Funktionsstetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man überprüfe die folgende Funktion f : [mm] \IR_{+} [/mm] -> [mm] \IR [/mm] auf Stetigkeit:
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \bruch{logx}{x-1} falls x \not= 1 \\ 1, & 1 falls x = 1 \end{cases} [/mm] |
Hi,
genügt es als Antwort auf obige Aufgabe zu schreiben, dass log(x) stetig ist? Und eine stetige durch eine weiter stetige Funktion auch wieder eine stetige Funktion ergibt? Diese Aussagen haben wir in der Vorlesung schon gehabt.
Und wenn nein; Ich habe absolut keinen blassen Schimmer wie ich das [mm] \delta [/mm] setzen sollte. Gibts da irgendwie nen Hilfssatz, mit dem man leichter auf das [mm] \delta [/mm] kommt?
Vielen Dank schonmal :)
Mfg,
Meiwy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Erstmal Danke!
Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist doch
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f(x) [/mm] \ = -1 [mm] \not= [/mm] \ f(1) \ = \ 1 $
Ist die Funktion also nicht stetig?
Und im "oberen" Fall müsste es dann doch reichen, wenn ich sage das log (x) laut Vorlesung stetig ist und weiter eine stetige Funktion durch eine stetige Funktion gleich eine stetige Funktion ist?!
P.S.: In der Aufgabe heißt es f : [mm] \IR [/mm] (x>0) [mm] \to \IR
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo Engine,
> Erstmal Danke!
>
> Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist doch
>
> [mm] $\limes_{x\rightarrow 1\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 1\downarrow}f(x) [/mm] \ = -1$ ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie kommst du auf $-1$?
Ich komme da "schön" auf $1$, was $=f(1)$ ist, also Stetigkeit bedeutet
> [mm] $\not= [/mm] \ f(1) \ = \ 1$
>
> Ist die Funktion also nicht stetig?
>
> Und im "oberen" Fall müsste es dann doch reichen, wenn ich
> sage das log (x) laut Vorlesung stetig ist und weiter eine
> stetige Funktion durch eine stetige Funktion gleich eine
> stetige Funktion ist?!
Das stimmt schon, aber an der Stelle $x=1$ ist die Funktion f nicht durch den Quotienten definiert, sondern durch die Festlegung $f(1):=1$.
Da musst du für die "Nahstelle" x=1 die obige Grenzwertbetrachtung machen, außerhalb von 1 kannst du so, wie du geschrieben hast, argumentieren
>
> P.S.: In der Aufgabe heißt es f : [mm]\IR[/mm] (x>0) [mm]\to \IR[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
de l'Hospital