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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, das Verhalten an den Definitionslücken sowie für [mm] \pm \infty.
[/mm]
(a) f(x) = [mm] \bruch{x^3+4x^2+5x+2}{x^2-x-2}
[/mm]
(b) f(x) = [mm] \bruch{\wurzel[3]{x+1}}{\wurzel[3]{x-1}} [/mm] |
Hallo,
bei der ersten Aufgabe weiß ich nicht, wie ich die Nullstellen berechnen kann. Polynomdivision und Partialbruchzerlegung haben mich irgendwie nicht weitergebracht. Kann mir da jemand helfen? Auch habe ich keine Idee [mm] \limes_{x\rightarrow 2} [/mm] zu berechnen.
Gruß, Gratwanderer
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Hallo, überlege dir zunächst den Definitionsbereich,
Schnittstelle mit der x-Achse: du setzt die Funktion gleich Null, gleichbedeutend mit [mm] 0=x^{3}+4x^{2}+5x+2 [/mm] beachte bei deinen Lösungen den Definitionsbereich,
es ist zu untersuchen x gegen 2 von rechts bzw. von links
Steffi
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Hallo Steffi,
der Definitionsbereich wäre doch dann [mm] \IR \backslash [/mm] {2}?
Ich müsste ja dann Polynomdivision machen und bspw. durch (x+1) teilen, weil x=-1 eine Nullstelle ist. Ich frage mich nur gerade, ob es auch eine andere Möglichkeit gibt die Nullstellen rauszufinden. Was würde man denn machen, wenn die Nullstellen nicht so ersichtlich wären?
Und wie man den links- und rechtsseitigen Grenzwert bestimmt weiß ich leider nicht :-(
Mit dem Verhalten für [mm] \pm \infty, [/mm] können da auch Asymptoten mit gemeint sein? Habe nämlich gerade gesehen, dass der Graph schiefe Asymptoten für [mm] \pm \infty [/mm] besitzt.
Gruß, Gratwanderer
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Hallo,
der Nenner ist für x=-1 und x=2 nicht definiert, in deinem Beispiel kannst du eine Nullstelle erraten, dann Polynomdivision, wenn das nicht funktioniert, hilft ein Näherungsverfahren, z.B. das Newtonverfahren, jetzt kannst du deine Funktion faktorisieren
[mm] f(x)=\bruch{(x^{2}+3x+2)*(x+1)}{(x-2)*(x+1)}
[/mm]
die Stelle x=-1 ist hebbar mit f(-1)=0 mit [mm] f(-1)=\bruch{(-1)^{2}+3*(-1)+2)*}{(-1)-2}
[/mm]
an der Stelle x=2 ist der linksseiteig Grenzwert [mm] -\infty, [/mm] du untersuchst [mm] \bruch{x^{2}+3x+2}{x-2} [/mm] der Zähler geht gegen 12, der Nenner geht gegen (minus) Null, ist negativ, du setzt ja Zahlen kleiner 2 ein,
an der Stelle x=2 ist der rechtsseiteig Grenzwert [mm] \infty, [/mm] du untersuchst [mm] \bruch{x^{2}+3x+2}{x-2} [/mm] der Zähler geht gegen 12, der Nenner geht gegen (plus) Null, ist positiv, du setzt ja Zahlen größer 2 ein,
die schräge Asymptote ist f(x)=x+5, die erhälst du durch eine Polynomdivision
[mm] (x^{3}+4x^{2}+5x+2):(x^{2}-x-2)=x+5+\bruch{12x+12}{x^{2}-x-2}
[/mm]
der Term [mm] \bruch{12x+12}{x^{2}-x-2} [/mm] geht für x gegen unendlich gegen Null
Steffi
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:37 Mi 06.01.2010 | | Autor: | JulianTa |
Ich weiß jetzt noch nicht so ganz, wie ich die Grenzwertberechnung für x geht (von unten und von oben) gegen 2 formal korrekt aufschreiben soll.
Ich möchte dabei vermeiden, Ausdrücke wie [mm] "\lim_{x \downarrow 2}\frac{x^2+3x+2}{x-2}" [/mm] aufzuschreiben, da dieser limes ja nun mal nicht existiert.
Was mir höchstens einfiele wäre:
[mm] \frac{x^2+3x+2}{x-2} \rightarrow \infty [/mm] für $x [mm] \downarrow [/mm] 2$, da [mm] $x^2+3x+2 \rightarrow [/mm] 12$ und $x-2 [mm] \rightarrow [/mm] +0$ für $x [mm] \downarrow [/mm] 2$.
Analog für x [mm] \uparrow [/mm] 2.
Könnte man das so schreiben?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Mi 06.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich weiß jetzt noch nicht so ganz, wie ich die
> Grenzwertberechnung für x geht (von unten und von oben)
> gegen 2 formal korrekt aufschreiben soll.
> Ich möchte dabei vermeiden, Ausdrücke wie [mm]"\lim_{x \downarrow 2}\frac{x^2+3x+2}{x-2}"[/mm]
> aufzuschreiben, da dieser limes ja nun mal nicht
> existiert.
> Was mir höchstens einfiele wäre:
> [mm]\frac{x^2+3x+2}{x-2} \rightarrow \infty[/mm] für [mm]x \downarrow 2[/mm],
> da [mm]x^2+3x+2 \rightarrow 12[/mm] und [mm]x-2 \rightarrow +0[/mm] für [mm]x \downarrow 2[/mm].
>
> Analog für x [mm]\uparrow[/mm] 2.
>
>
> Könnte man das so schreiben?
Das kannst Du
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo und noch ein Hinweis, du schreibst "da dieser limes ja nun mal nicht existiert", freilich existiert der Grenzwert, bedenke, x geht gegen 2, erreicht also nicht 2, für den linksseitigen Grenzwert setzt du für x immer eine Zahl ein, die kleiner als 2 ist (z.B. 1,99999999999), es steht also im Nenner nicht 2-2, ebenso für den rechtsseiteigen Grenzwert, du setzt für x immer eine Zahl ein, die größer als 2 ist (z.B. 2,000000000001), es steht also im Nenner wieder nicht 2-2, Steffi
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