Funktionsschar < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion [mm] f_k [/mm] soll allgemein untersucht werden:
[mm] f_k(x)=x^4+kx^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo leute,
ich hoffe, dass ihr mir beim lösen dieser aufgabe weiterhelfen könnt.
Allgemeine Untersuchung sol für uns bedeuten, dass wir..
a) Symmetrie
b) Randverhalten
c) Nullstellen
d) Extremstellen
e) Wendestellen
..bestimmen sollen.
Symmetrie, Randverhalten, Nullstellen konnte ich bestimmen:
-Symmetrie: Die Funktion ist für alle k achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten vorhanden sind.
-Randverhalten:
lim f(x) -> [mm] +\infty [/mm] und
x-> [mm] +\infty
[/mm]
lim f(x) - > [mm] -\infty
[/mm]
x-> [mm] +\infty
[/mm]
-Nullstellen: [mm] x^4+kx^2 [/mm] = 0
[mm] x^2 [/mm] * [mm] (x^2+k)=0
[/mm]
[mm] x_1=0
[/mm]
[mm] x^2+k [/mm] = 0 /-k
[mm] x^2 [/mm] = -k
für alle k, die positiv sind gibt es keine weitere nullstelle
[mm] x^2-k [/mm] = 0 /+k
[mm] x^2=k
[/mm]
[mm] x_1_,_2= \pm\wurzel{k}
[/mm]
Bei der Bestimmung der Extremstellen komme ich leider nicht weiter und bitte um Hilfe. Mein Ansatz:
1.notwendige Bed. f'(x)=0
[mm] 4x^3+2kx=0 [/mm] /-2kx
[mm] 4x^3=-2kx
[/mm]
Was bedeutet das?
Für alle k=postiv keine Extremstelle ?
LG,
unknownuser
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Wredi |
> Die Funktion [mm]f_k[/mm] soll allgemein untersucht werden:
> [mm]f_k(x)=x^4+kx^2[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Hallo leute,
> ich hoffe, dass ihr mir beim lösen dieser aufgabe
> weiterhelfen könnt.
> Allgemeine Untersuchung sol für uns bedeuten, dass wir..
> a) Symmetrie
> b) Randverhalten
> c) Nullstellen
> d) Extremstellen
> e) Wendestellen
> ..bestimmen sollen.
>
> Symmetrie, Randverhalten, Nullstellen konnte ich
> bestimmen:
>
> -Symmetrie: Die Funktion ist für alle k achsensymmetrisch,
> da nur gerade Exponenten vorhanden sind.
Hier solltest du vielleicht noch konkreter sein: [...] achsensymmetrisch zur y-Achse [...]
> -Randverhalten:
> lim f(x) -> [mm]+\infty[/mm] und
> x-> [mm]+\infty[/mm]
> lim f(x) - > [mm]-\infty[/mm]
> x-> [mm]+\infty[/mm]
> -Nullstellen: [mm]x^4+kx^2[/mm] = 0
> [mm]x^2[/mm] * [mm](x^2+k)=0[/mm]
> [mm]x_1=0[/mm]
>
> [mm]x^2+k[/mm] = 0 /-k
> [mm]x^2[/mm] = -k
> für alle k, die positiv sind gibt es keine weitere
> nullstelle
>
> [mm]x^2-k[/mm] = 0 /+k
> [mm]x^2=k[/mm]
> [mm]x_1_,_2= \pm\wurzel{k}[/mm]
Wäre es nicht einfacher, die Fallunterscheidung zum Schluss zu machen?
0 = [mm] x^4+kx^2
[/mm]
0 = [mm] x^2(x^2+2k) [/mm] => [mm] x_0 [/mm] = 0
0 = [mm] x^2+2k
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{-2k}
[/mm]
=> Nullstellen bei [mm] x_0 [/mm] = [mm] \pm \wurzel{2k} [/mm] für alle k>0
>
> Bei der Bestimmung der Extremstellen komme ich leider nicht
> weiter und bitte um Hilfe. Mein Ansatz:
>
> 1.notwendige Bed. f'(x)=0
> [mm]4x^3+2kx=0[/mm] /-2kx
> [mm]4x^3=-2kx[/mm]
>
> Was bedeutet das?
das machst du genauso wie bei der nullstellenberechnung
f'(x) = [mm] 4x^3+2kx
[/mm]
0= [mm] 4x^3+2kx
[/mm]
0= [mm] x(4x^2+2k)
[/mm]
[mm] x_{E_1} [/mm] = 0 ist eine Extremstelle
Untersuche weiter: 0 = [mm] 4x^2+2k
[/mm]
0 = [mm] 4x^2+2k
[/mm]
0 = [mm] x^2+\bruch{k}{2}
[/mm]
Wende [mm] x_{1,2} =-\bruch{p}{2} \pm \wurzel{(\bruch{p}{2})^2 -q} [/mm] an:
[mm] x_{1,2} =\pm \wurzel{-\bruch{k}{2}} [/mm]
daraus folgt, dass für k<0 weitere Extremstellen bei [mm] x_{E_{2,3}} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{k}{2}} [/mm] existieren.
Jetzt nur noch prüfen, ob es Extremstellen sind (zweite ableitung) und dann hast du das.
> Für alle k=postiv keine Extremstelle ?
genau anders herum: für alle k<O.
>
> LG,
> unknownuser
MfG Wredi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 So 13.06.2010 | | Autor: | Pappus |
> Die Funktion [mm]f_k[/mm] soll allgemein untersucht werden:
> [mm]f_k(x)=x^4+kx^2[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
...
> Allgemeine Untersuchung sol für uns bedeuten, dass wir..
> a) Symmetrie
> b) Randverhalten
...
>
> LG,
> unknownuser
Guten Abend!
1. Deine Angaben zum Symmetrieverhalten sind grundsätzlich richtig. Vergl. Wredis Antwort dazu.
2. Die Untersuchung zum Randverhalten der Funktion sind falsch:
- die Untersuchung x gegen minus unendlich fehlt;
- da der Koeffizient vor der höchsten Potenz von x positiv ist, kann f nicht gegen minus unendlich laufen. (Das wäre dann ein Widerspruch zu den Symmetrieeigenschaften von f)
Salve
Pappus
|
|
|
|
