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| Aufgabe | Gegeben ist für a R*+ eine Kurvenschar fa durch fa(x) = a * (x-a) * e^ax ; D = R
a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion fa auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte, Wendepunkte sowie das Verhalten im Unendlichen.
b) Zeigen Sie durch Integration, dass die Funktion Fa mit Fa(x) = (x-a-a^-1) * e^ax eine Stammfunktion der Funktion fa ist!
Der Graph der Funktion fa, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x = t (t<0) begrenzen eine Fläche.
Berechnen Sie den Inhalt Aa(t) dieser Fläche und lim t-->oo Aa(t)!
Geben Sie den Wert speziell für a = 1 an!
c) Der Graph der Funktion f1 schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein.
Berechnen Sie das Volumen des bei Rotation dieser Fläche um die x-Achse entstehenden Körpers!
d) Die Tangente und die Normale im Punkt N(a/fa(a)) an den Graphen der Funktion fa bilden mit der x-Achse ein Dreieck.
Berechnen Sie dessen Inhalt!
Welcher Wert ergibt sich für a = 2?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen? Ich habe wegen eines Krankenhausaufenthaltes eine Weile in der Schule gefehlt und so blöd es klingen mag, doch ich kriege nicht mal die erste Aufgabe hin. Könnte mir vielleicht jemand helfen diese Aufgaben zu lösen, damit ich wenigstens schon mal die Lösungswege lernen kann und anhand dieser Aufgabe vielleicht auch andere üben kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Do 28.02.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
willkommen im Matheraum.
> doch ich kriege
> nicht mal die erste Aufgabe hin.
das ist schade. Aber ich will dir zur a) mal eine kleine Hilfestellung geben.
> Gegeben ist für a R*+ eine Kurvenschar fa durch fa(x) = a*(x-a)*e^ax ; D = R
>
> a) Untersuchen Sie den Graphen der Funktion fa auf
> Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Extrempunkte,
> Wendepunkte sowie das Verhalten im Unendlichen.
>
Was mir jedoch gerade erst auffällt: Deine Funktion [mm] f_a [/mm] kann sowohl
[mm] f_a(x)=a*(x-a)*e^{a}x, [/mm] als auch
[mm] f_a(x)=a*(x-a)*e^{ax} [/mm] bedeuten. Ich gehe einmal von letzterem aus.
Also ist im Folgenden: [mm] f_a(x)=a*(x-a)*e^{ax}
[/mm]
Was heißt denn "Schnittpunkte mit Koordinatenachsen"? Das heißt, für welche [mm] x\in\IR [/mm] schneidet [mm] f_a [/mm] die x-Achse. Meint, für welche [mm] x\in\IR [/mm] ist
[mm] f_a(x)=0. [/mm] Das ist der Fall, wenn [mm] {a*(x-a)*e^{ax}=0} [/mm] Du kannst dir überlegen, dass einer der Faktoren =0 ergeben muss. Wann ist das der Fall?
"Schnittpunkte mit Koordinatenachse" meint auch den Schnittpunkt von [mm] f_a [/mm] und der y-Achse. Also [mm] f_a(0)=y. [/mm] Also x=0 setzen und y berechnen, fertig.
Du weißt, wie man Extrempunkte (Hoch-/Tiefpunkte) bestimmt? Stichwort: Ableitung. Bringt dich das weiter? Ansonsten noch mal nachfragen!
Bleibt noch das Verhalten im Unendlichen.
[mm] f_a(x)=a*(x-a)*e^{ax}=(ax-a^2)*e^{ax}=axe^{ax}-a^2*e^{ax}
[/mm]
Du musst dir verdeutlichen, was passiert, wenn du [mm] x\to\infty [/mm] bzw. [mm] x\to{-\infty} [/mm] laufen lässt?
Kleiner Tipp für die Aufgabenteile b,c und d und zukünftige Fragen:
Präzisiere deine Fragen. Wo hast du Probleme, was verstehst du nicht. Das hilft in erster Linie dir, weil du dich mit der Problematik beschäftigst und es hilft auch potenziellen Helfern. Man kann dann besser auf deine Probleme eingehen. Ich zum Beispiel, weiß jetzt nicht, ob meine Tipps dir wirklich weiterhelfen oder ob du immer noch Pobleme hast, weil du z.B. nicht weißt, wie du Extrempunkte bestimmst oder nicht weißt, wie du mit einer Funktionenschar umgehen musst.
Wenn irgendwas unklar sein sollte, melde dich einfach noch mal hier. 
MfG barsch
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| Aufgabe | Erst einmal vielen Dank, deine Tips helfen mir soweit schon, aber ich versuche es noch ein wenig genauer: (Übrigens, ja die 2. fa ist die Richtige)
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Wie man im Allgemeinen die Schnittpunkte, Extrempunkte, etc. berechnet weiß ich schon, mein Problem besteht nur darin dass ich in der Funktion ein a, ein e und ein x habe, was mich ein wenig irritiert. Zu viele Variablen.
Ich weiß z.B. nicht wie ich 0 = a * (x-a) * e^ax umstellen kann. Oder wonach ich die Funktion umstellen muss.
Das gleiche Problem habe ich mit den Nullstellen. Wenn ich x = 0 habe, weis ich trotzdem nicht genau wie ich da weiter rechnen kann.
fa(0) = a * (0-a) * e^a0
fa(0) = a * (-a) * 1
fa(0) = -a
Wäre das so richtig ?? Ich vermute einfach mal nein.
Weitere Fragen wären z.B. auch, wie kriege ich die Ableitungen hin?
Ich denke mal da kommt nur die Produktregel in Frage. Das hieße ja dann:
u = a ; v = (x-a) ; w = e^ax
u' = 1 ; v' = 1-a ; w' = [mm] e^a
[/mm]
Wie gesagt, mit mehreren Variablen habe ich furchtbare Probleme. Und erst Recht bei Scharen. Ich hoffe du schlägst nun nicht die Hände über den Kopf.
Danke nochmal für deine Hilfe. Liebe Grüße Ina
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Hallo!
> Erst einmal vielen Dank, deine Tips helfen mir soweit
> schon, aber ich versuche es noch ein wenig genauer:
> (Übrigens, ja die 2. fa ist die Richtige)
>
>
> Wie man im Allgemeinen die Schnittpunkte, Extrempunkte,
> etc. berechnet weiß ich schon, mein Problem besteht nur
> darin dass ich in der Funktion ein a, ein e und ein x habe,
> was mich ein wenig irritiert. Zu viele Variablen.
>
In deiner Funktion ist die einzige Variable das "x". Das "a" ist ein Paramter für die du verschiedene Zahlen einsetzten kannst und das "e" ist auch eine Zahl nämlich die sogennante eulersche Zahl.
> Ich weiß z.B. nicht wie ich 0 = a * (x-a) * e^ax umstellen
> kann. Oder wonach ich die Funktion umstellen muss.
>
> Das gleiche Problem habe ich mit den Nullstellen. Wenn ich
> x = 0 habe, weis ich trotzdem nicht genau wie ich da weiter
> rechnen kann.
Nehmen wir mal an dass du die Nullstellen von [mm] f_{a}(x)=a(x-a)e^{ax} [/mm] berechnen willst. Dazu kannst du die Funktion etwas umstellen zu [mm] f_{a}(x)=(ax-a²)e^{ax}. [/mm] Nun weisst du dass [mm] f_{a}(x)=0 [/mm] wird wenn einer der Faktoren 0 wird, also wenn entweder (ax-a²)=0 oder [mm] e^{ax}=0 [/mm] wird. [mm] e^{ax} [/mm] wird aber nicht 0 also kümmern wir uns um den ersten Faktor nämlich (ax-a²)=0 Entweder sieht man das gleich was man für x einsetzen muss damit die Klammer 0 wird oder man stellt um. Wir stellen mal um. Es ist (ax-a²)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] ax=a² Nun können wir durch a teilen dann folgt x=a. Damit wird die Funktion [mm] f_{a}(x)=0 [/mm] genau dann wenn x=a ist. Beachte aber dass wir nur durch a teilen können wenn wir ausschließen können dass a nicht 0 ist aber laut der Aufgabenstellung ist [mm] a\in\IR^{+} [/mm] aus diesem Grund dürfen wir das .
>
> fa(0) = a * (0-a) * e^a0
>
> fa(0) = a * (-a) * 1
>
> fa(0) = -a
>
> Wäre das so richtig ?? Ich vermute einfach mal nein.
>
Deine Vorgehensweise zur Berechnung des y-Achsenabschnitts ist richtig allerdings hast du dich etwas verrechenet. Du schreibst:
[mm] f_{a}(0)=a*(-a)*1 [/mm] Bis hier hin ist es richtig aber das danach ist falsch denn [mm] a*(-a)*1=-a^{2}
[/mm]
Damit ist [mm] f_{a}(0)=-a²
[/mm]
>
> Weitere Fragen wären z.B. auch, wie kriege ich die
> Ableitungen hin?
>
> Ich denke mal da kommt nur die Produktregel in Frage. Das
> hieße ja dann:
>
> u = a ; v = (x-a) ; w = e^ax
> u' = 1 ; v' = 1-a ; w' = [mm]e^a[/mm]
>
Mache es dir nicht so schwer: Fasse [mm] f_{a}(x)=a(x-a)e^{ax} [/mm] etwas zusammen zu [mm] f_{a}(x)=(ax-a²)e^{ax}. [/mm] Ganz wichtig! Wir differenzieren nach x nicht nach a. Also ist die Ableitung von a nämlich 0.
Ich kann dir das mal für die erste Ableitung vormachen und du versuchst dann die 2 Ableitung zu machen. Wir haben [mm] f_{a}(x)=(ax-a²)e^{ax} [/mm] zu differenzieren nämlich nach der Produktregel wie du richtig gesagt hast.
u=ax-a²
u'=a (denn wir differenzieren nach x und behandele das a wie eine gewöhnliche Zahl)
[mm] v=e^{ax}
[/mm]
[mm] v'=ae^{ax} [/mm] (das habe ich nach der Kettenregel abgeleitet schaue hierzu  Kettenregel
Zusammengefasst ergibt das [mm] f'_{a}(x)=ae^{ax}+(ax-a²)ae^{ax}=ae^{ax}(ax-a²+1)
[/mm]
> Wie gesagt, mit mehreren Variablen habe ich furchtbare
> Probleme. Und erst Recht bei Scharen. Ich hoffe du schlägst
> nun nicht die Hände über den Kopf.
>
Nein das machen wir nicht
> Danke nochmal für deine Hilfe. Liebe Grüße Ina
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Do 28.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist für a R*+ eine Kurvenschar fa durch fa(x) = a
> * (x-a) * e^ax ; D = R
Ich nehme mal an, du meinst [mm] f_{a}(x)=a(x-a)e^{ax}
[/mm]
>
>
>
> b) Zeigen Sie durch Integration, dass die Funktion Fa mit
> Fa(x) = (x-a-a^-1) * e^ax eine Stammfunktion der Funktion
> fa ist!
Generell gilt ja:
F'(x)=f(x), also die Ableitung der Stammfunktion F einer Funktion f ist die Ausgangsfunktion f.
Also hier:
[mm] F_{a}(x)=\overbrace{(x-a-a^{-1})}^{u}\overbrace{e^{ax}}^{v}
[/mm]
Das ganze mal mit der Produktregel ableiten:
[mm] F_{a}'(x)=\underbrace{(x-a-\bruch{1}{a})}_{u}\underbrace{ae^{ax}}_{v'}+\underbrace{x}_{u'}\underbrace{e^{ax}}_{v}
[/mm]
Das ganze sollte, wenn man es noch zusammenfasst wieder [mm] f_{a}(x) [/mm] ergeben.
> Der Graph der Funktion fa, die x-Achse und die Gerade mit
> der Gleichung x = t (t<0) begrenzen eine Fläche.
> Berechnen Sie den Inhalt Aa(t) dieser Fläche und lim
> t-->oo Aa(t)!
Hier brauchst du zuerst mal die Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] von [mm] f_{a}(x), [/mm] diese ist [mm] x_{0}=a
[/mm]
Jetzt suchst du die Fläche links von [mm] x_{0}=a [/mm] und der Gerade x=t mit t<0, also das Integral:
[mm] \integral_{t}^{a}a(x-a)e^{ax}dx=F_{a}(a)-F_{a}(t)
[/mm]
[mm] =\underbrace{(a-a-\bruch{1}{a})e^{a*a}}_{F_{a}(a)}-\underbrace{(t-a-\bruch{1}{a})e^{a*t}}_{F_{a}(t)}
[/mm]
[mm] =\red{...}
[/mm]
Jetzt hast du eine Funktion [mm] A_{a}(t)=\red{...}
[/mm]
Hier musst du noch die Grenzwertbetrachtung machen
Also:
[mm] \limes_{t\rightarrow-\infty}A_{a}(t)
[/mm]
> Geben Sie den Wert speziell für a = 1 an!
Hier setze mal a=1, in der eben gemachten Grenzwertbetrachtung.
>
> c) Der Graph der Funktion f1 schließt mit den
> Koordinatenachsen eine Fläche ein.
> Berechnen Sie das Volumen des bei Rotation dieser Fläche
> um die x-Achse entstehenden Körpers!
[mm] f_{\red{1}}(x)=\red{1}(x-\red{1})e^{\red{1}x}=(x-1)e^{x}
[/mm]
Jetzt gilt ja für das Volumen eines Rotationskörpers der Funktion f(x) um die x-Achse:
[mm] V=\pi\integral(f(x)²)dx
[/mm]
Die Grenzen sind hier (Mach mal eine Skizze von [mm] f_{1}(x)) [/mm] 0 und 1 (Laut Aufgabenstellung)
Also: [mm] V=\pi\integral_{0}^{1}[(x-1)e^{x}]²dx
[/mm]
>
> d) Die Tangente und die Normale im Punkt N(a/fa(a)) an den
> Graphen der Funktion fa bilden mit der x-Achse ein
> Dreieck.
Zuerst berechen mal die y-Koordinate von N
Also:
[mm] y=f_{a}(a)=a(a-a)e^{a²}=0 [/mm]
Also : [mm] N(\blue{a}/\red{0})
[/mm]
Berechne nun noch die Tangente [mm] t_{a}(x) [/mm] und die Normale [mm] n_{a}(x)
[/mm]
Für die Tangente gilt: [mm] t_{a}(x)=m_{t}x+b_{t}
[/mm]
Da die Tangentensteigung m mit der Steigung von [mm] f_{a}(x) [/mm] im N übereinstimmt gilt:
[mm] m_{t}=\green{f_{a}'(a)}=...
[/mm]
Jetzt kennst du ja aich noch die Koordinaten von N.
Also gilt:
[mm] \red{0}=\green{f_{a}'(a)}*\blue{a}+b_{t}
[/mm]
[mm] \gdw b_{t}=-a*f_{a}'(a)=...
[/mm]
Für die Normale gilt ähnliches, nur dass sie senkrecht auf [mm] f_{a} [/mm] steht.
Also gilt: [mm] m_{n}=-\bruch{1}{f_{a}'(a)}
[/mm]
Und somit:
[mm] b_{n}=\bruch{a}{f_{a}'(a)}
[/mm]
> Berechnen Sie dessen Inhalt!
Versuch dich jetzt mal an diesen Aufgaben.
> Welcher Wert ergibt sich für a = 2?
>
Marius
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