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Funktionsschar die Zweite: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:52 So 13.01.2008
Autor: JulGe

Aufgabe
Gegeben sei die Funktionsschar [mm] f_{t} [/mm] mit der Gleichung [mm] f_{t}(x)=\bruch{1}{4}x^{t}, t\in \IN [/mm]

Zeigen Sie, dass alle Schaubilder durch einen festen Punkt gehen.

Guten Morgen,

gestern habe ich gelernt, dass ich zwei allgemeine ts verwende

[mm] \bruch{1}{4}x^{t_{1}}=\bruch{1}{4}x^{t_{2}} [/mm]

Jetzt müsste ich das ja nach x auflösen. Das bekomm ich aber irgendwie nicht hin.

[mm] \bruch{1}{4}x^{t_{1}}-\bruch{1}{4}x^{t_{2}}=0 [/mm]

[mm] t_{1}*log\bruch{1}{4}x [/mm] - [mm] t_{2}*log\bruch{1}{4}x=0 [/mm]

[mm] log{1}{4}x(t_{1}-t_{2})=0 [/mm]

Könnt Ihr mir da bitte nochmal helfen.

Vielen Dank und viele Grüsse
Julian


        
Bezug
Funktionsschar die Zweite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 So 13.01.2008
Autor: ullim

Hi Julian,

wenn Du die Gleichung

[mm] \bruch{1}{4}x^{t_{1}}=\bruch{1}{4}x^{t_{2}} [/mm] lösen willst für [mm] t_1 \ne t_2, [/mm]

folgt nach Division durch [mm] \bruch{1}{4} [/mm] und [mm] x^{t_2} [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 die Gleichung

[mm] x^{t_1-t_2}=1, [/mm] Logarithmieren ergibt

[mm] (t_1-t_2)*ln(x)=0 [/mm] und daraus folgt x=1.

Für x = 0 ist die Gleichung natürlich auch immer erfüllt. Also schneiden sich alle Graphen in den Punkten (0|0) und [mm] (1|\bruch{1}{4}) [/mm]

mfg ullim

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Funktionsschar die Zweite: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 So 13.01.2008
Autor: JulGe

Hi ullim,

vielen Dank für deine Antwort. Ich habe das ganze bis hier verstanden: [mm] x^{t_1-t_2}=1 [/mm]

Könntest du mir das, was danach kommt noch etwas genauer erklären, weil ich z.B. nicht weis, wie du dann aus log x = 0 auf 1 kommst.

Und das: Für x = 0 ist die Gleichung natürlich auch immer erfüllt

verstehe ich auch nicht ganz.

Danke

Julian




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Bezug
Funktionsschar die Zweite: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 So 13.01.2008
Autor: ullim

Hi Julian

[mm] (t_1-t_2)\cdot{}ln(x)=0 [/mm] wird durch [mm] (t_1-t_2) [/mm] dividiert. Das geht, da ja [mm] t_1 \ne t_2 [/mm] gilt. Also folgt

ln(x) = 0. Der Logarithmus wird aber nur = 0 bei x = 1. Somit ist Deine erste Frage beantwortet.

Nun zur zweiten:

Wenn x = 0 gilt steht in deiner Gleichung

[mm] \bruch{1}{4}0^{t_{1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}0^{t_{2}} [/mm]

0 hoch irgenwas ist 0. Aöso steht jetzt in Deiner Gleichung 0 = 0. Aslo ist x = 0 Lösung der Gleichung.

mfg ullim

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