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Hi! Wir haben vor kurzen Rationale Funktionen angefangen und ich habe hier bei einer aufgabe einen graphen gegeben welcher folgende informationen hat...
polstelle ohne vorzeichenwechsel bei 0
asympote ist x²
und der graph hat an den stellen -1/2 einen tiefpunkt und 1/2 einen tiefpunkt und ist zur x achse symetrisch....
früher bei den ganzrationalen funktionen habe ich mir ja immer überlegt welches die höchste xpotenz ist und habe mir dann eine gleichung ax³+bx²+cx+d erstellt zb und dann die werte jeweils eingesetzt aber ich weiß nicht wie ich das hier machen kann?! Wie komme ich am einfachsten und schnellsten zu einem möglichen funktionsterm?
Also mein ansatz war ja schonmal, dass im Nenner der Rationalen Funktion x² stehen muss, da wir eine polstelle bei 0 haben und ohne vorzeichenwechsel d.h. gerader exponent aber wie ich nun weitermachen kann weiß ich leider nich.
kann mir vielleicht jemand helfen? Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:05 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Christian,
> Hi! Wir haben vor kurzen Rationale Funktionen angefangen
> und ich habe hier bei einer aufgabe einen graphen gegeben
> welcher folgende informationen hat...
> polstelle ohne vorzeichenwechsel bei 0
> asympote ist x²
> und der graph hat an den stellen -1/2 einen tiefpunkt und
> 1/2 einen tiefpunkt und ist zur x achse symetrisch....
> früher bei den ganzrationalen funktionen habe ich mir ja
> immer überlegt welches die höchste xpotenz ist und habe mir
> dann eine gleichung ax³+bx²+cx+d erstellt zb und dann die
> werte jeweils eingesetzt aber ich weiß nicht wie ich das
> hier machen kann?! Wie komme ich am einfachsten und
> schnellsten zu einem möglichen funktionsterm?
> Also mein ansatz war ja schonmal, dass im Nenner der
> Rationalen Funktion x² stehen muss, da wir eine polstelle
> bei 0 haben und ohne vorzeichenwechsel d.h. gerader
> exponent aber wie ich nun weitermachen kann weiß ich leider
> nich.
Deine Idee ist doch schon ein sehr wichtiger Anfang. Jetzt kanntst du dir als nächstes überlegen, welchen Grad die Zählerfunktion hat. Dazu brauchst du die Asymptote
[mm] a(x) = x^2 [/mm]
Das heißt, wenn du den Zähler durch den Nenner dividierst, erhälst du als ganzrationalen Anteil [mm] x^2.
[/mm]
Ich will mal im Moment nicht mehr verraten, weil du dann probieren kannst, ob du nicht schon alleine weiterkommst. Wenn der Hinweis nicht ausreicht, melde dich einfach noch mal.
Gruß
Sigrid
> kann mir vielleicht jemand helfen? Danke!
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Hmm d.h. im zähler muss auf jedenfall [mm] x^4 [/mm] als höchste x potenz stehen
d.h. [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] ?! jedoch ist mir immernoch nicht so ganz klar wie ich nun die 5 unbekannten ermitteln kann, da ich bestimmt nicht nur den zähler alleine anschauen kann oder?! oder kann ich das getrennt machen zähler und nenner unabhängig voneinander? aber dann wäre ja die ableitung eine andere...
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Hallo Christian,
> Hmm d.h. im zähler muss auf jedenfall [mm]x^4[/mm] als höchste x
> potenz stehen
> d.h. [mm]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/mm] ?!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> jedoch ist mir immernoch nicht
> so ganz klar wie ich nun die 5 unbekannten ermitteln kann,
> da ich bestimmt nicht nur den zähler alleine anschauen kann
> oder?!
in der Aufgabenstellung heißt es doch:
und der graph hat an den stellen -1/2 einen tiefpunkt und 1/2 einen tiefpunkt und ist zur x achse symmetrisch....
> oder kann ich das getrennt machen zähler und nenner
> unabhängig voneinander? aber dann wäre ja die ableitung
> eine andere...
du hast doch schon fast alles zusammen:
Zähler: [mm]ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/mm]
Nenner [mm] x^2
[/mm]
Den Koeffizienten a kannst du auch schon (wegen der Asymptote) vermuten: a = 1 oder a auch im Nenner als Faktor.
Jetzt nutzt du als nächstes die Symmetrie aus: welche x-Potenzen müssen wegfallen?
Die Ableitung musst du schon vom gesamten jetzt aufgestellten Bruch machen.
Probier's mal bis hierher und berichte. Vielleicht kommst du auch schon selbst auf den Rest?
Gruß informix
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gut symetrie zur x achse sagt mir dass es nur gerade exponent geben muss d.h.
[mm] ax^4+cx^2+e [/mm] a ist in dem falle 1 aber es könnte doch auch sein das im nenner 3x² steht dann wäre a=3 oder?
naja ok dann habe wir ja eigentlich nur noch [mm] (x^4+cx^2+e)/x^2
[/mm]
hmm davon die ableitung ist [mm] 2*(x^4-e)/(x³)
[/mm]
[mm] f´(x)=2*(x^4-e)/(x³)
[/mm]
f´(1)=0=2*(1-e)/1
0=2*(1-e)
e=1
[mm] f(x)=(x^4+cx^2+e)/x^2 [/mm] e=1 ...
[mm] f(x)=(x^4+cx^2+1)/x^2
[/mm]
wir haben den punkt 1/2
f(1)=2=(1+1c+1)/1
2=1+c+1
0=c
also haben wir am ende den term [mm] (x^4+1)/x²
[/mm]
?!
werde gleich nochmal eine etwas schwierigere aufgabe selbst versuchen und mal schaun ob ich einen fehler mache falls diese hier richtig ist
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Do 27.10.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Christian,
du meinst Symmetrie zur Y-Achse, oder?
Sonst hättest du keine Funktion, sondern allenfalls eine Relation.
lg
Herby
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ja sorry meinte y-achse =)
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danke! aber ich habe dann nochmal eine frage zur symetrie... wieso ist es nur in diesem fall richtig und was könnte ich falsch machen bzw wie mache ich es bei rationalen funktionen korrekt?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Christian,
> danke! aber ich habe dann nochmal eine frage zur
> symetrie... wieso ist es nur in diesem fall richtig und was
> könnte ich falsch machen bzw wie mache ich es bei
> rationalen funktionen korrekt?!
Der Graph der Funktion f mit
[mm] f(x) = \bruch{x^3 + x}{x} [/mm]
ist symmetrisch zur y-Achse. Zugegeben, ein sehr konstruiertes Beispiel.
Bei Funktionen, deren Graph symmetrisch zum Ursprung ist, funktioniert deine Regel für ganzrationale Funktionen micht mehr, wie das Beispiel
[mm] f(x) = \bruch{x}{x^2+1} [/mm] zeigt.
Ich habe vorhin übrigens noch vergessen, darauf hinzuweisen, dass du natürlich noch überprüfen musst, ob der Punkt P(1|2) auch wirklich Tiefpunkt, und nicht etwa Hochpunkt ist.
Aber das weißt du sicher selbst.
Gruß
Sigrid
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habe leider noch eine frage bzw einen anderen ansatz diese aufgabe zu lösen... und zwar haben wir ja die asymptote [mm] x^2 [/mm] und man sieht das der graph größer ist als die asymptote und somit in der parabell verläuft...
da habe ich mir gedacht kann man das ja auch vielleicht so machen
f(x)= [mm] x^2+1/x² [/mm] wenn man das auf einen bruchstrich schreibt hat man ja auch [mm] (x^4+1)/x² [/mm] dann könnte man ja noch die sachen prüfen mit dem tiefpunkt 1/2 etc... kann man das so machen?! oder ist dieser ansatz falsch oder nur bei bestimmten fällen richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:38 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Christian,
> habe leider noch eine frage
Wieso leider? Dazu ist das Forum doch da.
> bzw einen anderen ansatz diese
> aufgabe zu lösen... und zwar haben wir ja die asymptote
> [mm]x^2[/mm] und man sieht das der graph größer ist als die
> asymptote und somit in der parabell verläuft...
> da habe ich mir gedacht kann man das ja auch vielleicht so
> machen
> f(x)= [mm]x^2+1/x²[/mm] wenn man das auf einen bruchstrich schreibt
> hat man ja auch [mm](x^4+1)/x²[/mm] dann könnte man ja noch die
> sachen prüfen mit dem tiefpunkt 1/2 etc... kann man das so
> machen?! oder ist dieser ansatz falsch oder nur bei
> bestimmten fällen richtig?
Du kannst eine Summe immer summandenweise durch einen Term (hier [mm] x^2) [/mm] dividieren.
Du hättest deinen Ansatz also auch umschreiben können:
[mm] f(x) = \bruch{x^4 + c\ x^2 + e}{x^2} = x^2 + c +\bruch{e}{x^2} [/mm]
Das ist auch häufig einfacher.
Mit deinem Ergebnis kannst du das dann natürlich auch machen und damit die Probe vereinfachen.
Deine Überlegungen sind also völlig korrekt.
Gruß
Sigrid
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achso ja das ist logisch...
das bedeutet also wenn ich als asymptote zb [mm] x^2 [/mm] habe das bei folgendem term [mm] (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)/(x^2) [/mm] (a ist in dem falle 1) das b und c zwangsläufig 0 da wir sind durch polynomdivision ja [mm] x^2+g*x+f [/mm] rausbekommen würden und dies nicht der asymptote entspricht..?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Christian,
> achso ja das ist logisch...
> das bedeutet also wenn ich als asymptote zb [mm]x^2[/mm] habe das
> bei folgendem term [mm](ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)/(x^2)[/mm] (a ist in
> dem falle 1) das b und c zwangsläufig 0 da wir sind durch
> polynomdivision ja [mm]x^2+g*x+f[/mm] rausbekommen würden und dies
> nicht der asymptote entspricht..?!
Das verstehe ich jetzt nicht.
Es gilt doch
[mm] \bruch{a\ x^4 + b\ x^3 + c\ x^2 + d\x + e}{x^2} = a\ x^2 + b\ x + c + \bruch{d}{x} + \bruch{e}{x^2} [/mm]
oder habe ich dich da völlig falsch verstanden?
Gruß
Sigrid
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ja genau...
[mm] (ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)/(x²)=ax^2+bx+c+d/x+e/x²
[/mm]
wir wussten eben bei der aufgabe, dass die asymptote nur x² ist... daraus kann man doch schließen, dass b und c 0 sind oder sehe ich das falsch?
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> ja genau...
>
> [mm](ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)/(x²)=ax^2+bx+c+d/x+e/x²[/mm]
>
> wir wussten eben bei der aufgabe, dass die asymptote nur x²
> ist... daraus kann man doch schließen, dass b und c 0 sind
> oder sehe ich das falsch?
.. und a=1 kannst du auch noch schließen.
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 27.10.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Christian,
> ja genau...
>
> [mm](ax^4+bx^3+cx^2+dx+e)/(x²)=ax^2+bx+c+d/x+e/x²[/mm]
>
> wir wussten eben bei der aufgabe, dass die asymptote nur x²
> ist... daraus kann man doch schließen, dass b und c 0 sind
> oder sehe ich das falsch?
Jetzt verstehe ich, was du meinst (Manchmal sind Leitungen doch reichlich lang ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") ). Klar: Wegen der Asymptote ist a = 1, b = 0, c= 0. Und wegen der Symmetrie ist d = 0. Du brauchst also nur noch e zu bestimmen. Dazu brauchst du nur eine deiner beiden Bedingungen. Du musst dann aber zeigen, dass deine Lösung auch die zweite Bedingung erfüllt.
Gruß
Sigrid
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Danke nochmal an alle! Achja weiß zufällig jemand wo ich nochmal aufgaben zu rationalen funktionen finde? schreibe nächste woche dienstag eine klausur und würde gerne noch ein wenig üben =)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]"){kind=small}
Es ist alles richtig.
