ist
Die ist doch immer in den Extrempunkten = 0
ich verstehe nicht was damit gemeint ist sorry :(
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Hallo Magnia,
> Also das habe ich ja schon gemacht :
> ich habe ableitung gebildet :
>
> fk'(x) = [mm]3k^2x^2-kx[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
aus
$ [mm] f_k(x)=k^2x^3-kx [/mm] $ ; k ungleich 0
wird $ s(x) = [mm] f'_k(x)=3k^2x^2-\red{k} [/mm] $ das x fällt weg!
hier will ich zur zweiten Frage ein paar Tipps geben:
"Wo hat die Steigungskurve ihre größte oder kleinste Steigung?"
s(x) ist deine "neue" Steigungsfunktion, deren Extremum du nun finden sollst:
also: $s'(x) = f''(x) = 6k^2x = 0$ liefert dir Kandidaten für Extrema der Steigungsfunktion.
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 0, weil k>0 vorausgesetzt wird. Es gibt also nur eine Stelle.
Bei x = 0 nimmt die Steigungsfunktion s ihren kleinsten Wert (wegen s'' > 0) an, dort hat f also ihre kleinste Steigung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
du siehst, die Funktion f hat fast überall eine positive Steigung, nur in der Nähe von 0 wird sie mal negativ.
Dort ist im übrigen der Wendepunkt, der folgerichtig dort die kleinste (weil "negativste" - gibt's das?  ) Steigung aufweist.
Jetzt klar(er) ?
@Leduart:
Ich bin immer noch der Meinung, dass dieser Ansatz zielführend ist; er hat aber nichts mit der Frage zu tun, ob die Extrempunkte von f auf einer Gerade liegen oder nicht. Das habe ich wohl nicht hinreichend betont.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Sa 05.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Magnia
Irgendwie machst du es dir zu schwer. Du mußt wirklich nur m=f(x)/x ausrechnen also
[mm] (k^{2}*x^{3}-k*x)/x =k^{2}*x^{2}-k. [/mm] Da mußt du noch Deinen Wert x= [mm] \bruch{1}{ \wurzel{3k}} [/mm] einsetzen und bekommst m=- [mm] \bruch{2}{3}*k. [/mm] Deine + und [mm] -\bruch{2}{3} [/mm] ist falsch! Weil diese Steigung von k abhängt, ist es für kedes k eine andere Gerade!
Klar? Und mehr mußt du nicht rechnen!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 So 06.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Vielleicht steht die Antwort unter der anderen Frage, Aber mein voriger Artikel sagt eigentlich alles
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:54 Mo 07.02.2005 | | Autor: | informix |
Hallo leduart,
> Hallo Magnia
> Hier geht es auch einfacher: Deine Funktion ist
> Punktsymmetrisch zu (0/0). d.h. die Gerade, die durch die 2
> Extremwete geht (für festes k) hat die Steigung
> [mm]m=f(x_m)/xm.[/mm] da kürzt sich die Wurzel.
Wie du richtig feststellst, betrachtest du dies alles für ein festes k.
Bei jeder punktsymmetrischen Funktion 3. Grades liegen die Extrempunkte auf einer Geraden mit der Steigung:
[mm] $\bruch{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} [/mm] = [mm] \bruch{f(x_2)- (-f(x_2))}{x_2 - (-x_2)} [/mm] = [mm] \bruch{2*f(x_2)}{2*x_2}$ [/mm] wegen der Punktsymmetrie: f(-x) = - f(x) .
Und weil diese Steigung noch von k abhängt, haben diese Geraden unterschiedliche Steigungen.
Dies war aber nicht die Frage, sondern: ob die Hoch- oder die Tiefpunkte für beliebige k jeweils auf einer Geraden liegen.
Und diese Frage hat Loddar schon beantwortet, ohne die komplette Rechnung allerdings anzugeben.
> Wenn jetzt m
> unabhängig von k ist hast du den Beweis, dass es eine
> Gerade ist, sonst ist es keine!
> Besondere Eigenschaften der Funktion erst mal anzusehen
> lohnt sich oft zur Vereinfachung von Aufgaben!
> Gruss leduart
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Richtig.
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